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33144653 發表於 2018-1-9 13:49

【數學】資優數學問題

[i=s] 本帖最後由 33144653 於 2018-1-29 02:24 編輯 [/i]

[attach]1814641[/attach]
[attach]1814642[/attach]


最近版上頗冷清
po幾題資優問題

大家一起腦力激盪~

42445888 發表於 2018-1-9 20:40

[i=s] 本帖最後由 42445888 於 2018-1-9 21:16 編輯 [/i]

[b]回復 [url=http://bbs.61.com.tw/redirect.php?goto=findpost&pid=16726406&ptid=464349]1#[/url] [i]33144653[/i] [/b]

[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?(1)~~~a_{n}=\frac{1}{(2^{n}-1)^{2}}[/img]

這題求過程..列不出來

42445888 發表於 2018-1-9 21:14

(2)

註:(x)為高斯符號,因為中括號顯示不出來

[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?4x^{2}-20(x)+23=0[/img]
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?20(x)=4x^{2}+23[/img]
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?(x)=\frac{4x^{2}+23}{20}[/img]

[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?x-1<(x) \leq x[/img]
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?x-1<\frac{4x^{2}+23}{20} \leq x[/img]
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{5-\sqrt{2}}{2}  \leq  x  \leq \frac{5+\sqrt{2}}{2}[/img]

若[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{5-\sqrt{2}}{2}  \leq x <2[/img]
此時[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?(x)=1[/img]
則代回原式[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?4x^{2}-20+23=0[/img]
x無解

若[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?2  \leq x <3[/img]
此時[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?(x)=2[/img]
則代回原式[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?4x^{2}-40+23=0[/img]
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?x=+-\frac{\sqrt{17}}{2}[/img](負不合)

若[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?3  \leq x \leq \frac{5+\sqrt{2}}{2}[/img]
此時[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?(x)=3[/img]
則代回原式[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?4x^{2}-60+23=0[/img]
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?x=+-\frac{\sqrt{37}}{2}[/img](負不合)

故[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?x=\frac{\sqrt{17}}{2}~~or~~\frac{\sqrt{37}}{2}[/img]

22169751 發表於 2018-1-9 22:09

[quote]最近版上頗冷清
po幾題資優問題

大家一起腦力激盪~[/quote]
其實我覺得會認真看的就固定那幾個

33144653 發表於 2018-1-11 08:14

好像太難了
因為這張是教師甄試的問題
簡單說是考老師的~

39475494 發表於 2018-2-6 17:22

我解個 10 好了
|w|=1, |z|=10
A = (w-z)/z = w/z -1
θ = arg(A)
tan²θ 最大值

令 w/z = a+1+bi
(a+1)²+b² = |w/z|² = (1/10)²
A = a+bi
tan²θ = (b/a)²

唉,還是用圖說明的比較好懂
(a+1)²+b² = (1/10)²
這是一個圓,圓心是 (-1,0),半徑 1/10
然後θ管角度,tan²θ 要最大,愈直立 | 愈好
最大就是原點畫切線過去那條
直角三角形 1/10 : 1 -> 1 : 10 : √99
tan²θ max = 1/99

39475494 發表於 2018-2-6 17:52

[i=s] 本帖最後由 39475494 於 2018-2-7 10:57 編輯 [/i]

1. 沒有過程呀
那我也試試好了
√a_n = 2√a_n+1 + √a_n √a_n+1
這√其實沒有問題的,你可以這樣
令 bn = √an
b_n = 2b_n+1 + b_n * b_n+1,然後兩邊再同除以 b_n * b_n+1
1/b_n+1 = 2/b_n + 1
呃~ 快出來了
啊~ 這樣說好了 令 c_n = 1/b_n
c_n+1 = 2 * c_n + 1 ,而首項 c1 = 1/b1 = 1/√a1=1
所以這個 c 數列是 1, 3, 7, 15, 31,即 [color=Red]c_n = 2^n - 1 (有點筆誤)[/color]
然後就是還原
b_n = 1 / (2^n-1)
a_n = [1 / (2^n-1)][color=Red]²[/color]

其實你找出答案了,湊過程不是那麼難的
至於 c_n+1 = 2 * c_n + 1 為什麼可以看出 2^n - 1
每個下一項(大約)是這一項 * 2 的關係
這是 2^n 的變化

39475494 發表於 2018-2-6 18:41

[quote]其實我覺得會認真看的就固定那幾個
[size=2][color=#999999]22169751 發表於 2018-1-9 22:09[/color] [url=http://bbs.61.com.tw/redirect.php?goto=findpost&pid=16726452&ptid=464349][img]http://bbs.61.com.tw/images/common/back.gif[/img][/url][/size][/quote]

是呀

其實也無可厚非

對很多人而言,數學只是一個學習項目

淘米也只是一個遊戲項目

42445888 發表於 2018-2-6 20:03

[i=s] 本帖最後由 42445888 於 2018-2-6 20:04 編輯 [/i]

(6)
令[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?x={  10}^{100  }[/img]

[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac { { 10 }^{ 10000 } }{ { 10 }^{ 100 }+1 } =\frac { { x }^{ 100 } }{ x+1 } =\frac { { (-x) }^{ 100 }-{ 1 }^{ 100 } }{ x+1 } +\frac { 1 }{ x+1 } [/img]

因為[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?{ (-x) }^{ 100 }-{ 1 }^{ 100 }=(-x-1)({ (-x) }^{ 99 }+{ (-x)}^{98  }+...+1) [/img]

所以[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac { { 10 }^{ 10000 } }{ { 10 }^{ 100 }+1 } ={ x}^{99  }-{x  }^{  98}+{ x }^{  97}-...+x-1+\frac { 1 }{ x+1 } [/img]

故[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?( \frac { { 10 }^{ 10000 } }{ { 10 }^{ 100 }+1 }) ={ x }^{ 99 }-{ x }^{ 98 }+{ x }^{ 97 }-...+x-1[/img],(這裡的括號是高斯符號)

因為[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?{ x }^{ 99 }-{ x }^{ 98 }+{ x }^{ 97 }-...+x[/img]末尾至少100個0,減1之後全變9,除以100的餘數就是99

39475494 發表於 2018-2-7 16:18

那我再解個 9 好了
九個不同物品,放三個相同箱子,可以箱是空的

好像沒有什麼好方法耶,還出九個那麼多個

9 個
900  C99 = 1
810  C98*C11 = 9
720  C97*C22 = 36
711  C97*C21*C11/2! =36
630  C96*C33 = 84
621  C96*C32*C11 = 84*3
540  C95*C44 = 126
531  C95*C43*C11 = 126*4
522  C95*C42*C22/2! = 126*3
441  C94*C54*C11/2! = 126*5/2
432  C94*C53*C22 = 126*10
333  C93*C63*C33/3! = 84*20/6 = 280
全加起來 = 280 + 126*41/2 + 84*4 + 36*2 + 10
= 2583 + 336 + 72 + 290
= 3281

22169751 發表於 2018-2-7 17:44

雙曲線那題是4/√17嗎?

42445888 發表於 2018-2-7 20:37

[i=s] 本帖最後由 42445888 於 2018-2-7 20:46 編輯 [/i]

第7題,這樣圖片看得清楚嗎 0.0,懶得打式子

[attach]1815403[/attach]

39475494 發表於 2018-2-8 12:10

8
log2(A) < 0
A < 1
log2(B) < 1
B < 2
|x-[(x+1)/2]| < 2
-2 < x-[(x+1)/2] <2
取高斯以後會是整數,2 也是整數
整數 < x - 整數 < 整數
所以觀察 x 的整數情況就行了
1 - 1
2 - 1
3 - 2
3.99 - 2 → ok → 得到 x < 4
4 - 2  不小於 2 了
5 - 3
6 - 3
往負的看
0  - 0
-1 - 0
-2 - (-1)
-2.99 - (-1) → ok → 得到 x > -3
-3 - (-1) 不大於-2
-4 - (-2)
-5 - (-2)
-6 - (-3)
兩個不等式同時要成立 (交集)
所以 -3 < x < 4

這題要考"小於等於"才會有陷阱

39475494 發表於 2018-2-8 12:23

不知道你們會不會覺得用列數字的方式解答不太好
如果覺得不好,請用圖形去想
y = x ← 一條斜直線
y = [(x+1)/2] ← 一個階梯狀的圖
然後畫出 y = 相減的圖 ← 斜上去,楷梯角的地方往下掉 1 ,再斜上去…
然後看 -2 < y < 2 時的 x

對了,如果要用 < ,那 2 改成一個奇數,也會有陷阱出來

39475494 發表於 2018-2-8 17:39

a+b = 8,1/a + 1/b = 2
a+b = 8,(a+b)/ab = 2
ab = 4
斜率 = (1/b-1/a)/(b-a)
= -1/(ab) = -1/4
y = 1/x
y' = - 1/x² = -1/4
x = ±2 (第一象限負不合)
x = 2
C(2, 1/2)
斜率 -1/4 → x + 4y = k
|2 + 4*(1/2) - 4 - 4*1|/√(1+16)
= 4/√17
我的答案跟你一樣

39475494 發表於 2018-2-8 17:45

如果不用微分的話
xy = 1 和  x + 4y = k 交於一點(相切)
x + 4/x = k
x² -kx + 4 = 0 只能一個交點(重根)
k² - 4*1*4 = 0
k = ±4,過第一象限,y = 0 時 x = k 是正的才行
k = 4
|k - 4 - 4*1|/√(1+16)
= 4/√17

39475494 發表於 2018-2-9 13:45

[i=s] 本帖最後由 39475494 於 2018-2-9 13:56 編輯 [/i]

剩兩題了
3,4
4 的話,這圖是等腰梯形,應該不難解
3 比較有趣
這是一題圖形題
令 y1 = mx - 3m + 2,y2 = mx - 3m + 10
y1 和 y2 的關係是平行線
然後不同的 m,斜率會不同 (斜率即 m)
但不管 m = 多少, y1這條必過 (3, 2),y2這條必過(3, 10)
然後,題目的等式就變成
(x, y1) 到原點的距離 + (x, y2) 到原點的距離 = 10
這個等式,是橢圓形
重新整理一下思路
[color=Red]在某個 m 時,自變數 x ,會對應出應變數 y1 和 y2
然後 (x, y1)到原點的距離 + (x, y2) 到原點的距離 = 10
符合此情況的 x 有兩個(相異實根)[/color]
把橢圓的概念套入
(x, y1)到原點的距離 + (x, y2) 到原點的距離 = 10
等同,[color=Purple]原點在以 (x, y1) (x, y2)為焦點,2a = 10 的橢圓上[/color]
我們再看這個橢圓
y1 y2 的動線為平行線,且一個過(3, 2),一個過 (3, 10)
這表示,當 x = 任意值時
y2-y1 = (mx-3m+10) - (mx-3m+2) = 8
2c = 8,c = 4
又 2a = 10,a = 5
b = √(a²-c²) = 3
這個橢圓形其實有[color=Purple]固定的外形[/color],差只差在它(中心點)的座標會移
而中心點座標 ( x, (y1+y2)/2 ),即 (x, mx-3m+6)
或者想成,[color=Purple]中心點的動線是一個經過 (3, 6) 鈄率為 m 的線[/color]

接著,再去思考 x 的解為相異實根這件事
想像一下,x 從 -∞ → ∞
隨著 x 變化,這個是固定外形的橢圓形,其中心點隨之移動
當橢圓形的圓周碰到原點,此時的 x 就產生了一個根
繼續移,又碰到原點,就又產生一個根
一個橢圓形,以斜率 m 的直線移動,碰到原點最多兩個。
相異實根,就是碰了兩次的情況。

移橢圓麻煩,不如移原點吧
[color=Purple]中心點的動線是一個經過 (3, 6) 鈄率為 m 的線[/color]
那就把橢圓(中心點)放在 (3, 6),然後原點走鈄率 m 劃過去
看有幾個交點,就是幾個相異實根
原點走鈄率 m 劃過去,這條就是 y = mx
這時,題目就變成
[color=Red]有一個橢圓,a=5,b=3,c=4,長軸平行 y 軸,中心點為(3,6)
y = mx 與該橢圓的交點為兩相異點,求 m 之範圍 ?[/color]
然後,這題就是算切線鈄率。

寫了一堆,多數是想法上的轉換,其實只是將題目轉成另外一種樣子來算
我算的結果是 m > 11/36

33144653 發表於 2018-2-9 19:41

哇 真的假的

冰大跟版大可以去中大附中(以前叫中壢高中)教書了~
這張是中大附中 甄選老師的題目

33144653 發表於 2018-2-28 20:32

[attach]1816024[/attach]

我貼一下答案~ 我在慢慢研究 向二位高手請教~

39475494 發表於 2018-3-1 20:01

我第八題錯了呀
哦,我前面推算錯了
log2(A) < 0
0 < A < 1
0 < log2(B) < 1
1 < B < 2
1 < |x-[(x+1)/2]| < 2
1 < x-[(x+1)/2] < 2 or -2 < |x-[(x+1)/2]| < -1

取高斯以後會是整數,2,1,-2,-1 也都是整數
整數 < x - 整數 < 整數
所以觀察 x 的整數情況就行了
1 - 1 = 0 (N)
2 - 1 = 1 (N)
[color=Red]2.01[/color] - 1 = 1.01 (Y) → 得到 x > 2
[color=Red]3[/color] - 2 = 1 (N) → 得到 x ≠ 3
3.01 - 2 = 1.01 (Y)
[color=Red]3.99[/color] - 2 = 1.99 (Y) → 得到 x < 4
5 - 3 = 2 (N)
6 - 3 = 3 (N)
所以 1 < ... < 2 這邊來看
得到 [color=Red]2<x<4 且 x≠3[/color]

往負的看
0  - 0 = 0 (N)
-1 - 0 = -1 (N)
-2 - (-1) = -1 (N)
-2.01 - (-1) = -1.01 (Y) → 得到 x < -2
-3 - (-1) = -2 (N) → 得到 x ≠ -3
-3.99 - (-2) = -1.99 (Y) → 得到 x > -4
-4 - (-2) = -2 (N)
-5 - (-2) = -3 (N)
-6 - (-3) = -4 (N)
所以 -2 < ... < -1 這邊來看
得到 [color=Red]-4<x<-2 且 x≠-3[/color]

兩個不等式同時要成立 (交集)
所以 2 < x < 4 or -4 < x < -2 但 x ≠ ±2

如果覺得這樣寫很麻煩
那就畫圖
畫一條L1 : y = x (斜直線)
畫一條L2 : y = [(x+1)/2]取高斯 (階梯狀)
然後畫用這兩條線畫出L3 : y = x - [(x+1)/2] (即 L1 - L2)
L2 階梯平的地方,L3就是斜直線
L2 階梯高起來的地方,L3就從下掉 1
然後用 L3 去判 1<y<2 和 -2<y<-1
畫圖會快一些,答案一樣的

39475494 發表於 2018-3-7 18:23

第四題到最後都沒人做
大概是因為我說了它應該不難的關係 >"<

這圖是等腰梯形
原因先說一下,因為等腰梯形兩對角互補
所以能共圓
那有唯一性嗎 ? (一定只能是等腰梯形嗎 ?)
此題四邊是 15 15 15 20
4邊長度保持固定之下,四邊形要變形
對角線必會伸長或縮短
而對角線伸長,則另外兩對角就會變大(例如 AC變長,∠B 和 ∠D就會變大)
餘弦定理可以看出來這點
但是 ∠B 和 ∠D 都同時變大(或縮小),相加就不會 180 了
也就不會共圓了
也就是說, ∠B 和 ∠D 只能在唯一一組角度下共圓
所以等腰梯形能共圓,而且四邊固定長度之下,只會有一個能共圓的四邊形
它就是唯一的一個
剩下就是圖形計算題了
短邊兩端畫垂線下來,左右兩個直角三角形
斜邊 15,底邊 (20-15)/2 = 5/2,高,不知道
畢式可得,高 = 5√35/2
令圓心到長底(20)的距離為 x/2
r² = (20/2)² + (x/2)² = (15/2)² + (5√35/2 - x/2)²
外切正方形面積 = (2r)² = 4r²
= 20² + x² = 15² + (5√35 - x)²
400 + x² = 225 + 25*35 - 2(5√35)x + x²
2(5√35)x = 25*35-175
2x = 5√35 - √35 = 4√35
x = 2√35
外切正方形面積 = 20² + x² = 400 + 140 = 540

26182848 發表於 2019-2-21 02:03

挖~ 我母校的教師甄試阿~

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