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45407560 發表於 2019-1-15 22:17

【數學】三題數學(平面向量+組合+最大值)

[i=s] 本帖最後由 45407560 於 2019-1-15 14:48 編輯 [/i]

1.平行四邊形ABCD,E,F分別為AB和CD的中點且AF與DE相交於G,若BG=x AB+ y AD(那是向量,不過我不會打),                       求 x, y   
   我的問題:我企圖想換成BG= a BA+ b BC[size=12px](那是向量,不過我不會打) 可是遇到BC= AD-AB時我卡住了,不知道該怎麼換[/size]

2.設三位數的百位、十位、個位數字分別為x,y,z,試問有多少個不同的三位數既不滿足x[color=#000][font="][size=16px]≦y[/size][/font][/color][color=#000][font="][size=16px]≦z也不滿足x[/size][/font][/color][color=#000][font="][size=16px]≧[/size][/font][/color][color=#000][font="][size=16px]y[/size][/font][/color][color=#000][font="][size=16px]≧[/size][/font][/color][color=#000][font="][size=16px]z?[/size][/font][/color]
   我的問題:全-(滿足[size=12px]x[/size][color=#000][font="][size=16px]≦y[/size][/font][/color][color=#000][font="][size=16px]≦z也滿足x[/size][/font][/color][color=#000][font="][size=16px]≧[/size][/font][/color][color=#000][font="][size=16px]y[/size][/font][/color][color=#000][font="][size=16px]≧[/size][/font][/color][color=#000][font="][size=16px]z[/size][/font][/color][size=12px])就是答案 ,但我糾結於個位數的0,導致我算得亂七八糟 ANS:525[/size]

3.設X[color=#000][font="][size=16px]≧0,Y[/size][/font][/color][color=#000][font="][size=16px]≧0,且X+Y=1,求4^X+4^Y的最大值[/size][/font][/color]
[color=#000][font="][size=16px]   我的問題:感覺答案就是5,但不曉得怎麼用算式表示[/size][/font][/color]


[color=#000][font="][size=16px]麻煩各位老師了[/size][/font][/color]

22169751 發表於 2019-1-15 22:32

有答案嗎?

45407560 發表於 2019-1-15 22:47

[i=s] 本帖最後由 45407560 於 2019-1-15 14:49 編輯 [/i]

我是在網路上看到的,除第2題外,我也沒有答案...

22169751 發表於 2019-1-16 00:04

[i=s] 本帖最後由 22169751 於 2019-1-16 00:51 編輯 [/i]

1.
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AB}[/img]
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?=\frac{\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}}{2}-\overrightarrow{AB}[/img]
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?=\frac{\overrightarrow{AD}}{2}+\frac{\overrightarrow{AB}}{4}-\overrightarrow{AB}[/img]
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?=\frac{\overrightarrow{AD}}{2}-\frac{3\overrightarrow{AB}}{4}[/img]
另解:
座標化A(0,0)B(1,0)D(0,1)G(1/4,1/2)
BG=(1/4 -1,1/2 -0)=(-3/4,1/2)
2.
(A'∩B')=(A∪B)'
你的問題:全-(滿足x≦y≦z[color=#ff0000]或[/color]滿足x≧y≧z)才是答案

滿足x≧y≧z:H10取3-1=C12-1=220-1=219
解說:設x0,x1,x2......x9分別代表0,1,2...9在三位數中出現的次數
所以x0+x1+x2+......+x9=3 數字取出便會自動按照x≧y≧z所以不用排列
減1代表要扣掉0出現3次

滿足x≦y≦z:H9取3=C11取3=165
解說:只要取到0就一定會出現在百位數所以不能取0

答:全-(滿足x≦y≦z+滿足x≧y≧z扣掉x=y=z)
=999-99-(219+165-9)=900-375=525

3.
令[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?4^{x}=m[/img] x≧0
[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?4^{y}=n[/img]  y≧0
⇒[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?x=log_{4}m[/img] m≧1
⇒[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?y=log_{4}n[/img]  n≧1
⇒m-1≧0且n-1≧0⇒(m-1)(n-1)≧0⇒mn-m-n+1≧0
已知[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?log_{4}mn=1[/img]
⇒mn=4
∴mn+1≧m+n
⇒m+n≦5

45407560 發表於 2019-1-16 23:17

謝謝你!!

33144653 發表於 2019-1-17 16:50

只要取到0就一定會出現在百位數所以不能取0  因為0出現在百位數變2位數  

那為什麼x≥y≥z可取到0?

22169751 發表於 2019-1-17 19:01

因為0一定會先出現在個位數
然後取到第二個0才出現在十位數(此時百位數不為0)
0出現在百位數的情況只有一種(0,0,0)

40562955 發表於 2020-1-5 09:21

[i=s] 本帖最後由 40562955 於 2020-1-6 15:10 編輯 [/i]

第2題
正面作法
三位數凹形數有[attach]1831276[/attach]
三位數凸形數有[attach]1831276[/attach]

285+240=525

39475494 發表於 2020-1-6 10:45

我也算個第二題好了
x≦y≦z = x<y<z + x=y<z + x<y=z + x=y=z
x≧y≧z = x>y>z + x=y>z + x>y=z + x=y=z
心裡先有個底,這兩個有重複, x=y=z
先看 x<y<z,這個是 c ,因為這是三位數,所以 x≠0
又 x<y<z ,所以其實 x, y, z 都不會是 0,所以是 C9取3
那 x>y>z,雖然 x≠0,但因為還有 z 墊底,所以就算取到 0 也只是 z=0
所以是 C10取3
然後有等於的,一樣,如果是 x=y<z 或 x<y=z
因為 x≠0 ,0不取,C9取2
但如果 x=y>z 或 x>y=z ,0 就沒差了,取到 0 也是 z=0 或 y=z=0
所以是 C10 取 2
那 x=y=z 就是 C9取1,用數的也行,111, 222, ..., 999
然後就列式吧
三位數一共有 100 到 999 = 999-100+1 = 900
x≦y≦z = x<y<z + x=y<z + x<y=z + x=y=z
= C9取3 + C9取2 * 2 + C9取1 = 84 + 72 + 9 = 165
x≧y≧z = x>y>z + x=y>z + x>y=z + x=y=z
= C10取3 + C10取2 * 2 + C9取1 = 120 + 90 + 9 = 219
x≦y≦z or x≧y≧z = 165 + 219 - 9 = 375
其它 = 900 - 375 = 525

其實你要直接解也行
既不 x≦y≦z,也不 x≧y≧z 的有誰?
三個數比大小,只有六種
xyz,xzy,yxz,yzx,zxy,zyx,扣掉這xyz,zyx兩種
剩xzy,yxz,yzx,zxy,簡單講就是 y 放最大或最小
那一共有幾種?
y<x<z : C10取3 = 120
y<z<x : C10取3 = 120
x<z<y : C9取3 = 84
z<x<y : C10取3 = 120
y<x=z : C10取2 = 45
x=z<y : C9取2 = 36
一共 360 + 84 + 81 = 525 ,一樣

39475494 發表於 2020-1-6 11:00

再用一種速解一點的
上一篇是寫
x≦y≦z = x<y<z + x=y<z + x<y=z + x=y=z
= C9取3 + C9取2 * 2 + C9取1 = 84 + 72 + 9 = 165
或者可以在 1~9 裡面多放兩個進去變成 1~ 11
抽三個號出來,然後排大小
x = 第一號,y = 第二號 - 1 ,z = 第三號 -2
這樣就可以直接把 = 的情況考慮進去
即 x≦y≦z = C11取3 = 165
x≧y≧z = C12取3 - 1 = 220 - 1 = 219 (-1是扣掉 000 這個)

26691114 發表於 2020-3-15 02:53

[quote]再用一種速解一點的
上一篇是寫
x≦y≦z = x
[size=2][color=#999999]39475494 發表於 2020-1-6 03:00[/color] [url=http://bbs.61.com.tw/redirect.php?goto=findpost&pid=16798582&ptid=467490][img]http://bbs.61.com.tw/images/common/back.gif[/img][/url][/size][/quote]


路過您教得真好!:'(

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