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22169751 發表於 2019-12-27 00:36

【問題】工程數學

[i=s] 本帖最後由 22169751 於 2019-12-27 01:26 編輯 [/i]

求[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?f(x)=\left\{\begin{matrix}&space;-4,-\pi&space;\leq&space;x\leq&space;0&space;\\&space;4,0<&space;x\leq&space;\pi&space;\end{matrix}\right.[/img]的傅立葉級數
A:[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{16}{\pi&space;}\sum_{n=1}^{\infty&space;}\frac{1}{2n-1}sin((2n-1)x)[/img]
我的過程:
[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?f(x)=\frac{1}{2}a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty&space;}(a_{n}cos(\frac{n\pi&space;x}{L})+b_{n}sin(\frac{n\pi&space;x}{L}))[/img]
[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{1}{2}a_{0}=0[/img]
[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?a_{n}=\frac{1}{\pi&space;}\int_{-\pi&space;}^{\pi&space;}f(x)cos(nx)dx=\frac{1}{\pi&space;}(\int_{-\pi&space;}^{0}-4cos(nx)dx+\int_{0&space;}^{\pi&space;}4cos(nx)dx)=0[/img][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?b_{n}=\frac{1}{\pi&space;}\int_{-\pi&space;}^{\pi&space;}f(x)sin(nx)dx=\frac{1}{\pi&space;}(\int_{-\pi&space;}^{0}-4sin(nx)dx+\int_{0&space;}^{\pi&space;}4sin(nx)dx)[/img]
[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?=\frac{1}{\pi&space;}(\frac{4}{n}cosnx\left.&space;\right&space;\}_{-\pi&space;}^{0}+\frac{-4}{n}cosnx\left.&space;\right&space;\}_{0}^{\pi&space;})=\frac{4}{n\pi&space;}(1-(-1)^{n})-\frac{4}{n\pi&space;}((-1)^{n}-1)[/img]
[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?=\frac{8}{n\pi&space;}(1-(-1^{n}))[/img]
想問要怎麼把b[size=1]n[/size]sin(nx)化成答案那種形式

39475494 發表於 2019-12-27 10:43

[i=s] 本帖最後由 39475494 於 2019-12-27 11:06 編輯 [/i]

這樣寫可能比較好

bn = 8[1-(-1)^n]/(n*pi)  for n = 1 to ∞
n = 2, 4, 6, ... 時
bn = 0
n = 1, 3, 5 ,... 時
bn = 16/(n*pi)
f(x) = Σ(n = 1 to ∞) 8(1-(-1)^n)sin(nx) / (n pi)
[color=#808080]= Σ(n = 1, 3, 5 to ∞) 8*2sin(nx) / (n pi) + Σ(n = 2, 4, 6 to ∞) 8*0sin(nx) / (n pi)[/color]
= Σ(k = 1 to ∞) 8*(1-(-1)^(2k-1))sin((2k-1)x) / [(2k-1)pi] + Σ(k = 1 to ∞) 8*(1-(-1)^(2k))sin((2k)x) / [(2k)pi]
= Σ(k = 1 to ∞) 16sin((2k-1)x) / [(2k-1)pi] + 0
然後啞變元,把 k 再換回 n
f(x) = Σ(n = 1 to ∞) 16sin((2n-1)x) / [(2n-1)pi]

33144653 發表於 2020-1-2 09:34

[i=s] 本帖最後由 33144653 於 2020-1-2 01:39 編輯 [/i]

只有奇數  bn才會是16/pi
另外如果你已判斷出這是奇函數還是偶函數,a0&an根本連算都不用算~

39475494 發表於 2020-1-3 10:52

[i=s] 本帖最後由 39475494 於 2020-1-3 11:05 編輯 [/i]

3#
是的sin(奇函數)怎麼疊加都還是奇函數,而且還會破壞偶函數的對稱性。cos(偶函數)亦是如此。
所以某個奇函數去解傅立葉,基底不會有cos(偶函數)。偶函數亦是如此。
還有就是 sin 和 cos 不管怎麼疊,長時間下來的的平均值都會是 0
∫0到∞ [asin(pt)^m + bcos(qt)^n ] dt / t = 0
所以如果函數有非零的平均值,a0 就有值 ( sin cos 疊不出這個,只能靠 a0 )

22169751 發表於 2020-4-3 01:53

求[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?f(x)=\left\{\begin{matrix}sinh(x),K\leq&space;x<&space;2K&space;\\&space;0,0\leq&space;X<&space;K&space;and&space;x\geq&space;2K&space;\end{matrix}\right.[/img]的傅立葉cos和sin轉換

想問這題有沒有像是傅立葉轉換的平移a直接乘以[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?e^{-i\omega&space;a}[/img]的做法
還是只能從定義[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_{0}^{\infty&space;}f(x)cos(\omega&space;x)dx[/img]慢慢做

22169751 發表於 2020-6-23 17:39

[i=s] 本帖最後由 22169751 於 2020-6-24 00:09 編輯 [/i]

解▽²u(x,y)=0
u(0,y)=u(1,y)=0,0≦y≦π
u(x,π)=0
u(x,0)=sin(πx),0≦x≦1

A:[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?u(x,y)=\frac{1}{sinh\pi&space;^{2}}sin\pi&space;xsinh(\pi&space;(\pi&space;-y))[/img]
過程:
...
[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty&space;}A_{n}sinh(n\pi&space;(\pi&space;-y))sin(n\pi&space;x)[/img]

想問An如果解出來=0的話要怎麼變成答案那種形式

39475494 發表於 2020-6-29 10:41

[i=s] 本帖最後由 39475494 於 2020-6-29 10:42 編輯 [/i]

如果解出來 An = 0
那就 u(x,y) = 0 了
你可以檢查一下 A1 是不是還未知? 只是 A2以後 = 0
然後 u(x,0) = sin(pi x) 代入, A1 可得 1/ sinh(x²)

22169751 發表於 2020-6-29 13:36

[i=s] 本帖最後由 22169751 於 2020-6-29 23:53 編輯 [/i]

如果這題u(x,0)的條件改成u(x,0)=sin(2πx),0≦x≦1
那答案會是n=2的時候 對嗎?

順便問一下
這題在解y的邊界條件的時候:Y(y)''-n²π²Y(y)=0,Y(π)=0
[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?Y(y)=ce^{n\pi&space;y}+de^{-n\pi&space;y}[/img]

如果邊界條件是Y(0)=0
c+d=0
c=-d
所以Y(y)=c*sinhnπy

但是這題邊界條件Y(π)=0
[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?Y(\pi&space;)=ce^{n\pi^{2}}+de^{-n\pi^{2}}=0[/img]
要怎麼轉成Y(y)=sinhnπ(π-y)的形式
還是只能先把題目條件轉成Y(0)=0解出sinhnπy後再進行座標變換轉成sinhnπ(π-y)

29541758 發表於 2020-6-29 21:41

我好奇你要怎麼把數學式放上來的

22169751 發表於 2020-6-29 22:24

[url=https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php?lang=en-en]https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php?lang=en-en[/url]
輸入數學式後把URL碼複製過來
然後後面加上[/img]
前面加上[img]

39475494 發表於 2020-6-30 10:21

[i=s] 本帖最後由 39475494 於 2020-6-30 11:18 編輯 [/i]

如果這題u(x,0)的條件改成u(x,0)=sin(2πx),0≦x≦1
那答案會是n=2的時候 對嗎?
很有可能,但不保證

cosh(x) = [e^x + e^(-x)] / 2
sinh(x) = [e^x - e^(-x)] / 2
你可以將 C e^x + D e^(-x) 改成 C' cosh(x) + D' sinh(x) 去解
會不會比較好解,不確定

22169751 發表於 2020-7-1 03:21

取n=1的原因是因為sinπx和sinnπx在n不等於1的時候會正交 沒錯吧
我才想說如果改成sin2πx的話應該是取n=2這樣

39475494 發表於 2020-7-1 10:12

[quote]取n=1的原因是因為sinπx和sinnπx在n不等於1的時候會正交 沒錯吧
我才想說如果改成sin2πx的話應該是取n=2 ...
[size=2][color=#999999]22169751 發表於 2020-7-1 03:21[/color] [url=http://bbs.61.com.tw/redirect.php?goto=findpost&pid=16804015&ptid=469547][img]http://bbs.61.com.tw/images/common/back.gif[/img][/url][/size][/quote]

理由是醬沒錯
每個正交基底去比較係數可得

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