【數學】數列與級數

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等差數列<a_n> 中 ，a_n > 0 且前n項的和S_n ， 滿足 6S_n = (a_n)^2 + 3a_n -4 ，試問此數列的公差







(還有把這個函數微分有什麼意義嗎?)

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等差數列 中 ，a_n > 0 且前n項的和S_n ， 滿足 6S_n = (a_n)^2 + 3a_n -4 ，試問此數列的公差

(還有把這個函數微分有什麼意義嗎?)
45959595 發表於 2013-9-16 11:58

這題還不錯唷
不過我覺得後面的「前 n 項 ... + 3a_n -4」， 改成「前 k 項 ... + 3a_k -4」 比較好
一般 n 會代表末項，這裡不是指末項，而是一個通則

微分的話，對 n 微分，然後 S -> a -> d

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基本上把原式替換為只有 a_1 , n , d 未知數的函數
然後令 n=1 代入 ， 得知 a_1 ，再令 n=2 代入 就可得 d

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基本上把原式替換為只有 a_1 , n , d 未知數的函數
然後令 n=1 代入 ， 得知 a_1 ，再令 n=2 代入 就可得 d
46733194 發表於 2013-9-17 11:56

恩，這是最基本的解法
另外我想知道的是
對a_n微分會變成什麼?

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恩，這是最基本的解法
另外我想知道的是
對a_n微分會變成什麼?
45959595 發表於 2013-9-17 15:29

我不是提示過這裡的 n 不是末項，是變量
把 n 當變量去微分呀

an = a1 + (n-1)d
d(an)/dn = d

Sn = (a1+an)n/2
d(Sn)/dn = dn/2 + (a1+an)/2 = (2an + d)/2 = an + d/2
d²(Sn)/dn² = d(an + d/2)/dn = d

其實這題拿到，就直接 Sn 微兩次 = d
然後 6Sn = an² + 3an - 4 微兩次
an² + 3an - 4 → 2d an + 3d  → 2d²
6d = 2d² ， d = 0 or 3 就出來了
代回去看合不合 d = 3 應該是合的
(微分式成立不代表原式成立，所以要代回去)

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對了，你有看出來我第一篇寫的嗎 ?
「微分的話，對 n 微分，然後 S -> a -> d」
用圖形來想一想

再來，實際微分的結果，Sn  -> an + d/2 -> d
為什麼會多出來  + d/2  ?