[【學科】] 【數學】多項式定理

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問題: 設正整數n≧3，已知(1-x)+(1-x)^2+(1-x)^3+...+(1-x)^n的展開式中x^2項的係數可表為an^3+bn^2+cn+d，試求常數a、b、c、d的值。

我的作法:

當n=3，x^2係數為4
　n=4，x^2係數為10
　n=5，x^2係數為20
　n=6，x^2係數為35

以上計算都正確!!!

然後我就很直覺的把an^3+bn^2+cn+d設為f(n)

接著我就把n一個個帶進去啦

f(3)=4、f(4)=10、f(5)=20、f(6)=35

我再利用牛頓差值法，寫成這樣: f(n)=a(n-3)(n-4)(n-5)+b(n-3)(n-4)+c(n-3)+d

把n一個個帶進去解係數，結果答案就錯了

其實我也不太清楚自己在幹嘛，但我想知道這樣做有錯? 正確方法又應為如何?

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f(n)=a(n-3)(n-4)(n-5)+b(n-3)(n-4)+c(n-3)+d →(1)

由f(3)=4得 4=a(3-3)(3-4)(3-5)+b(3-3)(3-4)+c(3-3)+d, 4=d
由f(4)=10得 10=a(4-3)(4-4)(4-5)+b(4-3)(4-4)+c(4-3)+4, 10=c+4, 6=c
由f(5)=20得 20=a(5-3)(5-4)(5-5)+b(5-3)(5-4)+6(5-3)+4, 20=2b+12+4, 4=2b, 2=b
由f(6)=35得 35=a(6-3)(6-4)(6-5)+2(6-3)(6-4)+6(6-3)+4, 35=6a+12+18+4, 1=6a, 1/6=a

代入(1)得f(n)=1/6(n-3)(n-4)(n-5)+2(n-3)(n-4)+6(n-3)+4 →(2)

再將(2)展開成題目給的an³+bn²+cn+d的形式
→ f(n)=1/6(n²-7n+12)(n-5)+2(n²-7n+12)+6n-18+4
f(n)=1/6(n³-12n²+47n-60)+2(n²-7n+12)+6n-14
f(n)=( (1/6)n³-2n²+(47/6)n-10 )+(2n²-14n+24)+6n-14
f(n)=(1/6)n³-(1/6)n
比較得a=1/6 , b=0 , c=-(1/6), d=0

再代一個好了
f(7)=(C2取2)(-1)²+(C3取2)(-1)²+...+(C7取2)(-1)²
=1+3+...+21=56
f(7)=(1/6)(343)-(1/6)(7)
=(1/6)(343-7)
=336/6=56

40033444

方向對了
可能你牛頓差值法的代號跟題目的搞混

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f(n)=a(n-3)(n-4)(n-5)+b(n-3)(n-4)+c(n-3)+d →(1)

由f(3)=4得 4=a(3-3)(3-4)(3-5)+b(3-3)(3-4)+c(3-3)+d ...
40033444 發表於 2018-5-3 01:00

喔~原來只是沒有乘開

謝囉

39475494

引述
然後我就很直覺的把an^3+bn^2+cn+d設為f(n)
我再利用牛頓差值法，寫成這樣: f(n)=a(n-3)(n-4)(n-5)+b(n-3)(n-4)+c(n-3)+d
----
請注意，這兩式子中的 a , b , c , d 不一樣唷
所以你要改一下 : f(n)=s(n-3)(n-4)(n-5)+t(n-3)(n-4)+u(n-3)+v
然後解出 stuv，代回原式展開，得到 abcd

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引述
然後我就很直覺的把an^3+bn^2+cn+d設為f(n)
我再利用牛頓差值法，寫成這樣: f(n)=a(n-3)(n-4)(n-5)+b( ...
39475494 發表於 2018-5-3 18:44

嗯，我後來有發現

未知數的代號設得不好