[【學科】] 【物理】高二物理-重力位能的一般式

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1.
在完成登月任務後，登月艇自月球表面升空與母船會合。母船與登月艇會合後一起繞月球作圓周運動，其速率為v。母船與登月艇的質量均為m，月球的質量為M，重力常數為G。在啟動歸程時，船上火箭作一短時間的噴射(噴出廢氣的質量及動量均可忽略)，使登月艇與母船分離，且分離方向與速度平行。若分離後母船恰能完全脫離月球的引力求
(1)在剛分離後登月艇的速率
(2)母船與登月艇在火箭噴射的過程中共獲得的力學能
(所有答案以G M m v表示)

A: (1)(2-2√2)v (2)(3-2√2)mv

2.黑洞(black hole)之密度極大，所以它的脫離速度超過光速，雖然要描述黑洞需用到廣義相對論，但計算其半徑時，牛頓定律仍然適用，遵此，(A)若黑洞質量為M，c為光速，則黑洞半徑為何?(B)已知地表之脫離速度為11.2km/s，地球半徑為r=m，則地球變為黑洞時半徑約為若干?

A: (A)2GM/c²(B)8.9mm

3.
質量m的人造衛星在近地點B以角動量L繞地球作橢圓軌道運行，若近地距為r，遠地距為3r，則(1)由B點到A點(遠地點)，萬有引力對行星作功為何(2)系統的力學能為何?

A: (1)-4L²/9mr²(2)-L²/6mr²

以上數題  求過程 感恩

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我做個一題好了
1.
分離前
F = GM(2m)/x² = (2m)v²/x
x = GM/v²
恰能完成脫離
表示動能 = 到無限遠處的位能差
(1/2)mv'² = GMm/x
v'² = 2v²
v' = √2v (分離後的母船)
那分離後的登入艇 v" 呢 ?
2mv = mv' + mv"
v" = 2v - v' = 2v - √2v (答案不太一樣耶，能確認一下答案對嗎?)
位置還沒變
看動能變化就好了
母船 (1/2)mv² -> (1/2)mv'² = (1/2)m2v²
子艇 (1/2)mv² -> (1/2)mv"² = (1/2)m(2-√2)²v²
能量總變化 = (1/2)m[2v² + (2-√2)²v² - v² - v²]
= (1/2)m[(2-√2)²v²]
= (1/2)m[(6-4√2)v²
= (3-2√2)mv²
(答案怪怪的唷，v 怎麼沒有平方 ? 單位會不對應唷)

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2.
黑洞，光線逃不掉
表面到無限遠處所需的位能 >= 光的動能
GMm/r >= (1/2)mc²
2GM/c² >= r
所以 r 至多只能 = 2GM/c²

地表之脫離速度為11.2km/s，地球半徑為r=6400000m
2GM/(11200)² = 6400000
2GM/(300000000)² = r
r = 6400000 * (11200/300000000)²
= 64 * 112² / 9 / 10^7
= 89201 / 10^7 (m)
即 r = 8.92 (mm)

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3. 寫完算了，差一題沒寫也覺得空著不好

質量m的人造衛星在近地點B以角動量L
vB = L/m/r
vA = L/m/(3r) = vB/3
能量守恆，重力作功 = (1/2)mvA² - (1/2)mvB²
= (1/2)m[(L/m/r)²/9 - (L/m/r)²]
= (-4/9)m(L/m/r)²
= (-4/9)L²/m/r²

重力作功 = -GMm/r - (-GMm/r/3)
= (-2/3)GMm/r = (-4/9)L²/m/r²
GMm/r = (2/3)L²/m/r²

力學能 = -GMm/r + (1/2)mvB²
= -GMm/r + (1/2)m(L/m/r)²
= -(2/3)L²/m/r²+ (1/2)L²/m/r²
= -(1/6)L²/m/r²

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對了
第三題跟你講一個觀念
算重力作功的時候，他是等於 -GMm/r - (-GMm/r/3) 沒錯
但 GM = ? 你不知道

切記 !! 不要用 GMm/r² = mv²/r 去算唷!!
向心力 = GMm/r² 沒錯，但 不等於 mv²/r
因為 r 是要用曲率半徑
圓周運動，曲率半徑和軌道半徑是相等的，沒問題
橢圓軌道的運動，那個r≠焦距唷!!

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我做個一題好了
1.
分離前
F = GM(2m)/x² = (2m)v²/x
x = GM/v²
恰能完成脫離
表示動能 = 到無限遠處的 ...
39475494 發表於 2016-4-27 12:43

我的錯
你的答案是對的
放上來之前還再三檢查過的
沒想到還是有誤

22169751

對了
第三題跟你講一個觀念
算重力作功的時候，他是等於 -GMm/r - (-GMm/r/3) 沒錯
但 GM = ? 你不知道

切 ...
39475494 發表於 2016-4-27 17:48

這招我用了2次段考一直到上禮拜才發現不能這樣用
但是v=ωr似乎可以成立
克卜勒行星運動第二定律:面積速率=rvSinθ/2=r²ω/2
所以vSinθ=ωr
在近日點or遠日點時v=ωr成立

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這招我用了2次段考一直到上禮拜才發現不能這樣用
但是v=ωr似乎可以成立
克卜勒行星運動第二定律:面積速率 ...
22169751 發表於 2016-4-27 23:45

所以呀，記公式最怕就是判斷不出來何時能用何時不能用
你背不起來呀
所以要懂原理
向心加速度 = v²/r
我好像有畫過証明

圓形的好搞是因為， △t的時間，讓 v1向量變到 v2向量
v2 和 v1 的方向都是切圓
v2 和 v1 的夾角 = △θ，v1 v2 △v 組成的相似三角形，對應到圓上的等腰三角形就是 r, r, r△θ
這是圖形上面的 r，v1 v2 和兩個 r 都垂直，才有相似形
橢圓上可不一樣，楕圓上v 和 r 不會保持垂直的
就算把 v1 放在近日點或遠日點上，垂直的，v2 就不垂直了

至於 v = wr
w 本身就有對應被繞者的觀點，所以它用的 r 是距離
不過 v 要注意，只有近日點和遠日點才對，不然會有個夾角