[【學科】] 【問題】高中數理-柯西不等式

40642884

目前知道柯西不等式公式為：(ax+by)² ≤ (a²+b²)(x²+y²)

求解樓下題目((我依然解不出來))

設x,y為實數，且X^2+Y^2=1

求(5x+12y)的最大值和最小值?

41050474

恩聽起來很厲害^^，但抱歉我聽不太懂因為我才小五^^

40033444

(ax+by)² ≤ (a²+b²)(x²+y²)
a=5 b=12
(5x+12y)²≤169
5x+12y≤13
5x+12y≧-13

-13≤5x+12y≤13

40642884

(ax+by)² ≤ (a²+b²)(x²+y²)
a=5 b=12
(5x+12y)²≤169
5x+12y≤13
5x+12y≧-13

-13≤5x+12y≤13 ...
40033444 發表於 2017/9/17 15:31

最大值13
最小值-13

感謝解答

39475494

你要學會怎麼配才是重點唷

柯西 (ax+by)² ≤ (a²+b²)(x²+y²)
已知 X²+Y²=1
求(5x+12y)的最大值和最小值

你看一下已知，X²+Y²=1
他型式上符合柯西的左邊還是右邊 ?
ax+by 和 X²+Y² 不像吧
a²+b²(或 x²+y²) 和 X²+Y² 超級像
所以先想到 X²+Y² 放右邊，取代 x²+y² 好了，不然x X，y Y 容易搞混
(aX+bY)² ≤ (a²+b²)(X²+Y²) ，其中 X²+Y² = 1 唷
再來，就是思考 a, b 要放多少了
題目問的是(5X+12Y)，和左邊比一比 aX+bY
所以很明顯就是 a=5, b=12 代入
所以科西變成 (5X+12Y)² ≤ (5²+12²)(1)
-13 ≤ (5X+12Y) ≤ 13

對了 科西不等式是一個必成立的不等式
然後 abxy 可任意實數代入，均成立

40642884

你要學會怎麼配才是重點唷

柯西 (ax+by)² ≤ (a²+b²)(x²+y²)
已知 X²+Y²=1
求(5x+12y)的最大值和最 ...
39475494 發表於 2017/9/18 10:37

   非常感謝超詳細做法！！會再回去做一些改數字的題目多練，謝(≧▽≦)(≧▽≦)

22169751

若a,b,c,d均為集合S={1,2,3,4,5}的元素，且此四數的算術平均數為μ，今將a,b,c,d分別平方後得到的四個數的算術平均數恰好為μ²，則符合上述條件的數據(a,b,c,d)有多少種?

A:5

39475494

a+b+c+d = 4u
a²+b²+c²+d² = 4u²

柯西不等式
(a+b+c+d)² <= (a²+b²+c²+d²)(1²+1²+1²+1²)
16u² <= (4u²)4
等式成立發生在 (a,b,c,d) = k(1,1,1,1) 時
所以就是 5 種

40033444

我覺得是5種
等號成立時 a/1 =  b/1 = c/1 = d/1
a=b=c=d
a可選1 or 2 or 3 or 4 or 5

39475494

對，五種
柯西是向量同方向
也就是等比例