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標題: 【高三】不等式第一回，等你來挑戰！ [打印本頁]
作者: 43289176    時間: 2011-10-13 10:59     標題: 【高三】不等式第一回，等你來挑戰！

本帖最後由 43289176 於 2011-10-31 01:46 編輯



請自行先解題，若解不出答案，點這裡找詳解！
作者: 39475494    時間: 2011-10-13 14:38

A)
9²=5²+6²-2*5*6*cosβ
cosβ = (25+36-81)/60 = -1/3
sinβ = √(1-1/9) = √(8/9) = 2(√2)/3
△ABC = (1/2)*5*6*sinβ=10√2，對

B)
△ABC = 5x/2 + 6y/2 + 9z/2 = 10√2
5x+6y+9z = 20√2，對

C)
可以把 5x+6y+9z=20√2 看成一個平面方程式
x²+y²+z² 可以看成原點(0,0,0)到該平面上一點(x,y,z)距離的平方...
原點到一平面的最小值，就是原點與該平面垂直拉線的時候
(5,6,9)是平面的法線向量，也就是該垂直線的方向向量
該向量從原點(0,0,0)射向平面交點，所以平面交點(x,y,z)=(5,6,9)k
所以最小值發生在和x,y,z和5,6,9成比例的時候

x = (20√2)*[5/(5²+6²+9²)] = (5/142)*20√2
y = (6/142)*20√2
z = (9/142)*20√2
x²+y²+z² = (1/142)*400*2 = 400/71，錯了

D)
(a/b+b/a)/2 ≧ √[(a/b)(b/a)] = 1
(a/b+b/a) ≧ 2
→當a/b=b/a時，(a/b+b/a)有最小值 2
→當a=b時，(a/b+b/a)有最小值 2

(5x+6y+9z)*(5/x+6/y+9/z) = 25+36+81+30(x/y+y/x)+45(x/z+z/x)+54(y/z+z/y)
(20√2)(5/x+6/y+9/z) = 142 + 30(x/y+y/x)+45(x/z+z/x)+54(y/z+z/y)
≧ 142 + 30*2+45*2+54*2 = 142 + 129*2 = 400 {其中，最小值發生在x=y,y=z,z=x → x=y=z時}
∴(5/x+6/y+9/z)的最小值 = 400 / (20√2) = 10√2，對

E)
最小值時，x=y=z，即P點到三邊的垂直距離相等
P點在三內角的角平分線上
(角平分線上的任意點，到兩邊的垂直距離相等)
所以 P點是內心，錯了

(A)(B)(D)
作者: 39475494    時間: 2011-10-13 15:09

上面是完整說明
選擇題的話，以最快的方式來看...
A)
cosβ = (25+36-81)/60 = -1/3
△ = (1/2)*5*6*(√8)/3 = 10√2，對

B)
5x+6y+9z = 2△ = 20√2，對

C)
5x+6y+9z = 20√2 → x,y,z不管怎麼配，一定至少其中一個 > 1
x²+y²+z² = 10√2/71 ?
10√2/71，這個數字太小了，不可能... (誰出的數字呀...)
算都不用算，錯了

D)
這個就真的要算了，看到x,y,z在分母，就乘個(已知)給它
看到(x/y+y/x)就要知道最小是 2 ，然後條件是 x=y
(5x+6y+9z)*(5/x+6/y+9/z)的最小值 = 25+36+81+30*2+45*2+54*2 = 400 (發生在x=y=z)
∴(5/x+6/y+9/z)的最小值 = 400 / (20√2) = 10√2，對

E)
x=y=z → P點在三內角的角平分線上
P點是內心，錯了
作者: 43289176    時間: 2011-10-17 15:43

上面是完整說明
選擇題的話，以最快的方式來看...
A)
cosβ = (25+36-81)/60 = -1/3
△ = (1/2)*5*6*(√8)/3 = 10√2，對

B)
5x+6y+9z = 2△ = 20√2，對

C)
5x+6y+9z = 20√2 → x,y,z不管怎麼配，一定至少其中一 ...
39475494 發表於 2011-10-13 07:09




冰語大大，

我對您的景仰有如滔滔江水一般，連綿不絕。我只有三個字可形容您：「太神了」！

作者: 26867711    時間: 2011-10-18 01:06

[/quote]
[quote]C)
可以把 5x+6y+9z=20√2 看成一個平面方程式
x²+y²+z² 可以看成原點(0,0,0)到該平面上一點(x,y,z)距離的平方...
原點到一平面的最小值，就是原點與該平面垂直拉線的時候
(5,6,9)是平面的法線向量，也就是該垂直線的方向向量
該向量從原點(0,0,0)射向平面交點，所以平面交點(x,y,z)=(5,6,9)k
所以最小值發生在和x,y,z和5,6,9成比例的時候

x = (20√2)*[5/(5²+6²+9²)] = (5/142)*20√2
y = (6/142)*20√2
z = (9/142)*20√2
x²+y²+z² = (1/142)*400*2 = 400/71，錯了

我的直覺是用柯西不等式    也跟向量有關
(x²+y²+z² )(5²+6²+9²)>=(5x+6y+9z)²=800
所以(x²+y²+z²) >= 800/142
等號成立在同向    即x:y:z=5:6:9
跟你的計算結果一樣
作者: 43289176    時間: 2011-10-20 21:50

我的直覺是用柯西不等式    也跟向量有關
(x²+y²+z² )(5²+6²+9²)>=(5x+6y+9z)²=800
所以(x²+y²+z²) >= 800/142
等號成立在同向    即x:y:z=5:6:9
跟你的計算結果一樣 ...
26867711 發表於 2011-10-17 17:06


恩，殊途是可以同歸的。



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