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標題: 【高三】不等式第二回，等你來挑戰！ [打印本頁]

作者: 43289176 時間: 2011-10-17 11:04 標題: 【高三】不等式第二回，等你來挑戰！

本帖最後由 43289176 於 2011-10-31 01:47 編輯

請自行先解題，若解不出答案，點這裡找詳解！

作者: 39475494 時間: 2011-10-17 13:34

[2^x+2^(-x)]/2 ≧ √[2^x * 2^(-x)] = 1
∴[2^x+2^(-x)] ≧ 2
當2^x = 2^(-x) 時，有最小值 2 ，此時2^x = 2^(-x) → x=0

下面式中，(2^x)² = 2^(2x) = (2²)^x = 4^x
同理，[2^(-x)]² = 4^(-x)
[2^x + 2^(-x)]²
= (2^x)² + 2[2^x * 2^(-x)] + [2^(-x)]²
= 4^x + 4^(-x) + 2

(1)
令 a = 2^x + 2^(-x)
上述可知，當 x=0 時，a有最小值 2
f(x) = 4^x + 4^(-x) - 2^x + 2^(-x)
= [2^x + 2^(-x)]² - 2 - 2^x + 2^(-x)
= a² - a - 2
= (a-1/2)²-1/4-2
↑這圖形是杯口朝上，中間軸 a=1/2，最下面一點是(1/2,-9/4)
又 a≧2 (1/2不在範圍內)
所以 f(x)最小值是發生在邊界 a=2 的時候 (此時 x=0)
f(x)最小值 = 2² - 2 - 2 = 0

(2)
不等式f(x)≦0 的解
已知 f(x)≦0
又由(1)可知，f(x)最小值為 0
故 f(x) = 0
此時， 2^x + 2^(-x) = 2

又2^x + 2^(-x) ≧ 2
最小值 2 發生在 2^x = 2^(-x)
∴ x = 0
PS：上面都有寫過 ~

作者: 43289176 時間: 2011-10-17 14:57

[2^x+2^(-x)]/2 ≧ √[2^x * 2^(-x)] = 1
∴[2^x+2^(-x)] ≧ 2
當2^x = 2^(-x) 時，有最小值 2 ，此時2^x = 2^(-x) → x=0

下面式中，(2^x)² = 2^(2x) = (2²)^x = 4^x
同理，[2^(-x)]² = 4^(-x)
[2^x + 2^(-x)] ...
39475494 發表於 2011-10-17 05:34

不愧是冰語老師，完全正解！

冰語老師，我好想學三國的劉備，到您府上給您三顧茅廬... ^_^

作者: 26867711 時間: 2011-10-18 00:48

如果係數複雜一點的話我也是像#2一樣的作法
但這一題數字給的太爽了可以直接做圖看出答案
因為f(x)=f(-x) 所以圖形對稱y軸可以只討論x軸正向
f(x)=[4^x + 4^(-x)] - [2^x + 2^(-x)]
   =[4^x - 2^x] - [ 2^(-x)-4^(-x)]
看起來前項的變化率遠大於後項
所以x越大 f(x)越大推測x=0時 f(x)有極小值0

x趨近0時圖形看不出來那推推看
f(x)=[4^x + 4^(-x)] - [2^x + 2^(-x)]
   =[4^x - 2^x] - [ 2^(-x)-4^(-x)]
   ={[2^(3x)]-1}[ 2^(-x)-4^(-x)]

所以x>0時 f(x)>0
因此x=0時 f(x)有極小值0

另外
我一直覺得第二問不該問
第二問比較簡單但第一問不會就會跟著錯
一罪二罰吾未見其明也
題目應該獨立一點

作者: 43289176 時間: 2011-10-18 09:33

如果係數複雜一點的話我也是像#2一樣的作法
但這一題數字給的太爽了可以直接做圖看出答案
因為f(x)=f(-x) 所以圖形對稱y軸可以只討論x軸正向
f(x)=[4^x + 4^(-x)] - [2^x + 2^(-x)]
=[4^x - 2^x ...
26867711 發表於 2011-10-17 16:48

敢問兄台可是素還真？

我在想，如果我今天改出國中的題目，您與冰語應該都會覺得太簡單，可是高中的題目對其他的同學又太難，
不太好拿捏...

兄台是學生否？

高中乎？大學乎？

作者: 29241576 時間: 2011-10-22 23:12

(1)
設2^x + 2^(-x)=t (t大於等於2 by 算幾不等式)
=> 4^x + 4^(-x)=t^2-2
=> f(x)=(t^2-2)-t
=t^2-t-2
=(t-1/2)^2-9/4
又t大於等於2
故當t=2(即算幾不等式等號成立=> x=0)時
f(x)有min=0

(2)
f(x)≧0
=> 所求即"="成立
x=0

作者: 28009517 時間: 2011-10-22 23:53

這個我們還沒教哪~(段考就是這裡不會才被減6分的還說不會?

作者: 43289176 時間: 2011-10-24 11:59

(1)
設2^x + 2^(-x)=t (t大於等於2 by 算幾不等式)
=> 4^x + 4^(-x)=t^2-2
=> f(x)=(t^2-2)-t
=t^2-t-2
=(t-1/2)^2-9/4
又t大於等於2
故當t=2(即算幾不等式等號成立=> x=0)時
f(x)有min=0

(2 ...
29241576 發表於 2011-10-22 15:12

嗶啵~ (答對的聲音)
嗶啵~
恭喜您！

作者: 43289176 時間: 2011-10-24 12:00

這個我們還沒教哪~(段考就是這裡不會才被減6分的還說不會?
28009517 發表於 2011-10-22 15:53

雪代下次把六分補回來喔，加油！

作者: 36810275 時間: 2011-10-24 18:09

哇塞!!高三!!
((驚訝中

作者: 21723034 時間: 2011-10-24 19:20

傲夢：

高一下～高三up我都應付不來XD

作者: 29241576 時間: 2011-10-25 00:04

明明就是高一下第一章：指數與對數
學測總複習一個多月前的進度

作者: 43289176 時間: 2011-10-27 10:25

明明就是高一下第一章：指數與對數
學測總複習一個多月前的進度
29241576 發表於 2011-10-24 16:04

哈囉~ (還是不曉得該怎麼稱呼你，你的暱稱是...？)

我特別確認了一下，這題是師大附中高三的校內考試題目，所以範圍應該是正確的。

作者: 29241576 時間: 2011-10-29 17:21

恩.....應該說是這題用了跨章節的觀念

(1)
設2^x + 2^(-x)=t (t大於等於2 by 算幾不等式)
第一冊第二章：數列與級數；選修一：不等式
=> 4^x + 4^(-x)=t^2-2
=> f(x)=(t^2-2)-t
=t^2-t-2
=(t-1/2)^2-9/4
又t大於等於2
故當t=2(即算幾不等式等號成立=> x=0)時
f(x)有min=0
第一冊第三章：多項式

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