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標題: 【數學】金幣與天平的問題 [打印本頁]

作者: 39475494 時間: 2012-8-10 13:31 標題: 【數學】金幣與天平的問題

這本來是某個討論串裡面聊到的
題目是這樣子 ...

金幣有１３枚，外觀上看起來都一樣
其中１２枚是純金的（稱為「真幣」)
另外的那１枚成分卻不是純金的（稱為「假幣」或「偽幣」均可)

不過，這１２枚「真幣」重量都一樣
而「假幣」的重量和「真幣」卻有點不同，但不知道誰比較重

另外有天平一座
天平的特性 – 左右兩邊放上金幣，重的一邊會下沉，輕的一邊會上抬，兩邊一樣重，則保持平衡
現在，規定只能使用天平三次
請問，要如何操作天平和金幣，才能保証在三次內（包含三次）找出那枚「假幣」？

作者: 22507167 時間: 2012-8-11 19:31

布袋戲不見，應該沒什麼人會來解～

作者: 32118045 時間: 2012-8-11 19:40

提示: 作者被禁止或刪除內容自動屏蔽

作者: 22507167 時間: 2012-8-11 20:26

本帖最後由 22507167 於 2012-8-11 20:35 編輯

將錢幣分成三等分（四個、四個、五個），然後拿其中兩份到天秤上去秤。
此時有兩個狀況：一、天秤平衡。二、天秤不平衡。（廢話）
而且還剩下兩次測量的機會。

狀況一：
可以知道剩餘的第三等份含有偽幣。而其他八枚錢幣是真的。
第三份假設是1 2 3 4 5
從八枚真幣與第三份中，各拿3枚(第3份)與1枚(前兩份，設為？)來測量。（第二次機會）
1 2 和 3 ？量天秤，如果相同重量，４和５其中一個是假的，
４和？量天秤，重量不同４假，相同, ５假

狀況二：
可以知道這兩份裡面含有偽幣。但在哪一份並不知道。
而其他四枚錢幣是真的。
為方便解釋，將這三份取代號為A、B、C。（原本測量的為A、B，C則全為真幣）
此時，從A中拿三枚錢幣到B，B三枚錢幣到C，C三枚錢幣到A，並記住移動的錢幣是哪些。
將A、B在測量一次（第二次機會）

此時會出現三種狀況：
狀況1：
兩者相等，則表示此時A、B全為真幣，從B移動到C的三枚錢幣含偽幣；並且由第一次測量時，A全為真幣，而B含偽幣，可由此得知偽幣比真幣重或輕。
狀況2：
兩者不相等，並且結果與第一次測量時不同（例如第一次是A比B重，第二次變成B比A重。），則表示從A移動到B的三枚錢幣含有偽幣；並且可以知道偽幣比真幣重或輕。
狀況3：
兩者不相等，並且結果與第一次測量時相同，則表示原本在A與B沒有移動的錢幣，其中一枚是偽幣。

狀況1與狀況2
已得知偽幣比真幣重或輕，從含偽幣的三枚金幣中任拿兩枚來測量。（第三次機會）
若兩者不相等，則由輕重可判斷哪一枚是偽幣。
若兩者相等，則餘下的那枚金幣是偽幣。

狀況3
已將不確定的錢幣篩選到只剩兩枚，其他十一枚錢幣為真。
從那兩枚錢幣中拿一枚與真幣測量。
若兩者不相等，則這次拿取的是偽幣。
若兩者相等，則餘下的那枚金幣是偽幣。

作者: 39475494 時間: 2012-8-11 21:03

寫的不錯呀 (雖然有點擔心只有我看的懂)

1 2 和 3 ？量天秤，如果相同重量，４和５其中一個是假的，
４和？量天秤，重量不同４假，相同, ５假
如果不同呢?

另外，狀況二「而其他四枚錢幣是真的。」，應該是五枚 (小錯字，不影響結果)

作者: 22507167 時間: 2012-8-11 22:03

原本想說刪掉，在默默的給他想一下，然後你就回覆了= =

作者: 39475494 時間: 2012-8-11 22:18

那我就當沒看到好了 ~
過幾天我會把我的想法 po 上來
不過看不看的懂我不敢說 ...

作者: 22507167 時間: 2012-8-12 13:03

我又有新想法了！
如果不等重，就把１　２拿來量，
如果當初不等重的结果是１　２較輕，較輕的就是偽幣，
如果當初不等重的结果是１　２較重，較重的就是偽幣，
如果１　２等重，３就是偽幣～

作者: 29818776 時間: 2012-8-12 13:08

這在康軒版數學1下第5章的延伸學習有類似的題目(不知道有沒有改掉)

作者: 39475494 時間: 2012-8-12 14:00

我又有新想法了！
如果不等重，就把１　２拿來量，
如果當初不等重的结果是１　２較輕，較輕的就是偽幣，
如果當初不等重的结果是１　２較重，較重的就是偽幣，
如果１　２等重，３就是偽幣～ ...
22507167 發表於 2012-8-12 05:03

不錯呀
這樣子就完整了
你可以開始思考怎麼去完整的架構這理論
然後研究一些大方向
比方，14個金幣找出一個假幣行不行? 為什麼?
天平四次可以做到什麼程度
給你一個方向：
判斷幣的真假，要看該幣之前輕重和目前的輕重，也就是該幣與天平的「記錄」，這是重點

作者: 39475494 時間: 2012-8-12 14:01

這在康軒版數學1下第5章的延伸學習有類似的題目(不知道有沒有改掉)
29818776 發表於 2012-8-12 05:08

類似呀?
不知道有沒有人可以確定一下
如果是「不知假幣的輕重」，而且又是「１３枚」
那這題太狠了 ...

作者: 23076964 時間: 2012-8-14 14:48

訣竅是：
右邊拿到左邊
左邊拿到右邊
然後其中一邊換上一些真的
(其實這題是老師出的.我答對還拿到錢)

其實8枚秤兩次就能確定.但要求輕重就要加一次
4枚秤兩次
12枚3次.可以加到13
多一枚的解法也沒差.也是照原來方法.
前兩次都沒秤到.就確定了.然後再拿真的來比輕重

作者: 23076964 時間: 2012-8-14 14:59

我都用畫圖來解.但是沒有我的解釋
那張圖會看起來像一堆廢墟

作者: 39475494 時間: 2012-8-14 15:08

訣竅是：
右邊拿到左邊
左邊拿到右邊
然後其中一邊換上一些真的
(其實這題是老師出的.我答對還拿到錢)

其實8枚秤兩次就能確定.但要求輕重就要加一次
4枚秤兩次
12枚3次.可以加到13
多一枚的解法也沒差.也是照原來方 ...
23076964 發表於 2012-8-14 06:48

1. 左邊拿到右邊，右邊拿到左邊? 能說個道理嗎? (訣竅怪怪的)
2. 八枚秤兩次? 那不求輕重秤兩次的方法說一下吧.... (什麼叫是要求輕重?光這句詞我就看不懂了)
3. 4枚秤兩次，我認同
4. 你可以思考，為什麼三次的極限是13枚，理由?

作者: 39475494 時間: 2012-8-14 18:03

這是與各位討論還是提供題目思考?我的解法是分為5.4.4!再放入天平，會有天平平衡問題。
21229836 發表於 2012-8-14 09:32

是討論也是提供題目
不過因為我分析完畢了，所以變成我會去看大家寫的
想辦法多挖一些話出來

嗯，5 , 4 , 4 之後呢?

作者: 39475494 時間: 2012-8-14 19:07

我都用畫圖來解.但是沒有我的解釋
那張圖會看起來像一堆廢墟
23076964 發表於 2012-8-14 06:59

^___^
有隱字耶
我知道你有試出一些技巧，或者，其實也不一定要像 4# 一樣， A → B → C → A (3枚之類的)
這些移來移去的放法，其實有道理的唷
你如果能看出這道理，就快破解這類型了

你的想法並沒有錯，只是很模糊

作者: 23076964 時間: 2012-8-15 14:27

我先整理一下分支圖.兩天後貼上來
等我貼上來就會清楚多了

作者: 23076964 時間: 2012-8-15 14:28

17# 39475494

不是很模糊.我是兩個月前就解出來了

作者: 23076964 時間: 2012-8-15 14:28

分法:4441

作者: 23076964 時間: 2012-8-17 17:41

圖片附件: 數學解法.jpg (2012-8-17 17:41, 58.94 KB) / 下載次數 5
http://bbs.61.com.tw/attachment.php?aid=1226128&k=d0e0402bd368ceb2c9f235957a58c3cc&t=1761798744&sid=JL6JnQ

作者: 39475494 時間: 2012-8-20 01:31

這兩天有點沒空，所以現在才回
這解答有點問題，依你的操作分類，假設情況如下
1234 vs 5678 平
9 10 vs 11 12 左重右輕
9 11 vs 12 13 左重右輕
你能確定，假幣是 9(比真幣重)，還是12(比真幣輕) 嗎?
------------
另外就是 (視情況) ← 這句有點敷衍，雖然這點沒錯，但你省略了 ^_____^

作者: 23076964 時間: 2012-8-20 12:54

歐...(回去翻計算過程
12改成10
我弄錯圖了...

作者: 39475494 時間: 2012-8-20 15:53

歐...(回去翻計算過程
12改成10
我弄錯圖了...
23076964 發表於 2012-8-20 04:54

那也一樣，情況跟著改一下而已 (變更處我用紅色)

1234 vs 5678 平
9 10 vs 11 12 左重右輕
9 11 vs 10 13 左輕右重
那 ~ 11是較輕的假幣，還是10是較重的假幣

作者: 39475494 時間: 2012-8-21 01:50

其實 ... 是「9 10 vs 11 12」這步不合理論
所以天平的第三次沒辦法完美的解出每種可能

至於理論，過幾天我有空會寫出來

作者: 20539650 時間: 2012-8-21 14:15

去猜的(被揍

作者: 39475494 時間: 2012-8-22 18:22

去猜的(被揍
20539650 發表於 2012-8-21 06:15

猜是個很重要的能力
尤其是等你長大以後

很多想法不是順著產生的，偉大點的說法就是反向思考
猜，假設和假想是完成反相思考的方式之一

作者: 23076964 時間: 2012-8-23 12:59

11.13vs10.9

作者: 39475494 時間: 2012-8-23 13:58

11.13vs10.9
23076964 發表於 2012-8-23 04:59

你是指第三步嗎 ?
好，我們再跑一次

1234 vs 5678 平
9 10 vs 11 12 左重右輕
11 13 vs 10 9 左輕右重(假設天平的結果如此)
一樣不行 9重 , 10重 , 11輕，都有可能

如果你是指第二步 11 13 vs 10 9
那就假設 (左重右輕)好了
那第三步要跟我說你該怎麼配 ?

作者: 23076964 時間: 2012-8-24 12:52

好唄...

圖片附件: 數學解法.jpg (2012-8-24 12:52, 160.29 KB) / 下載次數 3
http://bbs.61.com.tw/attachment.php?aid=1238222&k=251ebcedb9fcef3021d7bedaa937efd5&t=1761798744&sid=JL6JnQ

作者: 23076964 時間: 2012-8-24 12:56

一直在想...
煩哪!!!!

作者: 39475494 時間: 2012-8-24 15:30

1238222

好唄...
23076964 發表於 2012-8-24 04:52

1234 vs 5678 平
9 10 vs 11 12 左重右輕
10 11 vs 12 13 左重右輕(假設天平的結果如此)
一樣不行，10重 , 12輕，都有可能

作者: 39475494 時間: 2012-8-24 15:32

一直在想...
煩哪!!!!
23076964 發表於 2012-8-24 04:56

多想，你的腦袋思考容量會逐漸變大唷
這對你是很好的事

不過我發現，你都一直在想第三步
真正的問題是在你的第二步
9 10 vs 11 12
這步讓你第三步怎麼放都不對

作者: 31558155 時間: 2012-8-24 16:47

33# 39475494
那個，我可以回答看看嗎?以上面那位大大的步驟來回答可以嗎?

1 2 3 4vs5 6 7 8　第一步驟，如果是相同重量的話

1 2 3 vs9 10 11 第二步驟，如果是相同重量，就可以知道12 13其中有偽幣，如果不是的話，就代表12 13是真幣，假設是左重右輕的話，我們就知道偽幣是較輕的

9 12vs 10 13 這是第二步驟的答案是不平衡的第三步驟，若兩者平衡，皆知道11是偽幣，若是左輕右重，就知道9是偽幣，相反，如果是左重右輕，那就是10是偽幣

1 2 3 12 vs 4 5 6 7 這是第二步驟為平衡的第三步驟，若相等，就等於13是偽幣，如果不相等的話，12就是偽幣

這樣對嗎？我現在才小五升小六，如果有錯，可以講詳細點嗎（錯誤的點）

作者: 39475494 時間: 2012-8-25 01:57

33# 39475494
那個，我可以回答看看嗎?以上面那位大大的步驟來回答可以嗎?
1 2 3 4vs5 6 7 8　第一步驟，如果是相同重量的話
1 2 3 vs9 10 11 第二步驟，如果是相同重量，就可以知道12 13其中有偽幣，如果不是的 ...
31558155 發表於 2012-8-24 08:47

如果你是接前一位，寫第一步平衡之後
很好呀，你這樣ok的

不過有點小毛病，不是錯誤，頂多算多此一舉
「9 12 vs 10 13 這是第二步驟的答案是不平衡的第三步驟」
第二步不平衡的話，12 和 13就是真幣了，那「9 12 vs 10 13」改成「9 vs 10」沒必要多放12 13在左右兩邊
「1 2 3 12 vs 4 5 6 7 這是第二步驟為平衡的第三步驟」也是
一開始平衡就知道 1~8 是真幣了，那「1 2 3 12 vs 4 5 6 7」改成「12 vs 1」就好了，沒必要多放一堆真幣在左右兩邊
當然，這不是錯誤啦 (放的多了點而已)
那還有一開始 1234 vs 5678 不平衡的情況
有興趣研究一下嗎?

作者: 34405407 時間: 2012-8-28 16:53

寫的不錯呀 (雖然有點擔心只有我看的懂)

另外，狀況二「而其他四枚錢幣是真的。」， ...
39475494 發表於 2012-8-11 13:03

你不用擔心我，因為我也看得懂。

作者: 39475494 時間: 2012-9-1 01:00

你不用擔心我，因為我也看得懂。
34405407 發表於 2012-8-28 08:53

很好呀
你也可以想一些解法
或是想原理更好
(解法不唯一，但原理唯一)

作者: 21135135 時間: 2012-9-1 09:45

糟了我看不懂 T^T

作者: 36081550 時間: 2012-9-1 20:49

稍微懂一點點

作者: 39475494 時間: 2012-10-8 00:19

之前忙沒空做，拖了很久
我貼一下我的想法

一開始的初步思考
天平金幣1.PNG

歸納思考

簡化描述

細部討論

討論Ⅱ的舉例

之後還有大約兩三篇還沒弄
一篇是種樹，一篇是範例
有空再做了

圖片附件: 天平金幣1.PNG (2012-10-8 00:19, 97.57 KB) / 下載次數 5
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圖片附件: 天平金幣2.PNG (2012-10-8 00:19, 44 KB) / 下載次數 4
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作者: 39475494 時間: 2012-10-8 00:20

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