Discuz! Board - Powered by Discuz! Board

標題: 【國1】倍數判別法 [打印本頁]

作者: 39269107 時間: 2012-11-9 21:44 標題: 【國1】倍數判別法

本帖最後由 39269107 於 2012-11-9 21:51 編輯

2的倍數：末1位為2的倍數
3的倍數：(各位數的數字相+)/3為整數
4的倍數：末2位為4的倍數
5的倍數：末1位為5的倍數
9的倍數：(各位數的數字相+)/9為整數
11的倍數：[(單數的數字)-(雙數的數字)]/11為整數

--------------------------------------------------------------------------------
                                          ~補充區~

6的倍數：末1位為2的倍數  且  (各位數的數字相+)/3為整數
11(指數隨機)的倍數：[(單數的數字)-(雙數的數字)]/11為整數

--------------------------------------------------------------------------------
                                          ~神手區~

2的倍數：末1位為2的倍數
4的倍數：末2位為4的倍數
8的倍數：末3位為8的倍數
16的倍數：末4位為16的倍數
32的倍數：末5位為32的倍數
64的倍數：末6位為64的倍數
.....................~永遠永遠  無窮無盡~.....................
相信  未來可以擺脫倍數的魔咒  勇往直前!
                  PS：此為教學  不會的不要再問我了  ^_^

作者: 29818776 時間: 2012-11-10 06:59

你可以在補充
7的倍數
13的倍數

作者: 39475494 時間: 2012-11-10 13:51

倍數，有個很重要的特性
就是他可以分堆
A 是 C 的倍數， B 也是 C 的倍數
那從 A 中拿走 B (即 A - B) 也會是 C 的倍數

進一步討論的話
A / C ，餘數是 D
B 是 C 的倍數
(A - B) / C，餘數一樣是D
也就是從 A 拿走 B ，不會影響 A 的餘數值

簡言之，你要計算 A 除以 C 的餘數，有一招就是
找個 B，B 是 C 的倍數，讓 A 去扣 B，然後剩的(A-B)去取代A
A/C 的餘數和 (A-B)/C 的餘數是一樣的 (但 A-B 比 A 小很多，而且這招可以連續用)
----
下面寫「化成」，或是「→」，就是指 A → (A-B)這件事
特性是他們 /C 的餘數是一樣的
----
10 /3 = 3 ... 1
所以，計算 /3 的餘數時，所有的 10 都可以化成 1
當然，100 = 10 個 10 化成 10 個 1 = 10 再化成 1
所以就得出來「某數的各位數總和值 / 3 的餘數，等於該數 / 3 的餘數」
當然，餘數 = 0 就是倍數
所以這也包含了「某數的各位數總和值是 3 的倍數，則該數為 3 的倍數」
例如：6144 → 6000 化成 6，100 化成 1，40 化成4，4 還是4
6144 / 3 的餘數 = (6+1+4+4) / 3 的餘數 = 15 / 3 的餘數 = 0
所以 6144 是 3 的倍數
上述分析
1000 → 100(10/3的餘數) → 100(1)=100 → 10(10/3 的餘數) → 10(1)=10 → 10/3 的餘數 → 1
所以 1000 不斷去扣 3 的倍數，最後會變 1
即是在討論 /3的餘數上，1000，可以當成 1 去看
(其實直接想 1000 - 999 = 1 ，999是 3 的倍數也行
但我想表達這是循環的，不止是1000，就算1000000000 也是 → 1)
所以 6000 當成6，並不影響計算 /3 的餘數
同理
100 化成 1，40 化成4，這些的道理是一樣的
所以 6144 → 6+144 → 6+1+44 → 6+1+4+4 = 15
6144 /3 的餘數和 15 /3 的餘數是一樣的
當然 15 也可以化成 1+5 = 6 ，但我想大家都有能力判斷 15 / 3，化成 6/3 沒變容易
(但有些數字再化是有好處的)
上面看的懂的話，就恭喜了，這邊的思維完整了
下面就飛車了
9的倍數： 10 / 9 = 1 ... 1
和 3 一樣，10, 100, 1000, 10000 ... 都化成 1
即在「計算餘數」這件事上，「各位數總和」可以「取代該數」
當然，其中之一的功能就是判斷是不是 9 的倍數，就算各位數總和值是不是 9 的倍數

11 的話，其實道理一樣
不過差一點的是 10 / 11 的餘數 .. 是 10 (可以當成 -1 去理解)
100 / 11 的餘數是 1
那 1000 呢? 1000 → 10 個 100 → 10 (1) = 10 → -1
那 10000 呢? 1000 → 100 個 100 → 100 (1) = 100 → 1
這循環看出來了吧 ?
所以才會有
該數 /11的餘數 = 該數的[(個位 + 百位+ 萬位+ ....) - (十位 + 千位 + 十萬位 + ....)]/11的餘數

7,13 用這降法不會簡化，所以沒有快速法
10 / 7 = 1 ... 3，3 很難用
100/7 = 14...2，2 也不好用
比方 158 / 7 = 22 ... 4
1*100+5*10+8 → 1*2 + 5*3 + 8 = 2+15+8 = 25
25/7 = 3 ... 4 一樣可以得到餘數 4 ，但不會比較快呀
3,9,11 好用是因數餘數有 1

再來，除以 2^n 也一樣
先拿 2 來看
10/2 = 5 ... 0
所以 10 → 0 ，這表示十位數以上的位數，直接清掉
同理 100/4 = 25 ... 0，1000/8 = 125 ... 0

可以反向思考一下
10 包含了一個 2 的因數
100 = 10² 包含了二個 2 的因數
....
要考慮 2^n 次方，就可以將 10^n 以上的位數不看
(因為10^n 是 2^n 的倍數)
也就是說12342 / 4 的餘數 = 42 / 4 的餘數 (餘數 = 2)
12300 不用看的 (因為 100 是 4 的倍數)

這全部都是最上面那個道理的實際應用
5 也是， 10 / 5 = 2 ... 0
所以十位數以上就不用看了，看個位數就行了

上面這些不只是用在倍數，用在算餘數也行唷 ...

比方說1234567 / 11 餘多少 ?
7-6+5-4+3-2+1 = 4 ，4/11 = 0 餘 4，就 4 囉

作者: 29818776 時間: 2012-11-10 14:08

3#
冰語講的超詳細

上述學校全沒交!!

讓我的知識又更進一步: )

作者: 39475494 時間: 2012-11-10 15:17

3#
冰語講的超詳細

上述學校全沒交!!

讓我的知識又更進一步: )
29818776 發表於 2012-11-10 06:08

我以為這個，在學因數倍數時是必教的
這是單純討論是否為倍數時用的簡易判斷，這類題型算是拿分題
但如果要用這個來計算餘數，難度就拉高了一些

只是我想，大家不會懂為什麼，而是用記的
它的概念算是倍數的延伸想法，要能理解其實並不簡單

像是你另一篇 (8^100)-1 是不是 9 的倍數 ?
這種題目就算難題了，而也沒辦法用這種方式得到答案

而像 5438704147 是不是 9 的倍數，這個就很簡單用總和去判斷

( 所以你那篇，我和布袋哥都很巧的只討論 (8^100)-1 ，因為其他選項是沒難度的 )

作者: 39269107 時間: 2012-11-10 18:04

本帖最後由 39269107 於 2012-11-10 18:09 編輯

[5香]
恩  老師有交

-----------------------------------------------------
                     ~補充~
10的倍數：末1位為0
100的倍數：末2位為0
1,000的倍數：末3位為0
(無窮無盡)
至於7的倍數或13的倍數 無快速判別法  用除的= =

作者: 39269107 時間: 2012-11-11 00:20

[6香]
如果是神人級拜託留

作者: 29818776 時間: 2012-11-11 07:58

5#
我知道為什沒交了
因為課本沒這觀念
很多老師都照著課本上所以就會沒交到這塊

作者: 25647645 時間: 2012-11-11 07:59

[5香]
恩  老師有交

-----------------------------------------------------
                     ~補充~
10的倍數：末1位為0
100的倍數：末2位為0
1,000的倍數：末3位為0
(無窮無盡)
至於7的倍數或13的倍數  ...
39269107 發表於 2012-11-10 06:04 PM

你的見識真的很淺薄
7和13的倍數
3位以下慢慢除
4位以上
總共位數是為偶數那就切一半後面減前面
ex:總共6位777777
前3位-後3位(或顛倒,反正就是大的減小的
777-777=0
就是了
總共位數是為積數那就切一半(相差一)前面(大)減後面(小)
ex總共7位7777777
前四位-後三位
7777-777=7000
也是
13的倍數也是這樣算

作者: 29818776 時間: 2012-11-11 12:17

9#
就是在等你....
不過我想問的是
如果是小於三位數的呢?
也可以這樣判斷?

作者: 39269107 時間: 2012-11-11 12:19

本帖最後由 39269107 於 2012-11-11 12:21 編輯

[10香][回8香]

你的見識真的很淺薄
7和13的倍數
3位以下慢慢除
4位以上
總共位數是為偶數那就切一半後面減前面
ex:總共6位777777
前3位-後3位(或顛倒,反正就是大的減小的
777-777=0
就是了
總共位數是為積數那就切一半(相差一)前 ...
25647645 發表於 2012-11-11 07:59

謝(書上沒寫)，但小於3位數...

作者: 25647645 時間: 2012-11-11 17:24

[10香][回8香]

謝(書上沒寫)，但小於3位數...
39269107 發表於 2012-11-11 12:19 PM

書無法一直跟著你
書也無法告訴你一切
很多事要自己發現
但記在腦子裡的
會一直跟著你(忘記的話干我p4
小於三位數不會直接用心算嗎-.-

作者: 39475494 時間: 2012-11-11 22:53

知道為什麼，每三位一切，以上的部分可以折到下面用扣的嗎
道理還是和 3# 一樣

四位數以上的基本量是 1000
1000/7 是餘多少? 6 ... 效果等同 -1
1000/13 是餘多少? 12 ... 效果等同 -1
這就是原因了
餘 0 最好，不用看
餘 1 就加
餘 -1 就要扣

1000 → -1
所以 ...
2000 → -2
2138000 → -2138，或者 2 -138 ，因為又到1000了， -2000 → 2
(這同於 1000000/7 會餘 1 )
那31450938呢 ?
31450938 → 31 - 450 + 938 = 519
可以試一下，31450938 /7 (or 13) 的餘數，會和 519 /7 一樣(餘1)
道理都一樣，只是 1000 太大，而且 -1 是用扣的，已經不太好用了

7 和 13 不太建議去記，因為久了記不住 (不直覺)

作者: 39475494 時間: 2012-11-12 11:30

整理一下
先解釋一下「→」
下面用這符號，表示被除後的餘數是相同的
比如 11： 10 → -1
表示 10 和 -1 除以11後是一樣的餘數
這裡同時會產生一些應用方式
舉例來說
11： 10 → -1 可以推出
40 → -4
300 → -30 → 3
7000 → -700 → 70 → -7
8431 → 1 - 3 + 4 - 8 = -6 → -6 + 11 = 5

2, 5, 10：
10 被其除後，餘數0，所以 10 → 0
即十位數以上全部 → 0，原數 → 個位數

4, 100：
100 被其除後，餘數0，所以 100 → 0
即百位數以上全部 → 0，原數 → 末兩位數

3, 9：
10 被其除後，餘數1，所以 10 → 1
即原數 → 每個位數總和

11：
10 被其除後，餘數(等同)-1，所以 10 → -1
即原數→ (個位數+百位數+萬位+...)-(十位數+千位數+...)

7, 13：
1000 被其除後，餘數(等同)-1，所以 1000 → -1
即從個位數開始往左數，每三位數做分隔，原數 → (奇數區總和 - 偶數區總和)
例： 3434596 → 596 - 434 + 3 = 165

這些是餘數的應用，讓原數變小，方便計算餘數的技巧
當然，討論是否為倍數，就是等同計算餘數是否為 0

這些証明不要背，但要多多感覺
這種放大縮小的變化感覺，在倍數和因數，非常好用

作者: 48419157 時間: 2012-11-12 20:04

1# 39269107

這些在國小五年級就教了(可能這種數學單元會跟著我們到國1下學期)
所以我會，這個很簡單，可是我的班上還是有很多人不懂。
這也有一種叫做因數的，在異分母‵分數加減例如:擴分‵約分可能就需要用到因數或倍數。
有很多人討厭數學，我也不知道為什麼，我只希望任何科目都能多懂一些。

歡迎光臨 Discuz! Board (http://bbs.61.com.tw/)