Discuz! Board - Powered by Discuz! Board

標題: 【數學】AMC10 [打印本頁]

作者: 45959595 時間: 2014-2-19 21:35 標題: 【數學】AMC10

本帖最後由 45959595 於 2014-2-19 15:09 編輯

將數1,2,3,4,5隨機排列在一個圓上，若對「從1到15的任何一個正整數n而言，都能夠在圓上找到位置相鄰的若干數字(包含只有一個)使得它們的和為n」的敘述不成立，則稱此數列為「不好的」的排列，若兩個排列經過翻轉或旋轉相同的話，則視為同一排列，請問有多少不同的「不好的」排列?

(答案為1~5種其中之一)

在一小池塘裡有11棵荷葉排成一列，在其上貼上0~10的標籤，當青蛙在N號荷葉上(0<N<10)時，他跳到(N-1)號的荷葉的機率為N/10 ，跳到(N+1)號的荷葉機率為 1-(N/10)。每一次跳躍與前一次跳躍是獨立。若青蛙到達0號荷葉上得時候，它會被一隻耐心等候的蛇吃掉，若青蛙到達10號荷葉得時候，他會離開池塘不會再回來。若一隻青蛙一開始在1號荷葉上面，請問這隻青蛙會逃離而不被吃掉的機率為何?

(A)32/79 (B)161/384 (C)63/146 (D)7/16 (E)1/2

這一題是完全沒有頭緒，不知道從何下手

作者: 39475494 時間: 2014-2-21 00:00

1.
一看到這種題目，五個圍一圈
經過翻轉或旋轉相同的，視為一種，就該笑了
4!/2 = 12，一共才12種可能

不管怎麼排，5 個總和 = 15，15不用理
不管怎麼排，單個 1~5 也不用理，剩的 4 個總和 10 ~14 也不用理
所以要檢查的只有 6(or 9) , 7(or 8)
6 = 1+5 = 2+4 = 1+2+3
7 = 2+5 = 3+4 = 1+2+4

把 1 固定位置
12345 1,5 3,4
12354 123 124
12435 1,5 3,4
12453 2,4 124
12534 Ans 2,5
12543 123 2,5
13245 1,5 Ans
13254 123 2,5
13425 1,5 2,5
13524 2,4 2,5
14235 1,5 124
14325 1,5 2,5

答案：
12534 Ans 2,5
13245 1,5 Ans

驗算，把你的左手伸出來，先驗總和 6 的
中指當 1 , 1,5不能鄰， 5 可以放大姆指或小指
因為翻轉只當一種，所以 5 放小指就好(大姆指就不用再算)
再來 2,4不能鄰，1,2,3也不能鄰
這樣 2 只能放無名指了
( 2 放大姆指或食指的話，4只能放無名指，3 放剩的空位，1,2,3 就會相鄰)
最後， 3 不能放食指 (1,2,3會相鄰)， 3 放大姆指，4 而放食指
34125 (= 12534)
再驗總和 7 的 .....
15 , 24 , 123，把 1→2 , 2→4 , 4→3 , 3→1
變成 25 , 43 , 241 (這不就是總和 7 的)
所以答案 34125 → 13245 也對
所以答案是兩組

作者: 39475494 時間: 2014-2-21 00:02

本帖最後由 39475494 於 2014-2-20 16:03 編輯

2.
這題，你要先懂馬可夫鏈 (穩態機率)
11 個位置太多了，不過因為左右對稱，所以可以想成青蛙到 5 以後，左和右出去的機率是 1/2
題目就變成，先計算青蛙走到 0 和走到 5 的機率是多少
然後再配上 5 走到 0 和走到 11 的各機率是 1/2 來解

算了，我用畫圖的 ...

圖片附件: 2014-02-20_234109.png (2014-2-21 00:02, 53.57 KB) / 下載次數 6
http://bbs.61.com.tw/attachment.php?aid=1543819&k=449f43212a8ead5f4a6b1378da86ad3d&t=1771314065&sid=D6I798

作者: 39475494 時間: 2014-2-21 10:34

對了，漏了一個沒寫給你
｜ＩＳ｜｜ＩＳ｜　　　｜ＩＩ　ＩＳ＋ＳＲ｜　　　｜Ｉ　Ｓ＋ＳＲ｜
｜０Ｒ｜｜０Ｒ｜　＝　｜０　　ＲＲ　　　｜　＝　｜０　Ｒ² 　　｜
　　　　　｜ＩＳ｜　　　　　｜Ｉ　Ｓ＋ＳＲ＋ＳＲ²｜
再乘上一個｜０Ｒ｜，則　＝　｜０　Ｒ³　　　　　　｜

無限次以後(n→∞)
R^n = 0
S+SR+SR² + ......SR^(n-1) = S(I-R)^(-1) ←如同無限項之等比級數和
　　　　　｜Ｉ　S(I-R)^(-1)｜
矩陣就變成｜０　０｜

作者: 45959595 時間: 2014-2-21 18:26

對不起，第二題矩陣還沒學...
但是第一題OK，謝謝

作者: 39475494 時間: 2014-2-21 19:04

對不起，第二題矩陣還沒學...
但是第一題OK，謝謝
45959595 發表於 2014-2-21 10:26

這些題目不容易耶

你從哪弄來的呀 ?

這些題目一張考卷一兩題就夠了，尤其是第二題
一般學校的高中生(非建中之類的)，全校能答對的應該頂多一兩個人吧

作者: 45959595 時間: 2014-2-22 23:24

一種測驗，這個是給高一(以下)考的

還有馬可夫鏈我再去看看
那是第四冊的

作者: 39475494 時間: 2014-2-23 14:09

一種測驗，這個是給高一(以下)考的

還有馬可夫鏈我再去看看
那是第四冊的
45959595 發表於 2014-2-22 15:24

高一以下不可能會寫吧
矩陣和機率還有無窮的想法，這應該都高二以上的吧
這種組合起來的題目，很難思考呀
(如果解題流程打算用記的，那表示這種題型不應該在這階段學 )
我中間有個四階逆矩陣的計算，我只寫了算式，實在很難講解為什麼這樣能算出逆矩陣來

作者: 23076964 時間: 2014-2-28 09:35

高一以下不可能會寫吧
矩陣和機率還有無窮的想法，這應該都高二以上的吧
這種組合起來的題目，很難思考呀
(如果解題流程打算用記的，那表示這種題型不應該在這階段學 )
我中間有個四階逆矩陣的計算，我只寫了算式， ...
39475494 發表於 2014-2-23 14:09

確實是"十年級以下"考的啊
而且AMC8還會考出排組(想當時還沒教所以我直接暴力解開)
不過只要達到一定標準就能過了，所以也是算在合理範圍

作者: 49006349 時間: 2014-2-28 10:53

我也有寫

作者: 39475494 時間: 2014-2-28 12:40

確實是"十年級以下"考的啊
而且AMC8還會考出排組(想當時還沒教所以我直接暴力解開)
不過只要達到一定標準就能過了，所以也是算在合理範圍
23076964 發表於 2014-2-28 01:35

我沒有懷疑樓主所說的高一考題
第一題可以暴力解
就算我沒學過機率，我也數的出來，這有可能的
但第二題是刻意刁難的題目
那題用到的概念不是矩陣+機率而已
也不是暴力解能解的開的
等你們高三了再回來看這題，就會懂我的意思
這種考題應該不是正常升學用的考試吧 ?

作者: 45959595 時間: 2014-3-1 10:39

後來有公布解析
有點類似遞迴
但是不會消

圖片附件: 數.png (2014-3-1 10:39, 20.36 KB) / 下載次數 2
http://bbs.61.com.tw/attachment.php?aid=1546574&k=1a677fc0ad3df20355f259d6d44f8a57&t=1771314065&sid=D6I798

作者: 39475494 時間: 2014-3-1 20:57

本帖最後由 39475494 於 2014-3-1 13:03 編輯

後來有公布解析
有點類似遞迴
但是不會消
45959595 發表於 2014-3-1 02:39

這就是跟我寫的幾乎一模一樣的東西呀 ....
那不是遞迴，那是四個列式 ....　（知道為什麼要用陣列嗎？因為他的未知變數至少有四個)
請看我的粉紅那 4x4 的陣列

｜１號荷葉機率｜　　　｜０　　０.２　　０　　０　｜　｜１號荷葉機率｜
｜２號荷葉機率｜　　　｜０.９　　０　０.３　　０　｜　｜２號荷葉機率｜
｜３號荷葉機率｜　＝　｜０　　０.８　　０　　０.４｜＊｜３號荷葉機率｜
｜４號荷葉機率｜　　　｜０　　０　　０.７　　０　｜　｜４號荷葉機率｜

寫成列式就是
K1 = 0.2 K2
K2 = 0.9K1 + 0.3K3
K3 = 0.8K2 + 0.4K4
K4 = 0.7K3
很像不是嗎 ?

不過我的定義和他不一樣
他是定義某個荷葉安全出去的機率，我是定義出現在某個荷葉上的機率
我這樣的定義有個好處，我可以去同時算左右兩邊
但我必須懂無窮矩陣的特性

下面算的那些，圈紅圈，det, M, N , A, B 這些
就是在解這個四元聯立方程式
結果你的答案這邊不寫解（不然你就會發現他很麻煩而且易算錯了)

你如果懂這塊的話，你就會發現，我的解題流程可以附帶驗算有沒有算錯
（因為我不是定義一邊而已）
而且我的計算過程會比解四元聯立快
四階逆矩陣，本來就等同解四元聯立方程式（一樣的麻煩）
但用矩陣的方式，可以「特意」去解想要的區塊

作者: 45959595 時間: 2014-3-1 22:40

本帖最後由 45959595 於 2014-3-1 14:43 編輯

我矩陣昨天才剛開始看
看到三階矩陣用來解三元一次的方程式

作者: 39475494 時間: 2014-3-5 12:04

我矩陣昨天才剛開始看
看到三階矩陣用來解三元一次的方程式
45959595 發表於 2014-3-1 14:40

四階比三階難算一倍以上
就像四元聯立比三元聯立麻煩一倍以上
而且看答案也知道，這過程全都是分數(系數)的計算

他的定義雖然可以不用去計算陣列 ∞ 次方的問題
但他要去思考無限次後(穩態後)，各機率之間的關係

這種考試是選拔天才型資優生的嗎 ?
( 這對情境的敏感度要很高才有機會解出來)

作者: 29818776 時間: 2014-3-6 23:14

我也有去考AMC10耶XDD 這兩題也令我苦惱- -

作者: 23076964 時間: 2014-3-7 00:59

沒有公佈答案嗎？

作者: 23076964 時間: 2014-3-7 01:03

我沒有懷疑樓主所說的高一考題
第一題可以暴力解
就算我沒學過機率，我也數的出來，這有可能的
但第二題是刻意刁難的題目
那題用到的概念不是矩陣+機率而已
也不是暴力解能解的開的
等你們高三了再回來看這題，就會 ...
39475494 發表於 2014-2-28 12:40

http://www.99cef.org.tw/amc.php這是AMC競賽的網頁
也是一個很不錯的檢定

作者: 39475494 時間: 2014-3-7 10:15

我也有去考AMC10耶XDD 這兩題也令我苦惱- -
29818776 發表於 2014-3-6 15:14

所以這兩題是考題裡面偏難的題目囉 ?
第一題還好，如果會數就行了
第二題的話，25題七十五分鐘寫
一題三分鐘，我的話就直接跳過這題，如果寫完還有時間再來玩

作者: 39475494 時間: 2014-3-7 10:24

http://www.99cef.org.tw/amc.php這是AMC競賽的網頁
也是一個很不錯的檢定
23076964 發表於 2014-3-6 17:03

如網址所述
「AMC10的主要目的是在刺激學生對數學的興趣並且透過以選擇題方式來開發學生對數學的才能；測驗題型範圍由容易到困難」
嗯，不是一般的考題，這樣就說的通了
不過這第二題，高一生又沒特意做過類似題目的人
應該幾乎是答不出來的

「能夠洞察數學的知識並且能迅速作出計算是很優秀的才能」
像這第二題，就如同我所說的
這種考試是選拔天才型資優生的嗎 ?
( 這對情境的敏感度要很高才有機會解出來)

至於「測驗的題型都不會超過學生的學習範」
這就 ... ，解四元聯立是沒超出，但列式的想法超出呀
說真的，高一，對 ∞ 的想法是很弱的， limit 也沒學過

作者: 39475494 時間: 2014-3-7 10:27

沒有公佈答案嗎？
23076964 發表於 2014-3-6 16:59

我解的答案，應該沒錯
第二題樓主有公佈答案(和我的答案一樣)

作者: 23076964 時間: 2014-3-7 22:30

如網址所述
「AMC10的主要目的是在刺激學生對數學的興趣並且透過以選擇題方式來開發學生對數學的才能；測驗題型範圍由容易到困難」
嗯，不是一般的考題，這樣就說的通了
不過這第二題，高一生又沒特意做過類似題目 ...
39475494 發表於 2014-3-7 10:24

是lim嗎？微分？
是說無限趨近？

作者: 39475494 時間: 2014-3-8 09:55

是lim嗎？微分？
是說無限趨近？
23076964 發表於 2014-3-7 14:30

lim t->∞ 這個
我是指第二題呀
在時間無窮大(無限久之後)，各葉片轉移的問題
一般習慣的思考角度是我現在(瞬間或不具時間變化下)什麼情況的情境
很少習慣去想整個情況隨時間的總變化以及時間無窮大後的情況

作者: 29818776 時間: 2014-3-9 23:34

12#
求問AMC的解析

作者: 39475494 時間: 2014-3-10 13:37

12#
求問AMC的解析
29818776 發表於 2014-3-9 15:34

N1 = 0.9N2
N2 = 0.2N1 + 0.8N3
N3 = 0.3N2 + 0.7N4
N4 = 0.4N3 + 0.6N5
N5 = 0.5

首先，你要先知道(想清楚) 這個題目的情境
青蛙在 0 號會被吃掉，在 10 號會跑掉，這兩個荷葉是結束(洞)
而且青蛙在荷葉之間跳動的機率是穩定的，不會變 0
所以，隨著時間，青蛙最後只可能到 0 號或 10 號，而中間的 1~9 號只是過程(暫態)

再來 Nx 的定義，青蛙目前在第 x 號(1~9)荷葉上，經過無限久的時間之後，他到 10 號結束的機率
題目問的是青蛙一開始在 1 號荷葉，牠最後逃離而不被吃掉的機率，也就是在算 N1

再來，看一下青蛙在荷葉之間跳動的機率
1→0 是 1/10 ， 1→2 是 9/10
2→1 是 2/10 ， 2→3 是 8/10
…
8→9 是 2/10 ， 8→7 是 8/10
9→10 是 1/10 ， 9→8 是 9/10
這個跳動的機率是左右對稱的
所以，最中間的荷葉第 5 號，經過無限長時間後，死掉(0)，或活著離開(10)的機率是一樣的，各 0.5
即 N5 = 0.5

最後，如果目前在 3 號
一跳之後， 3 → 2 機率是 3/10 ， 3 →4 機率是 7/10
所以，目前在 3 號，無限長時間後活著逃出的機率
= 3/10 * 目前在 2 號無限長時間後活著逃出的機率 + 7/10 * 目前在 4號無限長時間活著逃出的機率
也就是N3 = 0.3N2 + 0.7N4
其他依此類推

最後解四元聯立

歡迎光臨 Discuz! Board (http://bbs.61.com.tw/)