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標題: 【數學】推理難題... [打印本頁]

作者: 23909504 時間: 2015-2-16 19:36 標題: 【數學】推理難題...

一個教授邏輯學的教授，有三個學生，而且三個學生均非常聰明！

一天教授給他們出了一個題，教授在每個人腦門上貼了一張紙條並告訴他們，每個人的紙條上都寫了一個正整數，且某兩個數的和等于第三個！（每個人可以看見另兩個數，但看不見自己的）

教授問第一個學生：你能猜出自己的數嗎？回答：不能，問第二個，不能，第三個，不能，再問第一個，不能，第二個，不能，第三個：我猜出來了，是144！教授很滿意的笑了。請問您能猜出另外兩個人的數嗎？

完全不能阿...阿...阿

作者: 22169751 時間: 2015-2-16 19:57

不會2個都72吧(隨便猜的)

作者: 37601749 時間: 2015-2-16 20:50

x+y=144
144+y=x
y+144=x
--
x+y=144
x-y=144
2x=288
x=144
y=0
--
試著用聯立方程式的解法
其實教授是在第2次第3個人講的數字，當下擁有答案(?

作者: 29818776 時間: 2015-2-17 01:53

本帖最後由 29818776 於 2015-2-16 18:09 編輯

3#
你的解法怪怪的
0應該不是正整數吧??

而且題目好像也沒說且不能達到任意兩個正整數相加等於第三數

作者: 22169751 時間: 2015-2-17 11:26

而且
x+y=144
144+y=x
這2個情況應該不會同時成立
不能用來解聯立方程式

作者: 42720404 時間: 2015-2-17 11:37

從題目中可推出三個條件
1.每數大於0
2.兩兩不相等
3.任意一數不是其他數的兩倍(因為前面兩人都沒猜出)
設第一個為x 第二個為y
假設兩數差x-y=144 (也有可能是兩數和為144)
若x-y=144 那條件1和2都可成立再來看條件3 因為任意一數不是其他數的兩倍 x+y≠2y 但只有y+y=2y
所以這一式不成立

設x+y=144 同樣的，條件1.2都可成立看條件3 得出來的算式是x-y=2y 再用聯立求出來的解是 x=108 y=36
我的想法是這樣，答案反推回去應該無誤

作者: 22169751 時間: 2015-2-17 12:11

6# 42720404
題目有說兩兩不相等?

作者: 42720404 時間: 2015-2-17 12:36

7# 22169751

從題目即可推出啊，設第一個學生A，第二個學生B，第三個學生C

假如說，C看到的是A的36和B的108，因為條件，兩個數的和是第三個，那麼C可推論出自己是72或144
若C是72的話，那B就可以看出來，這種情況下，B看到的就是A的36和C的72，那就可以猜自己是36或108
如果B是36，C看到的就是A的36和B的36，那麼他就可以猜自己，是72或者是0(但因為是正整數不可能是0)
如果是這樣的話，那C在第一次教授問的時候就可以說出自己是72，而B也就可以在第二次時報出自己是108。但因為B沒說出自己是108，那C為一的可能就是144
由此可推論出兩兩不相等

作者: 22169751 時間: 2015-2-17 13:22

B沒有說出自己是108
是因為C沒有說自己是72吧
那為何C能猜自己是144

作者: 39475494 時間: 2015-2-17 13:25

7# 22169751

從題目中可推出三個條件
1.每數大於0
2.兩兩不相等
3.任意一數不是其他數的兩倍(因為前面兩人都沒猜出)
設第一個為x 第二個為y
假設兩數差x-y=144 (也有可能是兩數和為144)
若x-y=144 那條件1和2都可成立再來看條件3 因為任意一數不是其他數的兩倍 x+y≠2y 但只有y+y=2y
所以這一式不成立

設x+y=144 同樣的，條件1.2都可成立看條件3 得出來的算式是x-y=2y 再用聯立求出來的解是 x=108 y=36
我的想法是這樣，答案反推回去應該無誤
42720404 發表於 2015-2-17 04:36

看條件3 得出來的算式是x-y=2y ?
64, 80, 144 來看，任意一數也不是其他數的兩倍呀

作者: 39475494 時間: 2015-2-17 15:14

google 的話，可以找到幾個貼，寫答案是 36, 108, 144
我認為這只是一種解
答案應該有五種可能

314 → 108, 36, 144
134 → 36, 108, 144
358 → 54, 90, 144
459 → 64, 80, 144
279 → 32, 112, 144

不過，我後來找到一個跟我的答案一樣的人

圖片附件: 2015-02-17_150524.png (2015-2-17 15:14, 13.23 KB) / 下載次數 11
http://bbs.61.com.tw/attachment.php?aid=1675998&k=d9219702329a576623019da9253716cc&t=1765963275&sid=B30z3B

作者: 39475494 時間: 2015-2-17 15:34

說明一下我的圖好了
1A 那邊寫 211
這表示，如果 1A (第一輪的 A 同學)，他有辦法猜到自己的數字多少
那整個情況就是 211 (211 的意思是，A : B : C = 2 : 1 : 1
講的更明白點的話，只有 A 同學看到 B 和 C 都是同一個數字的情況下
他可以猜自己是 2 倍該數字

1B 那邊寫的是 121 , 231
這是一樣的解析
如果第一輪 B 同學答的出自己的數字
那麼，情況有兩種
一種是 B同學看到 A 和 C 相同的數字，B可以答出自己是 2 倍 (這是121)
另一種就是 B 同學看到 A 同學是C同學的兩倍，B 可以回答自己是C同學的三倍
為什麻呢 ?
因為 231 這是從 211 推過來的
B 可能是 A-C or A+C
如果 B 看到 A=2C，先假設自己 B = A-C，可以得到 B=A-C=2C-C=C
但 1A 時，A 沒回答出自己的答案，表示 B≠C
所以假設 B = A-C 有誤，則 B 可以得到 B = A+C 這個答案
所以，若B看到 A = 2C ，再加上 1A 時 A 回答不知道 (可得 B≠C)
這時他可以知道自己是 B = A+C ，即 A : B : C = 2 : 3 : 1

再往下解，就是用上面的已知往下推
1C時
直接 → 112
211 → 213
121 → 123
231 → 235
下面依此類推
綠色的字表示有整數解 (比方 437 ，144 *4/7 是小數，不行)

作者: 23909504 時間: 2015-2-17 16:05

好複雜呀@@

作者: 23909504 時間: 2015-2-17 16:11

網路上的詳解
經過第一輪，説明任何兩個數都是不同的。第二輪，前兩個人沒有猜出，説明任何一個數都不是其它數的兩倍。現在有了以下幾個條件：1.每個數大于02.兩兩不等3.任意一個數不是其他數的兩倍。每個數字可能是另兩個之和或之差，第三個人能猜出144，必然根據前面三個條件排除了其中的一種可能。假設：是兩個數之差，即x－y＝144。這時1（x，y>0）和2（x！＝y）都滿足，所以要否定x＋y必然要使3不滿足，即x＋y＝2y，解得x＝y，不成立（不然第一輪就可猜出），所以不是兩數之差。因此是兩數之和，即x＋y＝144。同理，這時1，2都滿足，必然要使3不滿足，即x－y＝2y，兩方程聯立，可得x＝108，y＝36。

這兩輪猜的順序其實分別為這樣：第一輪（一號，二號），第二輪（三號，一號，二號）。這樣分大家在每輪結束時獲得的信息是相同的（即前面的三個條件）。

那麼就假設我們是C，來看看C是怎麼做出來的：C看到的是A的36和B的108，因為條件，兩個數的和是第三個，那麼自己要麼是72要麼是144（猜到這個是因為72的話，108就是36和72的和，144的話就是108和36的和。這樣子這句話看不懂的舉手）:

假設自己（C）是72的話，那麼B在第二回合的時候就可以看出來，下面是如果C是72，B的思路：這種情況下，B看到的就是A的36和C的72，那麼他就可以猜自己，是36或者是108（猜到這個是因為36的話，36加36等于72，108的話就是36和108的和）：

如果假設自己（B）頭上是36，那麼，C在第一回合的時候就可以看出來，下面是如果B是36，C的思路：這種情況下，C看到的就是A的36和B的36，那麼他就可以猜自己，是72或者是0（這個不再解釋了）：

如果假設自己（C）頭上是0，那麼，A在第一回合的時候就可以看出來，下面是如果C是0，A的思路：這種情況下，A看到的就是B的36和C的0，那麼他就可以猜自己，是36或者是36（這個不再解釋了），那他可以一口報出自己頭上的36。（然後是逆推逆推逆推），現在A在第一回合沒報出自己的36，C（在B的想象中）就可以知道自己頭上不是0，如果其他和B的想法一樣（指B頭上是36），那麼C在第一回合就可以報出自己的72。現在C在第一回合沒報出自己的36，B（在C的想象中）就可以知道自己頭上不是36，如果其他和C的想法一樣（指C頭上是72），那麼B在第二回合就可以報出自己的108。現在B在第二回合沒報出自己的108，C就可以知道自己頭上不是72，那麼C頭上的唯一可能就是144了。

作者: 39475494 時間: 2015-2-17 16:51

好了，我知道他錯在哪了，難怪網路上寫 108, 36 ,144 這答案的多
原來是想法太少了 ....
這第二點，「兩兩不相等」，這是最直接的推論
這第三點，「任意數不是其他數的兩倍」，這是從兩兩不相等推出來的，也就是說，前面有人証明了不相等，後面就能接著去証「任意數不是其他數的兩倍」
後面沒了嗎 ? 沒有第四點嗎 ? 有呀
「兩兩不相等」，這就是「112, 121, 211」(比方當1A回答不出自己多少號時，可以得到B≠C)
當1B 知道 B≠C，但仍然回答不出自己多少號時，可以得到 A≠2C，這就是 231
後面還有耶，當 1C 回答不出多少號時，我還能知道 3A≠2B (235)
所以他寫的「必然要使3不滿足」是有問題的，我要答出來， x-y 要被否定掉
否定的方式不是只有 C=2B呀

作者: 39475494 時間: 2015-2-17 17:17

本帖最後由 39475494 於 2015-2-17 09:26 編輯

每一個人的「不知道」都會產生出情報
1A 只能推論一種可能，就是 211 (若看到的 B=C，則自己是 A=2B=2C)
除此之外，A都沒辦法推出自己的
所以 1A 回答不知道，可以得到「 A 沒辦法推出 211」，也就是說 A 看到的數字 B≠C

1B 本身，有兩個可以推論
一個是 121 ，也就是他如果看到 A=C，則自己是 B=2A=2C)
另一個是因為從1A的回答，他得到了 B≠C
加上若是看到 A=2C，則自己可以推論出 B=3C，這就是 231
但 B 回答不知道，此時可以知道 A≠C, A≠2C

1C 就有四個推論
一個是 112 ，也就是他如果看到 A=B，則自己是 C=2A=2B)
一個是因為從1A的回答，他得到了 B≠C
加上若是看到 A=2B，則自己可以推論出 C=3B，這就是 213
一個是因為從1B的回答，他得到了 A≠C
加上若是看到 B=2A，則自己可以推論出 C=3A，這就是 123
還有一個是因為從1B的回答，他得到了 A≠2C
加上若是看到 3A=2B，則自己可以推論出 2C=5A，這就是 235
這裡我說明一下，C = B-A 若被否定，C 就能猜出自己是 C = A+B 來
而 3A=2B 和 A≠2C → C≠A/2 = (2B-2A)/2 = B-A 得証 C≠ B-A (3A=2B，是B>A，所以用 B-A來看)
這時 C 可以猜出 C = A+B 唷!!
但 1C 回答不知道，表示 A≠B, A≠2B, B≠2A, 3A≠2B 這四個條件

所以每一個人回答，都會產生出新的條件出來，不是只有「兩兩不相等」「其他數兩倍」這兩種
像 1C 的回答就已經包含了 3A≠2B 這個條件出來了，之後更多條件，到 2C 才答對

作者: 39475494 時間: 2015-2-17 17:47

簡單講就是
你看我的表格
你寫的那個詳解，作者只看到兩個類型的條件，就是112 和 123 這兩種
也就是兩兩相等可得答案 → 回答不知道 → 表示兩兩不相等
還有其他數兩倍可得答案 → 回答不知道 → 表示任一數不等於其他數兩倍
所以他只能推出 314 和 134 (36, 108, 144 or 108, 36, 144)

作者: 23909504 時間: 2015-2-17 17:53

所以那個根本不完整...

作者: 39475494 時間: 2015-2-17 17:55

本帖最後由 39475494 於 2015-2-17 10:18 編輯

所以那個根本不完整...
23909504 發表於 2015-2-17 09:53

嗯，其實他已經不錯了
能把開頭的地方想出來了
只是沒有依樣畫葫蘆往下畫
這其實很好畫，有規律的
比方 2A 有個 321
這表示，2A 如果看到 B : C = 2 : 1，他就可以推出答案 A : B : C =3 : 2 : 1
可是他回答不知道
表示 A 看到 B : C ≠ 2 : 1
之後的 2B ，如果看到 A : C = 3 : 1 ，B 自己又不會是 2 ，只能是 4 了 ..... (可推出自己的)
所以很簡單的推法就是
2A 有 3 : 2 : 1 仍然回答不知道
表示 2B 有 3 : 4 : 1 ← 3 : ? : 1 保留抄下來， 4 = 3+1 填進 ?
2C 也是
2A 有 3 : 2 : 1 ，2C 就 3 : 2 : 5 ← 3 : 2 保留抄下來， 5 = 3+2
2B 也有 3 : 4 : 1 ，2C 就 3 : 4 : 7 ← 3 : 4 保留抄下來， 7= 3+4
所有內容都是這樣子編的

作者: 22169751 時間: 2015-2-17 18:04

教授很滿意的笑了
可以解讀成很多意思
例:錯得好

作者: 44133122 時間: 2015-2-17 18:27

教授很滿意的笑了
可以解讀成很多意思
例:錯得好
22169751 發表於 2015-2-17 10:04

錯了還會滿意？

作者: 22169751 時間: 2015-2-17 18:33

教授嫉妒學生的聰明才智
看他錯了很爽(心想:你也有今天)

作者: 44133122 時間: 2015-2-17 19:54

這題感覺真的很複雜

作者: 34178775 時間: 2015-5-17 18:12

又是一個鬼題目

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