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標題: 【數學】遞回式求一般項 [打印本頁]

作者: 40440553 時間: 2015-2-24 19:02 標題: 【數學】遞回式求一般項

數列a1=4 且滿足2a(n)+a(n-1)-3=0,n>=2 求此數列的一般項............

標準的難題阿阿阿阿阿...........

作者: 22169751 時間: 2015-2-24 22:49

本帖最後由 22169751 於 2015-2-24 14:53 編輯

3(-1/2)^(n-1)+1
需要詳解的話再跟我說
我今天來不及放

作者: 39475494 時間: 2015-2-25 12:10

本帖最後由 39475494 於 2015-2-25 04:16 編輯

數列a1=4 且滿足2a(n)+a(n-1)-3=0,n>=2 求此數列的一般項............

標準的難題阿阿阿阿阿...........
40440553 發表於 2015-2-24 11:02

這種遞迴式，就要先把他變成另一個等比數列
因為等比數列熟(好算)，而且它必可以轉化成功
就是變成 [a(n)+q] = p[a(n-1)+q]
2a(n)+a(n-1)-3=0 → [a(n)-1]=(-1/2)[a(n-1)-1]
你可以把 a(n)-1 當成一個新的數列
[a(n)-1]=(-1/2)[a(n-1)-1] 可以看出這是個等比數列
令 b(n) = a(n)-1
b(n) = (-1/2)b(n-1)
公比是 -1/2 ，首項 b(1) = a(1)-1 = 4-1 = 3
b(n) 有兩頭，一頭是用b(1) 透過等比來算，另一頭是用 a(n)
第 n 項，b(n) = b(1)*r^(n-1) = 3*(-1/2)^(n-1)
又 b(n) = a(n)-1
可得a(n) = 3*(-1/2)^(n-1) + 1

我說明一下
a(n) 不是等比數列，直接算並不好算
但它的關係必可以做出一個等比數列 b(n) 來

b(n) 的作法是將 2a(n)+a(n-1)-3=0 化成 [a(n)+q] = p[a(n-1)+q] 的形式
也就是解出 p , q，這就轉成等比的關係式了，其中 b(n) = a(n)+q
b(n) 就是等比數列了，也就能列出 b(n) = b(1) * r^(n-1)

題目問的是 a(n)，所以 a(n) = b(n)-q 去得到 a(n)

作者: 22169751 時間: 2015-2-25 19:40

本帖最後由 22169751 於 2015-2-25 14:00 編輯

解到這裡可得an-1=-1/2(an-1-1)
  a1=4
  a2-1=-1/2(a1-1)
  a3-1=-1/2(a2-1)
                     .
                     .
                     .
  an-1=-1/2(an-1-1)
*)
a1(an-1)=4(a1-1)*(-1/2)^(n-1)
4(an-1)=4*3(-1/2)^(n-1)
an-1=3(-1/2)^(n-1)
速解:
分析:an-B=A*(-1/2)^(n-1)
a1=A+B=4
a2=(-1/2)A+B=-1/2
解得A=3 B=1
an=3*(-1/2)^(n-1)+1

作者: 40440553 時間: 2015-2-26 22:08

這種遞迴式，就要先把他變成另一個等比數列
因為等比數列熟(好算)，而且它必可以轉化成功
就是變成 [a(n)+q] = p[a(n-1)+q]
2a(n)+a(n-1)-3=0 → [a(n)-1]=(-1/2)[a(n-1)-1]
你可以把 a(n)-1 當成一個新的數列
[a( ...
39475494 發表於 2015-2-25 04:10

2a(n)+a(n-1)-3=0 → [a(n)-1]=(-1/2)[a(n-1)-1] 這是2吧?

還有..要怎麼判斷哪些時候要化成[a(n)+q] = p[a(n-1)+q] 的形式,因為不是所有的東西都可以化成等比數列..
看到這種題目時,我也沒想過要化成這樣

作者: 22169751 時間: 2015-2-26 22:19

本帖最後由 22169751 於 2015-2-26 14:21 編輯

2a(n)+a(n-1)-3=0 → [a(n)-1]=(-1/2)[a(n-1)-1] 這是2吧?

是1沒錯
a1=4
a2-1=(-1/2)[a1-1]
a3-1=(-1/2)[a2-1]
.
.
.
an-1=(-1/2)[an-1-1]
*)
這樣才能消掉
基本上
大部分要你求an的遞回型都要化成這種型態

作者: 40440553 時間: 2015-2-26 23:02

是1沒錯
a1=4
a2-1=(-1/2)[a1-1]
a3-1=(-1/2)[a2-1]
.
.
.
an-1=(-1/2)[an-1-1]
*)
這樣才能消掉
基本上
大部分要你求an的遞回型都要化成這種型態
22169751 發表於 2015-2-26 14:19

喔喔@@ 那第一個問題沒事了((剛剛我算錯=口=

作者: 39475494 時間: 2015-2-27 02:29

本帖最後由 39475494 於 2015-2-26 18:43 編輯

2a(n)+a(n-1)-3=0 → [a(n)-1]=(-1/2)[a(n-1)-1] 這是2吧?

還有..要怎麼判斷哪些時候要化成[a(n)+q] = p[a(n-1)+q] 的形式,因為不是所有的東西都可以化成等比數列..
看到這種題目時,我也沒想過要化成這樣 ...
40440553 發表於 2015-2-26 14:08

1. 是 1 沒錯
2. 有講過呀
?a(n) + ?a(n-1) + ? = 0 必然可化成 [a(n)+q] = p[a(n-1)+q]
嚴格說起來，有一種情況化不了
a(n) - a(n-1) = k ≠ 0 ← 1:1 時
這種的話，本身用等差算就好了

作者: 40440553 時間: 2015-2-27 13:32

?a(n) + ?a(n-1) + ? = 0 必然可化成 [a(n)+q] = p[a(n-1)+q]
我就是不懂為何..

作者: 39475494 時間: 2015-2-27 14:34

本帖最後由 39475494 於 2015-2-27 06:36 編輯

?a(n) + ?a(n-1) + ? = 0 必然可化成 [a(n)+q] = p[a(n-1)+q]
我就是不懂為何..
40440553 發表於 2015-2-27 05:32

把 a(n) 當成 y , a(n-1) 當成 x
ax + by + c = 0 這個可以當成一條線方程式
和 (y-d) = m (x-d) 這個也可以當成一條經過 (d, d)，且斜率為 m 的線方程式
下面的就要靠你的概念去想像了
現在要討論的是，任意的 a, b, c 是否可以對應到一組 (m, d)，然後方程式是同一條線 ....
不管是 ax + by + c = 0 還是 (y-d) = m (x-e) 都是平面上可任意的線方程式
所以 ax + by + c = 0 → (y-d) = m (x-e) 是必然可以化的，而且(d,e) 有無限多組 (線上任意一點)
可是上述並不是要化成 (y-d) = m (x-e) 而是 (y-d) = m (x-d)
(d, e) 是任意的，而 (d, d) 卻只能在 x = y 上任意
所以，唯一的條件就是，要保証有個點 (d, d) 在 ax + by + c = 0 線上
也就是說， a≠ -b 且 c≠0 ，這就是條件 ...
所以，除了 x - y = k ≠ 0 這種情況以外，其他的都必可以化成

當然，你可以用代數式去証明這些，甚至弄個 m = ..... , d = ....... 的公式出來也沒啥難的
但學數學不要去記這些，情境才是重要的，去想像上面寫的內容才是重要的

作者: 40440553 時間: 2015-2-27 21:07

恩.....
所以其實這題有點超出高一範圍?

作者: 22169751 時間: 2015-2-27 21:50

11# 40440553
並沒有
反而是我前面放的三項型比較像課外

作者: 39475494 時間: 2015-2-27 23:55

恩.....
所以其實這題有點超出高一範圍?
40440553 發表於 2015-2-27 13:07

那個直線方程式，是國中就該懂的東西吧

作者: 40440553 時間: 2015-2-28 11:55

可能是我國中太混了...@@
只好努力把他看懂..
請問, (y-d) = m (x-d) 是指用斜率所出來的公式像y2-y1=m(x2-x1)嗎?還是是其他意思？
還有ax + by + c = 0 → (y-d) = m (x-e)　不是要看兩條線的焦點，會到無線多組（重疊？

作者: 40440553 時間: 2015-2-28 12:28

還是說
ax + by + c = 0 → (y-d) = m (x-e)

的(y-d) = m (x-e)化成mx-md-y+d=0 => mx-(m+1)d-y=0 跟ax + by + c = 0 是一樣意思
所以他們可以互化?

但是m是斜率..?

作者: 39475494 時間: 2015-3-1 17:23

本帖最後由 39475494 於 2015-3-1 09:27 編輯

多用一點邏輯和情境的思想吧
看你寫的我有點臉綠說 ...

直線，就是 x , y 的次方都是 1 的關係
這裡的 x, y 就是自變數和應變數
國中教的 y = f(x) 這是一種函數關係
就是一對一，多對一，但不能一對多或一對無
為什麼 ? 因為自變數→ 應變數，不會一對多或一對無

決定一條直線有幾種方式
1. ax+by+c = 0
這是最基本的
ax+by+c = 0 可以畫出 x,y 平面上任何一條直線
反之，x,y 平面上任何一條直線，也可以算出他們的 a,b,c
但同一條線，可以有無限多組 a,b,c
比方 (a,b,c) = (1,2,3) 和 (a,b,c) = (2,4,6) 是同一條線

2. y = ax+b
這種是用函式的角度列式的 ...
所以，除了 x = c 這種非函數關係的直線，沒辦法化成 y = ax+b
其他 x,y 平面上任何一條直線，也都可以用  y = ax+b 畫出
同一條直線，這裡算出來的 a, b 只會唯一

3. (y-b) = m(x-a)
這叫點斜式，表示經過 (a,b)且斜率為 m 的直線
這也是必須是函數關係的
所以，除了 x = c 這種非函數關係的直線，沒辦法化成 (y-b) = m(x-a)
其他 x,y 平面上任何一條直線，也都可以用 (y-b) = m(x-a) 畫出
而同一條直線， m 是唯一，但 (a,b) 可以無限多組 ...
比方 (y-2) = 2(x-3) 和 (y-0) = 2(x-2) 是同一條直線

4.這裡講到上面說的 ...
(y-a) = m(x-a)
這和 3. 唯一不一樣的地方就在，" 3. 是任意點 (a,b)"
所以有無限多個點可以對應出任何一條直線，完全沒問題
而 4. 是 (a,a)，不是任意一個點都能對應
所以 x,y 平面，不是所有的函數直線都能轉成 (y-a) = m(x-a)
除了 x = c 非函數直線以外，還有哪種不能轉 ?
直線上面完全沒有 (a,a) 的不能轉 ....
也就是說，該直線和 (a,a) 平行，即和 y = x 平行的，不能轉
所以只有 y = x+c 這種線是不能轉的....
比方上面的例子 ... (y-2) = 2(x-3)  和 y = x 的交點
算出來是  (4,4)
所以 (y-2) = 2(x-3)  和 (y-4) = 2(x-4) 是同一條線
這條直線也能轉的 ....

作者: 22169751 時間: 2015-3-1 19:00

斜率在之後的單元非常重要
尤其是高二物理的微分

作者: 40440553 時間: 2015-3-2 19:41

多用一點邏輯和情境的思想吧
看你寫的我有點臉綠說 ...

直線，就是 x , y 的次方都是 1 的關係
這裡的 x, y 就是自變數和應變數
國中教的 y = f(x) 這是一種函數關係
就是一對一，多對一，但不能一對多或一對無
為 ...
39475494 發表於 2015-3-1 09:23

謝謝冰語大大.....謝謝(*無數次)
你的解答真的好詳細,我現在懂了,謝謝

作者: 40440553 時間: 2015-3-2 19:43

斜率在之後的單元非常重要
尤其是高二物理的微分
22169751 發表於 2015-3-1 11:00

斜率我知道,y-y0/x-x0.

(這題老師說不教,所以我以為是超出範圍

作者: 22169751 時間: 2015-3-2 22:34

我真的覺得這不算是課外
2an+1+an-3=0
移項之後就變成an+1=-an/2+3/2
和你之前放的
an+1=3an+2
解法其實一樣

作者: 44133122 時間: 2015-3-9 21:13

本帖最後由 44133122 於 2015-3-9 13:25 編輯

我真的覺得這不算是課外
2an+1+an-3=0
移項之後就變成an+1=-an/2+3/2
和你之前放的
an+1=3an+2
解法其實一樣
22169751 發表於 2015-3-2 14:34

你是怎麼發現這種規律的@@

作者: 22169751 時間: 2015-3-9 22:23

移項而已
為了讓an+1的係數等於1

作者: 39475494 時間: 2015-3-10 15:44

2a(n)+a(n-1)-3=0
要化成 [a(n)-q] = p[a(n-1)-q]
怎麼化 ? 有二種方式
一種是解 p, q 聯立，這是最好理解的，但也是最慢的
一種是 ...... # 跟恆等式代值解 q 有關
另外，待定系數法求通解
2m + 1 = 0 (看齊性方程式) , m = -1/2
這個可以算出 p 唷 ....

作者: 39475494 時間: 2015-3-10 15:45

# 跟恆等式代值解 q 有關
這部分，請星之城回答好了，之前寫過了 ..

作者: 44133122 時間: 2015-3-10 18:37

我沒事了@@

作者: 39475494 時間: 2015-3-10 21:52

我想知道星之城對恆等式代值解 q ，和待定系數法
領會到什麼程度 ...

作者: 22169751 時間: 2015-3-10 22:27

本帖最後由 22169751 於 2015-3-10 14:29 編輯

是指我上面放的速解嗎?
還有星之城不是我的名字
那只是彈彈堂的伺服器名稱而已

作者: 39475494 時間: 2015-3-10 23:05

是指我上面放的速解嗎?
還有星之城不是我的名字
那只是彈彈堂的伺服器名稱而已
22169751 發表於 2015-3-10 14:27

不是，是另一篇你問的遞回式裡寫的

了解，原來你不叫星之城 ...

作者: 22169751 時間: 2015-3-10 23:10

那就是把an化成x代入?

作者: 39475494 時間: 2015-3-10 23:24

那就是把an化成x代入?
22169751 發表於 2015-3-10 15:10

對 ...
可以解說一下嗎 ? (有點像考試)

作者: 22169751 時間: 2015-3-10 23:32

2x+x-3=0
x=1

作者: 39475494 時間: 2015-3-10 23:37

2x+x-3=0
x=1
22169751 發表於 2015-3-10 15:32

解說當然是要加說明啦 .....

作者: 22169751 時間: 2015-3-10 23:39

解得q=1
如果沒事我先睡了明天還要上課很累

作者: 39475494 時間: 2015-3-10 23:49

解得q=1
如果沒事我先睡了明天還要上課很累
22169751 發表於 2015-3-10 15:39

好吧
晚安

作者: 22169751 時間: 2015-3-12 23:42

特徵方程式
定義:令an=x^n代入k階遞回方程式
得到一方程式
x^n-c1x^(n-1)-c2x^(n-2)-...-ckx^(n-k)=f(n)
稱為此遞迴關係的特徵方程式
其k個根為特徵根
應用:【an=c1an-1+c2an-2型】(二階常係數遞回方程式)
【an+1=(ran+s)/(pan+q)型】
這題只需要化為等比消去就可以了
用到這個是不是有點小題大作

作者: 39475494 時間: 2015-3-16 15:40

本帖最後由 39475494 於 2015-3-16 07:57 編輯

特徵方程式
定義:令an=x^n代入k階遞回方程式
得到一方程式
x^n-c1x^(n-1)-c2x^(n-2)-...-ckx^(n-k)=f(n)
稱為此遞迴關係的特徵方程式
其k個根為特徵根
應用:【an=c1an-1+c2an-2型】(二階常係數遞回方程式)
...
22169751 發表於 2015-3-12 15:42

你在抄書呀，而且還弄錯了
q + 2q - 3 = 0
這不是用特徵根去解呀 (特徽根也不是拿來解 q 的)
2a(n)+a(n-1)-3 = 0
2x^n+x^(n-1)=0 這才是特徽方程式 ....
(這裡寫的也有點怪，特徵方程式應該是齊性的情況吧，f(n)要拿掉)

上次某篇裡面寫的
想要 y = (3x-2)/x 化成 y-a = b(x-a)/x
這裡的 x 是任意數(除了 x≠0 分母問題以外) 兩個等式都要成立
這種變化的等式，都是恆等式
(比方x²-1 = (x+1)(x-1) ，x =任意數去代入都會符合，這叫恆等式)
x = a 當然也要成立
看右邊 y-a = b(x-a)/x
x = a 代入 , 可得 y = a
左邊的話 y = a = (3a-2)/a
解出來 a = 1, 2

↑這才是我說的話 ....

2a(n)+a(n-1)-3=0
要化成 [a(n)-q] = p[a(n-1)-q]
這種等式變化的過程，都是一種恆等式的方式在變化的
恆等式變化的過程，你代入任何數字，其中一個等式成立，其他的等式也必會成立
即 a(n) = q , a(n-1) = q 代入[a(n)-q] = p[a(n-1)-q] 成立
則 a(n) = q , a(n-1) = q 代入 2a(n)+a(n-1)-3=0 也會必成立
所以 2q + q - 3 = 0 ，這可以直接解出 q = 1
就這樣
這跟特徵根沒有關係

作者: 22169751 時間: 2015-3-16 22:43

本帖最後由 22169751 於 2015-3-16 14:46 編輯

你指的是用題目給的an+1=αan+β
和an+1-q=p(an-q)必恆等的關係去解q?
如果是的話那q直接用β/(1-α)代入就出來了
因為你說的恆等式我真的看不太懂
我也覺得和我上面說的沒什麼差異
只不過是換個符號代入罷了

作者: 39475494 時間: 2015-3-17 10:19

本帖最後由 39475494 於 2015-3-17 02:27 編輯

你指的是用題目給的an+1=αan+β
和an+1-q=p(an-q)必恆等的關係去解q?
22169751 發表於 2015-3-16 14:43

是的
這是一個在這裡很好用的技巧
因為一定是在化成 <an+1>-q = f(<an>-q)
這個技巧很好用

如果是的話那q直接用β/(1-α)代入就出來了

那是這題比較好算呀
而且你這是記公式嗎 ?
計算的話
q-pq = β
q-αq = β
q = β / (1-α)
這不會比較快
而且，這還要先解出 p = α

因為你說的恆等式我真的看不太懂
我也覺得和我上面說的沒什麼差異
只不過是換個符號代入罷了 ...

差異呀
如果題目改一下
y = (3x-2)/x 化成 y-a = b(x-a)/x
可以直接 a = (3a-2)/a
a²-3a+2 = 0 → a = 1 or 2
因為我花了一些時間在跟你解說這裡
看情況你還是不太懂
看一下再想一想
還是不懂也沒關係，去解聯立也行
http://bbs.61.com.tw/viewthread. ... ;page=1#pid15620464

作者: 22169751 時間: 2015-3-17 21:58

本帖最後由 22169751 於 2015-3-17 14:02 編輯

那是這題比較好算呀
而且你這是記公式嗎 ?

這不算吧
至少我知道這怎麼來的
而且這是結論
數學本來就很多公式要記
不然要等到考試時才慢慢推?

差異呀
如果題目改一下
y = (3x-2)/x 化成 y-a = b(x-a)/x
可以直接 a = (3a-2)/a
a²-3a+2 = 0 → a = 1 or 2
因為我花了一些時間在跟你解說這裡
看情況你還是不太懂
看一下再想一想
還是不懂也沒關係，去解聯立也行

了解我再想想

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