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標題: 【問題】機率 [打印本頁]

作者: 23909504 時間: 2015-4-26 16:00 標題: 【問題】機率

請問在算機率時哪時候要用排列哪時候用組合..?
這一點一直讓我很錯亂...

作者: 22169751 時間: 2015-4-26 16:53

這真的很麻煩
只能從有沒有排順序來分別
我覺得排列組合主要還是看做過多少題目
比如塗色問題
第一次看到就會解的人應該沒幾個

作者: 47773354 時間: 2015-5-2 21:14

像是樓上朋友說的，可以從有沒有 "排順序" 來分別
這邊要注意
組合C只做了 "選擇" 的動作
而排列P不只 "選擇" 還進行了 "排"

舉個簡單的例子

論壇徵選版主，隨機從真理、哆啦及小明這三位朋友選出兩位擔任版主

不考慮 "選擇的先後順序" 以及 "各版的不同" ，而只是簡單的選出兩位
那麼是C3取2→3種可能
真理及哆啦 (哆啦及真理)
哆啦及小明 (小明及哆啦)
小明及真理 (真理及小明)

但如果考慮 "選擇的先後順序" ，即排序的不同就會是另一種可能
那麼是P3取2→6種可能
真理及哆啦
哆啦及小明
小明及真理
哆啦及真理
小明及哆啦
真理及小明

或是考慮 "各版的不同" ，即所在版塊的不同就會是另一種可能
那麼也是P3取2→6種可能
真理在賽爾版而哆啦在功夫版
哆啦在賽爾版而小明在功夫版
小明在賽爾版而真理在功夫版
哆啦在賽爾版而真理在功夫版
小明在賽爾版而哆啦在功夫版
真理在賽爾版而小明在功夫版

如果衝浪還對排列組合的運算不熟悉
建議你去請教老師也可以多和會的同學討論
試著跟著他們一起思考，並找到 "解題的技巧"

排列組合的題型很多
平常有空時能多算一些題目來增加 "手感"
而有些題目敘述長，作答時可準備一枝可擦拭螢光筆，把關鍵詞關鍵句標記
方便計算也不容易搞混

作者: 23909504 時間: 2015-5-2 21:57

那請問樓上兩位這題你們會用排列還組合?
''是非題有五題,小明不經思考作答,則答對3題或3題以上的機率為何?

作者: 47773354 時間: 2015-5-2 22:52

"是非題有五題,小明不經思考作答,則答對3題或3題以上的機率為何?"

這題觀察後即可看出機率是1/2

而以排列組合算
是非題有對與錯兩種可能，全部的選擇方法有 "2的5次方" ，也就是32種
答對3題的方法 C5取3→10種
答對4題的方法 C5取4→5種
答對5題的方法 C5取5→1種
共有16種方法，故機率是16/32等於1/2 #

作者: 22169751 時間: 2015-5-2 22:53

排列組合萬用型解法:窮舉法

作者: 21043709 時間: 2015-5-2 23:00

那請問樓上兩位這題你們會用排列還組合?
''是非題有五題,小明不經思考作答,則答對3題或3題以上的機率為何?
23909504 發表於 2-5-2015 21:57

算機率的九成都組合吧

作者: 23909504 時間: 2015-5-3 09:21

"是非題有五題,小明不經思考作答,則答對3題或3題以上的機率為何?"

這題觀察後即可看出機率是1/2

而以排列組合算
是非題有對與錯兩種可能，全部的選擇方法有 "2的5次方" ，也就是32種
答對3題的方法 C5取3→10種
答 ...
47773354 發表於 2015-5-2 14:52

那請問為何不能用重複組合?

作者: 47773354 時間: 2015-5-3 15:57

那請問為何不能用重複組合?
23909504 發表於 2015-5-3 09:21

有5題是非題，而是非題有答對與答錯兩種可能
全部的選擇方法就是求 "答對與答錯的重複排列" ，即 "2的5次方" 共32種

(樹枝圖提供參考
p.s.如果題目改成選擇題 (4選項) ，那麼會是 "4的5次方"

重複組合 (Hn取m)
自n類不同事物裡 (每類都不少於m個) ，可重複選取m個的重複組合方法數

透過例子進一步認識
自5類不同飲料裡 (每類都不少於3瓶) ，可重複選取3瓶的重複組合方法數，以H5取3表示

再舉一個貼近生活的例子

假設有5款遊戲分別是摩爾莊園、賽爾號、彈彈堂、小花仙及功夫派

今天工作人員要從這5款遊戲裡 (每款遊戲的玩家都不少於3人) 隨機選出3位玩家送出禮物

那麼結果可能是摩爾莊園1位、賽爾號1位及彈彈堂1位
可能是小花仙2位及功夫派1位
也可能3位全都是功夫派玩家

全部的方法有H5取3→35種

而你可以想想看
為什麼樓上的題目要用組合而不是重複組合

圖片附件: 63.PNG (2015-5-3 15:57, 65.27 KB) / 下載次數 2
http://bbs.61.com.tw/attachment.php?aid=1689781&k=a774a48c1ca91a7d4a9bbdf9d1f4730a&t=1771299501&sid=M1AGqP

作者: 23909504 時間: 2015-5-3 16:37

有5題是非題，而是非題有答對與答錯兩種可能
全部的選擇方法就是求 "答對與答錯的重複排列" ，即 "2的5次方" 共32種
1689781 (樹枝圖提供參考
p.s.如果題目改成選擇題 (4選項) ，那麼會是 "4的5次方"

重複組合 (Hn ...
47773354 發表於 2015-5-3 07:57

我大概知道我問題在哪了..
因為我不確定他有沒有題數之分,
有的話就是用排列
2*2*2*2*2 是排列 (第1題答對或錯,第2題答對或錯.......)
然後分子
C(5,3)C(5,4)C(5,5)........也是排列
但如果沒有題數之分,單純看答對的題數時
分母應該要用重複排列=C(6,1)

作者: 39475494 時間: 2015-5-8 16:43

本帖最後由 39475494 於 2015-5-8 15:31 編輯

排列組合、機率
重點在情境轉化成"列式"的過程
不要用背的，而是用情境想法的套入
比方說，五個蘋果給 ABC 三個人分，沒分到亦可，有幾種分法 ?
1. 先想清楚題目
蘋果沒有分別，三個人有分別
也就是A3 B1 C1 和 A1 B3 C1 是兩種(不是同一種)
而 A 和 B 交換一顆蘋果，仍算是同一種
沒分到亦可，即表示 A0 B3 C2 也可以是一種
2. 用數的話呢 ?
有時候用數的可以讓自己感受或分析一下這題解法的方式
既然要用數的，那一定要有規律的數，不然可能會少數或重複數
就用 A 愈多愈優先，A一樣多時以 B 愈多愈優先，這樣的方式數
500
410 401
320 311 302
230 221 212 203
140 131 122 113 104
050 041 032 023 014 005
數完了，一共 21 個
用數的想法，會有一種感覺，A佔m個 B+C 就剩 5-m 個
分法就是 (5-m, 0) .. (4-m, 1), ... , (0,5-m) → 6-m 種
A 從 5 到 0 ，解法就從 1 到 6 (6-5=1, 6-0=6)
所以，這題有一種解法出來了 1+2+3+4+5+6 = 21
(我在上面列 500 , 410 401 , ... 的時候也是列成這樣的)
我想，有些人可能開始想一個問題了
三個人可以這樣算，我甚至可以導出 n 個蘋果分給三個人幾種分法的公式
n 分三個人
A n 到 0 , 分法 1 到 n+1 ，即 1+2+3+...+n+(n+1) = (n+1)(n+2)/2
但如果不是三個人呢 ?
這個方法在人數多時，其實不好用，情境的過程要再改一種

OOOOO ← 五顆蘋果，我在裡面插進兩個板子，將五顆蘋果隔成三區
隨意的試幾個
O|OOO|O ← 131 OK (固定拿的順序是 ABC，即 A1，B3，C1)
|OOO|OO ← 032 OK
|OOOOO| ← 050 OK
||OOOOO ← 005 OK
OO||OOO ← 203 OK
可以感覺的到，板子插邊邊是允許的，因為 005 050 032都要算進去(21種裡面的3種)
板子也可以相鄰放，因為 203 也要算進去(也是21種裡面的1種)
這兩個板子分不分異同 ?
不分，因為 OO|OO|O 和 OO|OO|O 都是 221，只能算一種
所以現在題目變成，五個蘋果，用板子隔開，板子能放兩邊，可以兩板子相鄰放，能有幾種隔法?
OOOOO ← | |
這題要怎麼解 ? 把板子也當成蘋果來看呢 ?
OOOOO ← OO
來試試
OOOOOOO ← 131 OK
OOOOOOO ← 032 OK
OOOOOOO ← 050 OK
OOOOOOO ← 005 OK
OOOOOOO ← 203 OK
這感覺，超像 C7取2 的，多想一想
藍蘋果O，其實是板子，用來隔開五個蘋果，並不會真的分給ABC
為什麼把他當成蘋果，因為你們學 C?取? 習慣要一樣的東西才會當不分類
其實五個蘋果隨意插兩個板子的插法數(允許插兩邊、相鄰插) 和七個蘋果隨意取兩顆當板子是一樣的
回到解題，C7取2 = 7!/2!/5! = 21 (和數的一樣)
這就是 H，所有的 H，都能用這種想法去列式變成 C?取?
其實你會發現，H 的公式 : H(n, m) = C(n+m-1, m) = C(m + n-1, n-1)
看這個C(m + n-1, n-1) ，其實... n是人數，n-1 是板子數，m是蘋果數
H(3,5) = C(5+2, 2) = C (蘋果+板子) 取板子

這裡再加一點，如果題目說，三個人每個人至少要分到一顆
怎麼辦 ?
本來，五個蘋果隨意插兩個板子的插法數和七個蘋果隨意取兩顆當板子是一樣的
但如果板子不能插在最左或最右，就不一樣了，因為C?取?是可以取到兩旁的蘋果的
然後兩個板子不能相鄰，這也是麻煩，C?取?是可以取到相鄰的兩顆蘋果
如果要再去扣掉數插在旁邊的、相鄰的，這也不好算
所以，解法是，一開始先讓 ABC 各拿走一顆蘋果，就可以將題目改掉了
五個蘋果給 ABC 三個人分，每人至少分到一顆，有幾種分法 ?
二個蘋果給 ABC 三個人分，沒分到亦可，有幾種分法 ?
這兩題是一樣的答案
311 <->  200
221 <->  110
212 <->  101
131 <->  020
122 <->  011
113 <->  002
情境完全對應，答案一樣都是 6
這就是用H解題的情境
我再描述一次
一樣(不區分)的東西，分給不一樣的XX (必須分光東西)
如果底限是0 (可不拿)，那直接用 H 或加板子用 C
有底限，比方至少拿1個，那就先把底限分下去
因為東西是不區分的，先分後分都沒差(先滿足題目要求，剩的再去計算分法幾種)

作者: 39475494 時間: 2015-5-8 16:54

比方 9# 的例子 (9# 是高手唷)
假設有5款遊戲分別是摩爾莊園、賽爾號、彈彈堂、小花仙及功夫派
今天工作人員要從這5款遊戲裡 (每款遊戲的玩家都不少於3人) 隨機選出3位玩家送出禮物

3位玩家是不區分的，而遊戲是不同的
把三個玩家從五個遊戲中抽出，有幾種人數分配的情況
(其實等同三個蘋果分給五個人，允許沒分到)
也就是三個人用四個板子去隔開 (三個人是不區分的唷 ← 因為題目是問人數分配幾種)
C7取4 = 35
其實學排列組合和機率，就是要不斷的想這些情境一樣不一樣，差異在哪
然後套出可列式的流程
少部分的題目要用數的，或用數的去分類

作者: 39475494 時間: 2015-5-8 17:35

本帖最後由 39475494 於 2015-5-8 09:45 編輯

那請問樓上兩位這題你們會用排列還組合?
''是非題有五題,小明不經思考作答,則答對3題或3題以上的機率為何?
23909504 發表於 2015-5-2 13:57

這樣的題目，讓我想到巴斯卡三角
(x+1)^5 = x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1
1 5 10 10 5 1 怎麼來的，有想過嗎 ?
有程度不錯，應該會想到這個
      1
   1 1
   1  2  1
1  3  3  1
  1  4  6  4 1
1 5 10 10 5 1
還有些程度不錯的人會想到 C5取0，C5取1，C5取2，...，C5取5
有想過這些怎麼來的嗎 ?

先講巴斯卡三角
(x+1)^5 = (x+1)^4 * (x+1) = (x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1) * (x+1)
1  4  6  4  1
1  4  6  4  1
-----------------
1 5 10 10 5  1
所以 5 = 1(左上)+4(右上)，10 = 4(左上)+6(右上)，10 = 6(左上)+4(右上)， ...
這只是我拿第五排(五次方)去看，這和第四排(四次方)的關係，其實所有的都一樣
(x+1)^n = (x+1)^(n-1) * (x+1)
乘開一定是 "(x+1)^(n-1) 展開的一串" 去加右移一位的同一串 (因為是乘以 x+1 )

C5 取 0~5 呢 ? 這和這題有關係
(x+1)^5 = (x+1)(x+1)(x+1)(x+1)(x+1)
展開後，一共會有 2^5 = 32 項，而且各項的系數都是 1
然後整理，同樣是 x^5 的有1項，同樣是 x^4 的有5項，同樣是 x^3 的有10項， ...
我今天如果只想算 x^3 的系數，怎麼算 ?
展開前各組(不同顏色)中，取 x 或 1 出來乘，取到的是 3個x 和 2個1 時，就會讓 x^3 的項次多 1
比方 (x)(x)(x)(1)(1)
比方 (x)(1)(x)(x)(1)
這些都會變成x^3 的系數
那題目就變成，五組(不同顏色，非x即1)，有三組是x，兩組是1的排列有幾種
再變一下，五組取三組當x，剩的兩組就當1，有幾種取法 → C5取3
這和五題，答對三題的排列是一樣的(答對相當於取到x)
所以 x^5 的系數 → 五組都取到 x 的排列數 → 五組全取當x → C5取5 = 1
所以 x^4 的系數 → 五組有四組x，一組1 的排列數 → 五組取四組當x → C5取4 = 5
所以 x^3 的系數 → 五組有三組x，二組1 的排列數 → 五組取三組當x → C5取3 = 10
所以 x^2 的系數 → 五組有二組x，三組1 的排列數 → 五組取二組當x → C5取2 = 10
所以 x^1 的系數 → 五組有一組x，四組1 的排列數 → 五組取一組當x → C5取1 = 5
所以 x^0 的系數 → 五組都取到 1 的排列 → 五組取0組當x(全是取1) → C5取0 = 1
然後，展開後一共有32項 ( 2^5)
32 = 1+5+10+10+5+1 這是沒錯的
同理，用在這題
五題全對 1 種
四對一錯，5種
三對二錯，10種
二對三錯，10種
一對四錯，5種
五錯全錯，1種
五題，每題不是對就是錯 2^5 = 32 種
32 = 1+5+10+10+5+1 這也是沒錯的

作者: 46783671 時間: 2015-5-9 20:56

上面的兩位都好厲害........

作者: 46783671 時間: 2015-5-9 23:09

11樓的大大說的很詳細很清楚
3樓大大也是舉的例子有趣也很明瞭
排組要加油了

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