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標題: 【數學】高中數學(稍難) [打印本頁]

作者: 45959595 時間: 2015-5-27 22:14 標題: 【數學】高中數學(稍難)

1.試證： (a^5+b^5+c^5) / (a^2+b^2+c^2) >= abc

2. 已知 0<角a<兀/2
試證：sin(角a) + tan(角a) > 2角a

3.有一橫六格，直兩格，共12格的長方形，現要將1,2,3.....12共12個數字填入格子中，且滿足"右邊格子中的數字比左邊格子大，上方格子中的數字比下方格子大"，試問這樣的填法共有幾種?

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http://bbs.61.com.tw/attachment.php?aid=1694174&k=b33f9ba7447159b2e02d1dff10ae9bfc&t=1771314079&sid=b5qe4p

作者: 22169751 時間: 2015-5-27 23:38

3.32種?(隨便猜的)

作者: 34809768 時間: 2015-5-28 01:16

第一題、
有沒有少了一些限制啊?
如果我a,b為負數，c為0，這樣就與題目矛盾了

第三題、
我猜這題應該不可能一條式子算出來
所以就來分析題目
思考可以知道1與12一定分別在左下及右上
然後從2(也可從11)開始分析
2只可能在與1相鄰的兩個位置，因此有兩種分支
然後以此類推慢慢往下分析，應該就可以算出總共幾種方法
話說我覺得樓上猜的答案或許是正確的 XD

第二題、
看來我數學退化了哈哈，證不出來(汗顏)
我不知道要怎麼變出角度與sin、cos比
不過tan沒意外應該是會換成cos或sin的形式啦

作者: 39475494 時間: 2015-5-28 11:09

本帖最後由 39475494 於 2015-5-28 05:28 編輯

2.
當 lim Θ → 0 時
sinΘ + tanΘ = Θ + Θ = 2Θ
d(sinΘ + tanΘ)/d(2Θ) = (cosΘ + sec²Θ)/2 ，Θ=0 代入，原式 = 1
當 0 < Θ < pi/2 → cosΘ ≠ sec²Θ，secΘ > 1
d(sinΘ + tanΘ)/d(2Θ) = (cosΘ + sec²Θ)/2 > √(cosΘsec²Θ) = √(secΘ) > 1
所以 ...
不然這樣看好了
令 f(Θ) = sinΘ + tanΘ - 2Θ
f(0) = 0
Θ = 0 時 df/dΘ = 0
而 0 < Θ < pi/2 , df/dΘ = cosΘ + sec²Θ - 2 > 0
故 0 < Θ < pi/2 , f(Θ) > 0
sinΘ + tanΘ - 2Θ >0
sinΘ + tanΘ > 2Θ

3.
6x2空格，分成上、下兩排，每排六格
下面填數字的順序，是由小填到大，也就是 1,2, 3 ... 11, 12 依序填入(這點請記住)
下列表格，填的是排列方式數
比方(上排3，下排2)，即為
NNN???
NNNN??
(7個N 表示已經填入符合規律的1~7，五個 ? 表示尚未填入的8~12)
在這種情況下，五個 ? 的排列不同，所產生的排列方式數量

第一步：上排空格 >= 下排空格，所以把上排空格<下排空格的邊界打Ｘ
　　　　　　　　　　　　上排空格數
　　　０　　　１　　　２　　　３　　　４　　　５　　　６
　０
下１　Ｘ
排２　　　　　Ｘ
空３　　　　　　　　　Ｘ
格４　　　　　　　　　　　　　Ｘ
數５　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｘ
　６　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｘ

第二步：如果下排沒空格了，剩下的數字全填上排
這種情況，只有一種填法填到結束，就是上排從左往右填過去
所以下排空格為 0 的地方，全部都只剩一種排列方式
　　　　　　　　　　上排空格數
　　　０　　　１　　　２　　　３　　　４　　　５　　　６
　０　　　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１
下１　Ｘ
排２　　　　　Ｘ
空３　　　　　　　　　Ｘ
格４　　　　　　　　　　　　　Ｘ
數５　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｘ
　６　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｘ

第三步：每個數字的填法
令 m = 上排空格數， n = 下排空格數，(m,n)表示該情況的排列方式數
1. 上排空格 = 下排空格數時，只能填下排最左
也就是說，m=n時，填入前的排列數(m,n) = 填入下排後的排列數(m, n-1)
即 m = n 時，(m,n) = (m, n-1)
2. 上排空格 > 下排空格數時，可以填下排最左，也可以填上排最左
也就是說，m>n時，填入前排列數(m,n) = 填入下排後排列數(m, n-1) + 填入上排後排列數(m-1, n)
即 m > n 時，(m,n) = (m, n-1) + (m-1, n)
總歸來說，某格的數字 = 上一格的數字 + 左一格的數字 (遇到Ｘ當０)
　　　　　　　　　　　　上排空格數
　　　０　　　１　　　２　　　３　　　４　　　５　　　６
　０　　　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１
下１　Ｘ　　　１　　　２　　　３　　　４　　　５　　　６
排２　　　　　Ｘ　　　２　　　５　　　９　　１４　　２０
空３　　　　　　　　　Ｘ　　　５　　１４　　２８　　４８
格４　　　　　　　　　　　　　Ｘ　　１４　　４２　　９０
數５　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｘ　　４２　１３２
　６　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｘ　１３２
答案 132

舉例，拿一開始的來看
(3, 2)
NNN???
NNNN??
(7個N 表示已經填入符合規律的1~7，五個 ? 表示尚未填入的8~12)
在這種情況下，五個 ? 的排列不同，所產生的排列方式數量
對照(3, 2)那格，(3, 2) = 5
NNN8??
NNNN?? → 2 種
NNN???
NNNN8? → 3 種
一共五種，沒錯 (細節自己推一下)

作者: 48592056 時間: 2015-5-28 12:30

三題我完全算不出來，智力退化了

作者: 45959595 時間: 2015-5-28 12:51

本帖最後由 45959595 於 2015-5-28 04:54 編輯

抱歉，第一題要補上a,b,c>0

作者: 39475494 時間: 2015-5-28 13:07

a,b,c>0 ，故 (a+b)(a-b)²(a²+ab+b²) >= 0 , (a²+b²+c²) > 0
(a^5 + b^5)  = (a+b)(a-b)²(a²+ab+b²) + a³b² +a²b³ >= a³b² +a²b³

2(a^5 + b^5 + c^5)
= (a^5 + b^5) + (b^5 + c^5) + (c^5 + a^5)
>= a³b² +a²b³ + b³c² +b²c³ + c³a² +c²a³
=  a³b² +  a³c² + b³c² +  b³a² + c³a² +  c³b²
= a³(b² +  c²) + b³(c² +  a²) + c³(a² +  b²)
>= a³(2bc) + b³(2ca) + c³(2ab)
= 2(a²+b²+c²)(abc)
所以 (a^5 + b^5 + c^5) >= (a²+b²+c²)(abc)
又 (a²+b²+c²) > 0
(a^5 + b^5 + c^5)/(a²+b²+c²) >= (abc)

作者: 45959595 時間: 2015-5-28 13:48

第二題是否有不用微分的方法?

作者: 45959595 時間: 2015-5-28 13:56

a,b,c>0 ，故 (a+b)(a-b)²(a²+ab+b²) >= 0 , (a²+b²+c²) > 0
(a^5 + b^5) = (a+b)(a-b)²(a²+ab+b²) + a³b² +a²b³ >= a³b² +a²b³

2(a^5 + b^5 + c^5)
= (a^5 + b^5) + (b^5 + c^5) + (c^5 + a^5)
...
39475494 發表於 2015-5-28 05:07

想請問這類題目應該如何找證明的步驟?
這不是一步就可以完成的

作者: 39475494 時間: 2015-5-28 14:28

第二題是否有不用微分的方法?
45959595 發表於 2015-5-28 05:48

不知耶
sina tana a
徑度和三角去比大小，這是一個不太好弄的東西
但很直覺得知道他們在 a→0 的地方是相等的，連斜率也一樣
不用微分証的話，有點難想到 idea

作者: 45959595 時間: 2015-5-28 14:35

不知耶
sina tana a
徑度和三角去比大小，這是一個不太好弄的東西
但很直覺得知道他們在 a→0 的地方是相等的，連斜率也一樣
不用微分証的話，有點難想到 idea ...
39475494 發表於 2015-5-28 06:28

沒有關係，還是很感謝

作者: 39475494 時間: 2015-5-28 14:51

想請問這類題目應該如何找證明的步驟?
這不是一步就可以完成的
45959595 發表於 2015-5-28 05:56

先移項 (a^5 + b^5 + c^5) >= (a²+b²+c²)(abc)
次方來看，都是 5 次，所以應該有用到常見的那幾種
我是從右邊想過來的 (a²+b²+c²)(abc)
(a²+b²+c²)(abc)
找裡面的一項 a³bc = a³(bc) <= a³(b²+c²)/2 這樣不等式就有用上了，而且次方不變
而且還有個 /2 到時候 a^5 + b^5 + c^5 可以 *2 變成 (a^5 + b^5) + () + () 去比
而這種 a³(b²+c²) = a³b²+a³c² ，一共三組六個，重配當然要找變數一樣的
一邊是 a^5 + b^5 ，當然就要找 a³b²+ a²b³，去比了
看能不能証明a^5 + b^5 >= a³b²+ a²b³
當然，証明之前，代入幾個數字先確定是不是真的，不要妄想証明不對的東西

作者: 43153348 時間: 2015-5-28 15:12

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作者: 26867711 時間: 2015-5-28 16:22

本帖最後由 26867711 於 2015-5-29 14:20 編輯

若有銳角的  tan值>sin值>弧度  的預備知識

由( tanΘ-Θ)+(sinΘ-Θ)>0

簡單推出sinΘ + tanΘ > 2Θ#

冰語  我想寫排瑞士制循環賽排賽程的簡單程式
程式內容應該是排對手的標準做法(這方面我很強)
希望輸入上一場的比賽結果  電腦會根據輸入資料排出下一場對戰組合
我完全沒寫過  你可以給我建議嗎?

作者: 39475494 時間: 2015-5-28 16:53

我記得沒錯的話
應該是 tan > 弧度 > sin 唷
rΘ = 弧長
r sin = 圓內的對邊
rΘ >= r sin
或是用例子來看的話
sin30° = 0.5
30*pi/180 = 3.14/6 = 0.52

瑞士制循環賽呀
我先研究一下這個的規則

作者: 26867711 時間: 2015-5-28 17:15

寫完洗澡的時候才想到當初利用面積夾擠證明 limΘ->0時 sinΘ<Θ<tanΘ

所以應該試著找看(tanΘ-Θ)是否>(Θ-sinΘ)

作者: 22169751 時間: 2015-5-28 21:10

我好像把題目想得太簡單了

作者: 45959595 時間: 2015-5-28 23:08

第二題其實有兩小題

第一小題便是證明
tanΘ > Θ > sinΘ
(應該以面積證是最標準的)

我想這個第二小題多少和上一題有關係

作者: 39475494 時間: 2015-5-29 00:01

本帖最後由 39475494 於 2015-5-28 16:39 編輯

第二題其實有兩小題

第一小題便是證明
tanΘ > Θ > sinΘ
(應該以面積證是最標準的)

我想這個第二小題多少和上一題有關係
45959595 發表於 2015-5-28 15:08

用面積是可以証出來

提示

圖片附件: 2015-05-29_003922.png (2015-5-29 00:39, 16.96 KB) / 下載次數 4
http://bbs.61.com.tw/attachment.php?aid=1694379&k=9440b30913ec727b6b0c55c10253ca28&t=1771314079&sid=b5qe4p

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