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標題: 【數學】向量分析 [打印本頁]

作者: 44671905 時間: 2015-6-7 21:14 標題: 【數學】向量分析

本帖最後由 44671905 於 2015-6-9 06:56 編輯

向量場F =y^3i+x^3j+z^3k 計算面積分 S ∫∫ F.nd A 其中 S= x^2+9y^2=9

x ≥0 y ≥0 0≤z≤5 ... (圖形是1/4橢圓)

這題我不是問詳解
而是問投影的部分

參考書上的解法是投影到yz 平面

我想問的是投影到xy 、yz 、xz平面要如何判別 ?

作者: 39475494 時間: 2015-6-7 21:59

向量場F =x^3i+y^3j+z^3k 計算面積分 S ∫∫ F.nd A 其中 S= x^2+9y^2=9

x ≥0 y ≥0 z=5 ... (圖形是1/4橢圓)

這題我不是問詳解
而是問投影的部分

參考書上的解法是投影到yz 平面

我想問的是投影到xy 、 ...
44671905 發表於 2015-6-7 13:14

S : x^2+9y^2=9 , x ≥0 y ≥0 z=5 ... (圖形是1/4橢圓)
z=5 ?
這變一條線了耶
可以把題目，最好附上答案，完整的貼上來看嗎 ?

作者: 39475494 時間: 2015-6-7 22:21

這題要嘛就硬積
要嘛就取個密閉空間用 divF 變體積分
你這樣寫我連題目都覺得怪怪的

作者: 35664048 時間: 2015-6-8 11:18

不好意思打錯了是0≤z≤5

作者: 39475494 時間: 2015-6-8 20:10

∫∫ F.nd A
F =x³ i + y³ j + z³ k
其中 S= x² + 9y² = 9 ，x ≥0 , y ≥0 , 0≤z≤5

一樣的
先看你怎麼想這些東西

n 是什麼 ?
dA 是什麼 ?

你講到了投影 .... 投影怎麼算 ?( ndA = ?)
n 的方向怎麼決定的 ?
dA 變成 dxdy or dydz or dzdx ，要經過什麼處理 ?
把你的想法告訴我吧 ....

作者: 39475494 時間: 2015-6-8 20:31

別有太多壓力
我不知道你卡在哪邊
我也不想當你什麼都不會，然後重頭講
可以答錯或是說不太懂、不知道
但知道的最好說出來，答對是種肯定，答錯了會有警覺心 ...

作者: 22169751 時間: 2015-6-8 22:20

你不是才國2嗎
這麼早就學這個
難度不低吧

作者: 39475494 時間: 2015-6-8 23:01

國2 別學這些
你很多觀念都還沒建立
太早學會漏掉很多東西

作者: 39475494 時間: 2015-6-8 23:10

我跟你說，微積分有很多概念
你要一步一步走實了，建立起來
如果你產生了太多錯誤的觀念，那比不懂還糟糕，你會產生很多偏見
國二生不要去學這些

作者: 39475494 時間: 2015-6-8 23:23

本帖最後由 39475494 於 2015-6-8 15:35 編輯

國中有一些微量的概念
比方說，浮力，自由落體，向心加速度
你先練習用微觀去看這些東西 ...

真的對微積分很有興趣的話
先練習去積圓椎體積或表面積
球體積或表面積之類的東西
把你的立體概念和微積分的入門想法弄實了再說

說真的，很多人高中畢業，都還算不出球表面積 = ?

作者: 35664048 時間: 2015-6-9 08:35

本帖最後由 35664048 於 2015-6-9 00:37 編輯

噗若我當真國二會解這種問題應該可以跳個五~六級吧
我已經大學畢業了 ...

但當初學校對工數這科只挑幾章教所以我在自學沒教到的部分

作者: 39475494 時間: 2015-6-9 10:39

本帖最後由 39475494 於 2015-6-9 02:59 編輯

噗若我當真國二會解這種問題應該可以跳個五~六級吧
我已經大學畢業了 ...

但當初學校對工數這科只挑幾章教所以我在自學沒教到的部分
35664048 發表於 2015-6-9 00:35

國二能問這些，我第一個感覺就是裝逼的小孩
很多學校都只挑幾章教，因為課堂的時間不夠，老師又不一定說的出一番數學的道理
7# 他應該是被圖像搞錯人吧
以前網站的內定圖像不是這張

dA 是 S 曲面上切成的一小格一小格的小面積，因為太小了，可以當成是平的來看
(看到d 應該知道這是趨近0的面積)
n 是 dA 的法線的單位向量
(每個dA 的法線都不一定相同，所以 n 的結果要看dA的座標)
(法線是指它和面積 dA 垂直，單位向量是指它是一個向量，且長度 = 1)
ndA = ▽φ dydz / |▽φ dot i| 這是投影到 yz 平面的算法
先看這個 ▽φ
這是梯度，這個算出來是一個向量，這個向量和 n 是一樣的方向
而大小則和 φ 受 x,y,z 的變化產生的變化幅度有關 (相當於φ 對應 x,y,z 三個變數時的斜率)
所以，n = ▽φ / |▽φ|

dA 和 dydz 的關係
dydz 是 dA 投影到 yz 平面後的面
所以 dydz = dA * cosΘ ，Θ是兩平面的夾角
dydz 的單位法線向量是 i ，所以 Θ 的夾角同樣是 n 和 i 的夾角
也因此，Θ 的夾角同樣也是 ▽φ 和 i 的夾角
▽φ dot i = |▽φ||i|cosΘ = |▽φ|cosΘ
cosΘ = (▽φ dot i) / |▽φ|
dxdy = dA * cosΘ
dA = dxdy/cosΘ

最後來看 ndA
ndA = (▽φ / |▽φ|) * (dxdy/cosΘ)
= (▽φ / |▽φ|)/cosΘ * dxdy
= (▽φ / |▽φ|)/[(▽φ dot i ) / |▽φ|] * dxdy
= (▽φ / ▽φ dot i )* dxdy

簡單講就是dA → * cosΘ → dxdy
而 n = ▽φ/|▽φ| → /cosΘ → ▽φ / (|▽φ|cosΘ) = (▽φ / ▽φ dot i )
最後 ▽φ dot i 加絕對值，是因為和 dA 垂直的法線向量，有正負兩頭
而習慣上取 n 的向量時，會取向外為正
這裡在計算時可以多加判斷一下

整個過程，除了cosΘ不能為 0 外，沒有其他可不可以投影到哪個平面的問題
像你這題，就不能投影到 xy ，因為S 和 xy 是垂值的，cos90° = 0

作者: 39475494 時間: 2015-6-9 10:55

不過說真的，你的根紮的不太夠
你之前的問題，題目本身就有一些問題
而你沒看出來，表示你的概念模模糊糊的

對了，這題答案多少呀 ?

作者: 44671905 時間: 2015-6-9 15:04

本帖最後由 44671905 於 2015-6-9 07:06 編輯

φ=x^2+9y^2-9 ▽φ=2x+18y n= ▽φ / |▽φ dot i| =1+9y/x
∫∫ F.nd A= ∫∫ y^3+9x^2y dydz = ∫∫ y^3-9y(9-9y^2dydz
∫∫ 80y^3-81ydydz ∫∫ 20y^4-81/2y^2dydz
y :1~0 z:5~0
ans :205/2

作者: 39475494 時間: 2015-6-9 15:50

φ=x^2+9y^2-9 ▽φ=2x+18y n= ▽φ / |▽φ dot i| =1+9y/x
∫∫ F.nd A=  ∫∫ y^3+9x^2y dydz = ∫∫ y^3-9y(9-9y^2dydz
∫∫ 80y^3-81ydydz ∫∫ 20y^4-81/2y^2dydz
y :1~0 z:5~0
ans :205/2 ...

S : x² + 9y² = 9
φ=x²+9y²-9 , ▽φ=2x i + 18y j
n= ▽φ / |▽φ dot i| =i + (9y/x)j
∫∫ F．n dA =  ∫∫ y³ + 9x²y dydz = ∫∫ y³ + 9y(9-9y²)dydz
= ∫∫ -80y³+81ydydz  =  ∫ [(-20)y^4 + (81/2)y²] |(0 ~ 1)  dz
= (41/2) z | (0~5)
= 205/2

過程有點小錯，注意 ▽φ 和 n 是向量，∫∫ F．n dA  這是內積符號
題目有再改過 ?

作者: 22169751 時間: 2015-6-9 21:58

噗若我當真國二會解這種問題應該可以跳個五~六級吧
我已經大學畢業了 ...

但當初學校對工數這科只挑幾章教所以我在自學沒教到的部分
35664048 發表於 2015-6-9 00:35

我的錯
太多人用這頭像
害我搞混

作者: 35664048 時間: 2015-6-10 14:41

冰語的回覆大部份我都看的懂但s與xy垂直這部分我比較不懂

難道s在z軸我以與xy平面垂直??

作者: 39475494 時間: 2015-6-10 15:39

冰語的回覆大部份我都看的懂但s與xy垂直這部分我比較不懂

難道s在z軸我以與xy平面垂直??
35664048 發表於 2015-6-10 06:41

s在z軸? 差點跪了
S是曲面呀，z軸只是一條直線，二維的東西怎麼會在一維上 ?
你不是寫了，圖形是1/4橢圓，不會是以為只是一個圈吧 ?
S : x² + 9y² = 9，那 z 呢 ? 沒寫就表示任意，都允許
(3, 0, -10) (3, 0, 0) (3, 0, 1) (3, 0, 10000) 都在 S 上
S 像是一根橢圓吸管立在xy平面上
z 軸是那根吸管內部(中空)的中心線
當然上加了 x≥0 , y≥0 , 0≤z≤5 條件
就像這根吸管被剪四刀，變成一個弧面了
投影到 xy 是一條弧線

作者: 44671905 時間: 2015-6-10 15:51

上述我自然是瞭解~
但這問題也不是二維而是三維
我的問題是投影到xy平面是由z方向投影 z與xy垂直所以Θ=90
但若由y方向投影到xz平面 y與xz 方向也是垂直

作者: 39475494 時間: 2015-6-10 16:10

上述我自然是瞭解~
但這問題也不是二維而是三維
我的問題是投影到xy平面是由z方向投影 z與xy垂直所以Θ=90
但若由y方向投影到xz平面 y與xz 方向也是垂直 ...
44671905 發表於 2015-6-10 07:51

你的觀念很亂，不然就是語言有問題，你是香港或是馬來西亞的人嗎 ? 看起來也不太像呀
z軸就是線，z方向，麻煩寫方向，不然寫 k 也行
「S在z軸」，就算把z軸當方向，S也不會在z方向呀

投影就是垂直落下來
投影到xy面，就是將S上的每一個點，都投垂直落到 xy 平面上
投影過程的方向是±k 沒錯，不管哪個點，投影到xy，都是±k在移
90°是指 S 和 xy平面，是垂直的，不關 z 軸的事
然而， S 和 yz 或 zx 可不是垂直的呀

作者: 39475494 時間: 2015-6-10 16:16

S : x² + 9y² = 9
x≥0 , y≥0 , 0≤z≤5
這個曲面，投影到 xy平面，就是一個橢圓弧線段
線段的兩端點在 (3,0,0) (0,1,0)，注意唷，是線段

投影到yz平面，就是一個長方塊(面)
長方塊的四個點在 (0,0,0)(0,1,0)(0,1,5)(0,0,5)

投影到zx平面，也是一個長方塊(面)
長方形的四個點在 (0,0,0)(3,0,0)(3,0,5)(0,0,5)

作者: 44671905 時間: 2015-6-10 16:28

呵香港人也有國語說的很流利的~~
~離題了

作者: 30674375 時間: 2015-6-10 16:30

神抹東西˙˙

作者: 39475494 時間: 2015-6-10 16:31

本帖最後由 39475494 於 2015-6-10 09:22 編輯

呵香港人也有國語說的很流利的~~
~離題了
44671905 發表於 2015-6-10 08:28

嗯
我文中的cosΘ
Θ是dA 和 dydz 的夾角
這夾角的cosΘ不能為0就是了
也就是 ▽φ．i ≠ 0 就對了

作者: 45348098 時間: 2015-6-10 16:33

提示: 作者被禁止或刪除內容自動屏蔽

作者: 39475494 時間: 2015-6-10 17:29

不然這樣，題目改一下
向量場F =x² i+y² j 計算面積分 ∫∫ F．n dA 其中 S= x² +y² = 1
x ≥0 ， 0≤z≤5 ... (圖形是1/2圓弧柱)
你用投影 xy 、 yz 和 zx 各做一次看看

作者: 39480818 時間: 2015-6-10 17:52

完全看不懂

作者: 44671905 時間: 2015-6-10 18:18

原題目我就這樣try過~~結果xy平面=0
yz xz平面答案都是205/2

現在已不需要在這樣試了因為我已知為什麼會有這樣的結果~~

作者: 39475494 時間: 2015-6-10 19:11

原題目我就這樣try過~~結果xy平面=0
yz xz平面答案都是205/2

現在已不需要在這樣試了因為我已知為什麼會有這樣的結果~~
44671905 發表於 2015-6-10 10:18

xy 平面是 0 ?
φ=x²+9y²-9 , ▽φ=2x i + 18y j
|▽φ dot k| = 0
n = ▽φ / |▽φ dot k| = ?
你沒卡住嗎 ?

還有，這題 y 沒設範圍，yz 和 zx 會不一樣，你可以試試看

作者: 39475494 時間: 2015-6-10 23:29

本帖最後由 39475494 於 2015-6-10 15:39 編輯

n = ▽φ / |▽φ dot k|
|▽φ dot k|=0
後面就不用算了~~
φ=x^2+9y^2-9
n= ▽φ / |▽φ dot i| =1i +(9y/x) j
∫∫ F．n dA = ∫∫x^2+9y^3/x dydz =∫∫9+9y^2+9y^3/(9+9y^2)^0.5 dydz
題目的F 若是:y^2i+x^2j ...
44671905 發表於 2015-6-10 14:05

回到你的問題，你懂了沒有 ? 為什麼不能投影到 xy 平面 ?
算出來不是等於 0 ，而是cosΘ = 0 ，導致 n = ▽φ / |▽φ dot k| → ∞ 而且 dxdy → 0 ....
再來 ... 依你的改一下 ( 原本的可以轉成圓柱座標解 ...，還有 n 是向量，你又漏 i 和 j 了)
向量場F =y² i + x² j 計算面積分 ∫∫ F．n dA
其中 S : x²+y² = 1 ，x ≥0 ， 0≤z≤5 ... (圖形是1/2圓弧柱)

這裡面有方向的問題要注意 ....

其實我想問你的是球，不是圓柱
因為圓柱的投影是方塊，這個超簡單，而球的投影是圓，這還有上下標的問題

你有想過這些嗎 ?

作者: 39475494 時間: 2015-6-10 23:42

你有去補習試試嗎 ?
我覺得你光看書本，可能沒辦法體會到很深的想法
有老師教會好一些 (我認為啦

其實我覺得，國小國中高中都可以不要補
大學一定要補，因為那些東西抽象多了，老師又不太會教
不補很難體會

作者: 44671905 時間: 2015-6-11 18:11

每個人理解方式不一樣吧總之就是其內積為0 所以無法投影在xy平面
a.b=abcos Θ Θ =90 a.b=0
關於補習~~我是真的沒時間因為我已經在上班了~~
已經一年多沒碰這些東西~
另外問下你有學到機率嗎??

作者: 39475494 時間: 2015-6-11 19:06

本帖最後由 39475494 於 2015-6-11 11:11 編輯

每個人理解方式不一樣吧總之就是其內積為0 所以無法投影在xy平面
a.b=abcos Θ Θ =90 a.b=0
關於補習~~我是真的沒時間因為我已經在上班了~~
已經一年多沒碰這些東西~
另外問下你有學到機率嗎?? ...
44671905 發表於 2015-6-11 10:11

「原題目我就這樣try過~~結果xy平面=0
yz xz平面答案都是205/2 」
你不是說無法投影到xy平面
你是說，你用投影到xy平面的方式，算出來的 ∫∫ F.nd A = 0
這哪有什麼理解的方式不一樣呀 ?
▽φ．k = 0 當分母，就卡住算不下去了，怎麼得到 ∫∫ F.nd A = 0 的答案 ?
搞錯就說搞錯不就行了 ?
寫個題目給你，是有目的的，你不去算怎麼會發現 ? 你以為我在整你嗎 ?
你一開始的問題，就是要算投影到哪個面才對 ?
向量場F =y² i + x² j 計算面積分 ∫∫ F．n dA
其中 S : x²+y² = 1 ，x ≥0 ， 0≤z≤5 ... (圖形是1/2圓弧柱)

跟你說了，這有方向的問題，其實上下界還有注意一下
這跟你在「選擇投影哪個面」時，可以避掉一些的問題
不過看你沒有興趣知道，那就算了
還有，你可以考慮解一些球狀的，那個投影下去不是方塊，上下標不是數字的

畢業一年，你還年輕的很呀，我都畢業十幾年了，公司都待過三間了
機率呀，高中學過，你想問些什麼題目 ?

作者: 22169751 時間: 2015-6-11 21:39

畢業一年，你還年輕的很呀，我都畢業十幾年了，公司都待過三間了

原來是經歷過聯考時代的老前輩

作者: 35664048 時間: 2015-6-12 12:02

我沒有說∫∫ F.nd A = 0喔~

|▽φ dot k|=0
n = ▽φ / |▽φ dot k| =無窮大
後面就不需要算了，我是這意思...
另外投影的意思不是光照射這物體投影到平面上的面積嗎?
當然我瞭解你想說啥不見得其他平面的投影面積一樣，是這樣吧?

作者: 39475494 時間: 2015-6-12 16:06

我沒有說∫∫ F.nd A = 0喔~

|▽φ dot k|=0
n = ▽φ / |▽φ dot k| =無窮大
後面就不需要算了，我是這意思...
另外投影的意思不是光照射這物體投影到平面上的面積嗎?
當然我瞭解你想說啥不見得其他平面的 ...
35664048 發表於 2015-6-12 04:02

「原題目我就這樣try過~~
結果xy平面=0
yz xz平面答案都是205/2 」
然後你的意思是
「xy平面=0」是指 dxdy本身積出的面積 ?
而下一句「yz xz平面答案都是205/2」是指 ∫∫ F.nd A ?
你覺得有這樣子講話的嗎 ?
不管如何，你這句話本身就是錯的了
只是差在你腦裡面表達的是不是和話本身相同，對吧 ?

「投影的意思不是光照射這物體投影到平面上的面積嗎?」
可以，但要注意，光是平行光(不是點光源)還有是垂直於平面的照射下去
還有一點要注意，投影是計算技巧上的應用
∫∫ F．ndA 跟投影沒關係，∫∫ F．ndA 是在算通量(Flux Integral)
這點從 ∫∫ F．ndA 這個式子就可以看的出來了

作者: 34809768 時間: 2015-6-12 19:19

畢業一年，你還年輕的很呀，我都畢業十幾年了，公司都待過三間了
39475494 發表於 2015-6-11 19:06

(抱歉此回復與樓主的帖子無關)
之前一直對冰語大大感到十分的好奇與佩服
原來冰語是大前輩啊!!
不知道冰語大以前大學主修甚麼？(希望這問題不會冒犯到您)
搞不好我有問題也可以問大大您XD

作者: 35664048 時間: 2015-6-13 10:41

呵你看的還真仔細
那算我回覆筆誤吧~~

作者: 39475494 時間: 2015-6-13 14:57

呵你看的還真仔細
那算我回覆筆誤吧~~
35664048 發表於 2015-6-13 02:41

呵呵
這不需要仔細看啦
這種對話的感覺，對話中的人，自然就會知道的
如果只是嘴巴上講，我當然對你無可奈何，除非我把話錄了下來
不然就只會把你身上貼個標籤，以後這個人講的話聽聽就算了，不用管他講些什麼
可是這裡打的是文字
只有搞不清楚，又不回頭看看自己打了些什麼的人
才會一直堅持自己沒錯
那我就把你打的話貼給你看就行了
你知道我貼你的話，貼過兩次嗎 ?

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