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標題: 【數學】二項式定理 [打印本頁]

作者: 44133122 時間: 2015-7-31 15:38 標題: 【數學】二項式定理

本帖最後由 44133122 於 2015-7-31 10:53 編輯

如何證明Cn(0)+Cn(2)+Cn(4)+.............=Cn(1)+Cn(3)+Cn(5)+................=2^(n-1)?

作者: 39475494 時間: 2015-7-31 15:50

本帖最後由 39475494 於 2015-7-31 16:05 編輯

(1+1)^n 展開看看
(1-1)^n 展開看看
然後比一比
你的題目有筆誤？

作者: 44133122 時間: 2015-7-31 16:12

題目有錯??

作者: 39480818 時間: 2015-7-31 16:41

看不懂˙ ˙

作者: 39475494 時間: 2015-7-31 18:44

題目有錯??
44133122 發表於 2015-7-31 16:12

筆誤就一堆 = 要改成 +

作者: 42445888 時間: 2015-7-31 18:46

回復 5# 39475494

害我看了那麼久~~

作者: 44133122 時間: 2015-7-31 18:51

筆誤就一堆 = 要改成 +
39475494 發表於 2015-7-31 10:44

喔喔.............

作者: 44133122 時間: 2015-7-31 18:53

(1-1)^n不是=0?

作者: 39475494 時間: 2015-7-31 18:55

本帖最後由 39475494 於 2015-7-31 18:58 編輯

(1-1)^n不是=0?
44133122 發表於 2015-7-31 18:53

是呀
但要用展開的呀

我示範給你看好了

0 = (1-1)^4 = 1^4 - 4*1^3*1 + 6*1^2*1^2 - 4*1*1^3 + 1^4
= 1 - 4 + 6 - 4 + 1

你試試用 n ....

作者: 44133122 時間: 2015-7-31 18:56

所以展開變成2^(n-1) (??

作者: 39475494 時間: 2015-7-31 19:01

所以展開變成2^(n-1) (??
44133122 發表於 2015-7-31 18:56

試試把 4 改算 n
(1+1)^n 也要做一次唷

作者: 44133122 時間: 2015-7-31 19:18

1-n+(n*(n-1))/2 +................. <(1-1)^n>
1+n+(n*(n-1))/2+..................<(1+1)^n)

作者: 39475494 時間: 2015-7-31 20:04

本帖最後由 39475494 於 2015-7-31 20:57 編輯

1-n+(n*(n-1))/2 +.................
1+n+(n*(n-1))/2+..................
44133122 發表於 2015-7-31 19:18

用 C 呀 ...還是你們沒教過這個 ?
還有，等於多少也要寫呀 ... 像舉例中的 = 0
拿 ^4 來看
C4(0) = 1
C4(1) = 4
C4(2) = 6
C4(3) = 4
C4(4) = 1

作者: 39475494 時間: 2015-7-31 20:54

給你參考一下

圖片附件: 2015-07-31_205330.png (2015-7-31 20:53, 14.92 KB) / 下載次數 7
http://bbs.61.com.tw/attachment.php?aid=1708387&k=50bd2aa60745a8717fdf6bde9d2fbeb5&t=1771318388&sid=c5533F

作者: 39475494 時間: 2015-7-31 22:35

回到原本的
雖然我範例是寫
0 = (1-1)^4 = 1^4 - 4*1^3*1 + 6*1^2*1^2 - 4*1*1^3 + 1^4
= 1 - 4 + 6 - 4 + 1
其實是希望你寫
0 = C4(0) - C4(1) + C4(2) - C4(3) + C4(4)
再試一試吧

作者: 39480818 時間: 2015-8-1 10:05

根本看不懂˙ ˙

作者: 39475494 時間: 2015-8-1 15:31

這是高中的東西

反而樓主怎麼沒反應了

作者: 42445888 時間: 2015-8-1 15:59

回復 1# 44133122

$(1-1)^{n}=C_{0}^{n}+C_{1}^{n}\times (-1)+C_{2}^{n}\times (-1)^{2}+...+C_{n-1}^{n}\times (-1)^{n-1}+C_{n}^{n}\times (-1)^{n}$
$=0$

n為偶數，所以

$C_{0}^{n}-C_{1}^{n}+C_{2}^{n}+...-C_{n-1}^{n}+C_{n}^{n}=0$

$\Rightarrow C_{0}^{n}+C_{2}^{n}+C_{4}^{n}+...+C_{n}^{n}=C_{1}^{n}+C_{3}^{n}+C_{5}^{n}+...+C_{n-1}^{n}$

作者: 44133122 時間: 2015-8-1 16:54

回到原本的
雖然我範例是寫
0 = (1-1)^4 = 1^4 - 4*1^3*1 + 6*1^2*1^2 - 4*1*1^3 + 1^4
= 1 - 4 + 6 - 4 + ...
39475494 發表於 2015-7-31 14:35

是這樣嗎
(1-1)^n=Cn(0)*1+Cn(1)*-1+Cn(2)*1+..............=0 ?

作者: 44133122 時間: 2015-8-1 16:54

這是高中的東西

反而樓主怎麼沒反應了
39475494 發表於 2015-8-1 07:31

對不起~
後來先跑去算物理了..

作者: 44133122 時間: 2015-8-1 16:55

回復 44133122

n為偶數，所以
42445888 發表於 2015-8-1 07:59

那為何會等於2^(n-1)?

作者: 39475494 時間: 2015-8-1 17:55

本帖最後由 39475494 於 2015-8-1 20:39 編輯

那為何會等於2^(n-1)?
44133122 發表於 2015-8-1 16:55

(1+1)^n 那組也要寫出來
然後兩個等式對一對就出來了

14# 寫的要想通唷

作者: 39475494 時間: 2015-8-1 20:36

本帖最後由 39475494 於 2015-8-4 21:48 編輯

回復 44133122
n為偶數，所以
42445888 發表於 2015-8-1 15:59

噫~ 我沒看到你這篇

n 不一定偶數唷 ...

1 4 6 4 1

1+ 6 + 1 = 4 + 4 一樣可以唷
我再舉個
1 5 10 10 5 1
1 + 10 + 5 = 5 + 10 + 1

作者: 39475494 時間: 2015-8-2 19:43

這題樓主會解了嗎?

作者: 44133122 時間: 2015-8-3 15:43

所以是他們兩邊對偁所以拿掉一半就除上2摟
可是如果是(1-1)^n那不是有可能是負的?

作者: 39475494 時間: 2015-8-3 21:19

所以是他們兩邊對偁所以拿掉一半就除上2摟
可是如果是(1-1)^n那不是有可能是負的? ...
44133122 發表於 2015-8-3 15:43

是，兩邊等值，就會 = 總值/2

這題從題目的寫法來看n 應該就是正整數了

(1-1)^n 是負的 ? 不太懂你的意思

作者: 44133122 時間: 2015-8-3 21:23

就是我19#寫的
(1-1)^n=Cn(0)*1+Cn(1)*-1+Cn(2)*1+..............=0
如果取奇數不是會變負的?

作者: 39475494 時間: 2015-8-3 21:59

就是我19#寫的
(1-1)^n=Cn(0)*1+Cn(1)*-1+Cn(2)*1+..............=0
如果取奇數不是會變負的? ...
44133122 發表於 2015-8-3 21:23

你是指 n 是奇數的話 ?

0 = (1-1)^5 = C5(0) - C5(1) + C5(2) - C5(3) + C5(4) - C5(5) = 1-5+10-10+5-1
裡面沒有負的呀

作者: 44133122 時間: 2015-8-4 20:41

Cn(1)+Cn(3)+Cn(5)+................=2^(n-1)
=- C5(1) - C5(3) - C5(5) = -16?

作者: 39475494 時間: 2015-8-4 21:01

Cn(1)+Cn(3)+Cn(5)+................=2^(n-1)
=- C5(1) - C5(3) - C5(5) = -16?
44133122 發表於 2015-8-4 20:41

老大，高中了 ....
再想想 ....

加減法的移項，國小還是國中一年級教的 ?

作者: 39475494 時間: 2015-8-4 21:20

剛才有點昏倒了

C5(0) - C5(1) + C5(2) - C5(3) + C5(4) - C5(5) = 0

你移一次給我看看

作者: 44133122 時間: 2015-8-4 21:20

哪裡有移項@@?

作者: 44133122 時間: 2015-8-4 21:24

對不起.................
看了很久還是不知道((原諒我...............

作者: 39475494 時間: 2015-8-4 21:25

本帖最後由 39475494 於 2015-8-4 21:26 編輯

哪裡有移項@@?
44133122 發表於 2015-8-4 21:20

我以為你是筆誤
那更奇怪了

Cn(1)+Cn(3)+Cn(5)+................=2^(n-1)
=- C5(1) - C5(3) - C5(5) = -16?

為什麼會冒出負號來 ?

作者: 39475494 時間: 2015-8-4 21:26

對不起.................
看了很久還是不知道((原諒我...............
44133122 發表於 2015-8-4 21:24

沒關係，慢慢來

作者: 39475494 時間: 2015-8-4 21:32

本帖最後由 39475494 於 2015-8-4 21:44 編輯

我用 n = 5 舉例
2^5 = (1+1)^5 = C5(0) + C5(1) + C5(2) + C5(3) + C5(4) + C5(5)
驗証： 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2^5 沒錯
0 = (1-1)^5 = C5(0) - C5(1) + C5(2) - C5(3) + C5(4) - C5(5)
驗証： 1 - 5 + 10 - 10 + 5 - 1 = 0 沒錯

A + B = 2^5
A - B = 0
能計算出 A , B 嗎 ?
然後再告訴我，上面的 A 是什麼，B 是什麼 ?

作者: 44133122 時間: 2015-8-4 22:03

我好像知道錯在哪了...?
(被例子搞混
因為組合本身不會有負的所以必成立
我剛剛是想成(1-1)^n
取奇數會變負的是因為它後面又乘上-1的關係........
因該是這樣吧..

作者: 39475494 時間: 2015-8-4 22:52

我好像知道錯在哪了...?
(被例子搞混
因為組合本身不會有負的所以必成立
我剛剛是想成(1-1)^n
取奇數會變負 ...
44133122 發表於 2015-8-4 22:03

看不懂你寫的
你懂了就好

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