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標題: 【數學】複數 [打印本頁]
作者: 42869207    時間: 2015-8-18 00:09     標題: 【數學】複數

本帖最後由 42869207 於 2015-8-17 17:03 編輯

大家晚安 0.0 先打個招呼
好的重要的來了 0.0

以數學歸納法証明對於任意自然數 n 及複數 z 不等於 1

1 + 2z + 3z^2 + ... + nz^n-1

=    z^-1 + nz^n - (n+1)z^n-1
     / z + z^-1 -2
作者: 26277806    時間: 2015-8-19 10:22

雖然看不懂
但還是頂一下
作者: 42869207    時間: 2015-8-19 13:08

雖然看不懂
但還是頂一下
26277806 發表於 2015-8-19 02:22



   我自己都不知道自己在寫甚麼 (X
作者: 35664048    時間: 2015-8-19 13:31

我是有學過複數  但沒學過歸納法~但這種問題我通常都是先實驗看看他所提出的結論是否屬實~
在觀察他們的規律性...
但我發現一件事 你題目有key錯嗎??
因為1 + 2z + 3z^2 + ... + nz^n-1
似乎不等於   z^-1 + nz^n - (n+1)z^n-1/ z + z^-1 -2
作者: 42869207    時間: 2015-8-19 17:07

我是有學過複數  但沒學過歸納法~但這種問題我通常都是先實驗看看他所提出的結論是否屬實~
在觀察他們的規 ...
35664048 發表於 2015-8-19 05:31



   沒Key 錯惹 0.0
可能有點亂

((z^-1) + (nz^n) - ((n+1)z^n-1))
     / (z + (z^-1) -2)


是醬沒錯 0.0
作者: 35664048    時間: 2015-8-20 09:33

本帖最後由 35664048 於 2015-8-20 03:17 編輯

喔~若是這樣1 + 2z + 3z^2 + ... + nz^n-1確實等於
((z^-1) + (nz^n) - ((n+1)z^n-1)) / (z + (z^-1) -2)

這題我感覺有點像泰勒級數...
可以試著朝這方向找答案~
本人功力還不夠~要請其他高手來解...
作者: 26277806    時間: 2015-8-20 13:07

我自己都不知道自己在寫甚麼 (X
42869207 發表於 2015-8-19 05:08



   感覺得出來
作者: 35664048    時間: 2015-8-21 20:13

z=a+bi a是實部 b是虛部
假設取前2項1 + 2z  下面的算式
((z^-1) + (nz^n) - ((n+1)z^n-1)) / (z + (z^-1) -2)

n就代2
接下來就是長除法(國中數學)
作者: 39475494    時間: 2015-8-26 18:49

本帖最後由 39475494 於 2015-8-26 18:50 編輯

左式 = 1 + 2z + 3z^2 + ... + nz^(n-1)
右式 = { z^(-1) + (nz^n) - [ (n+1)z^(n-1)] }  /  [z+z^(-1)-2 ]

當 n = 1 時
1 = [ z^(-1) + z - 2] / [ z + z^(-1) - 2] 成立

令 n = k 時成立
即
1 + 2z + 3z^2 + ... + kz^(k-1)
= [ z^(-1) + (kz^k) - (k+1)z^(k-1) ]  /  [z+z^(-1)-2 ]

當n = k + 1 時
左式 = 1 + 2z + 3z^2 + ... + kz^(k-1) + (k+1)z^k
= [ z^(-1) + (kz^k) - (k+1)z^(k-1) ]  /  [z+z^(-1)-2 ]     +     (k+1)z^k
= [ z^(-1) + (kz^k) - (k+1)z^(k-1)  +  (k+1)z^(k+1) + (k+1)z^(k-1) - 2(k+1)z^k ]  /  [z+z^(-1)-2 ]
= [z^(-1) + (k+1)z^(k+1) + (kz^k)-2(k+1)z^k - (k+1)z^(k-1) + (k+1)z^(k-1) ]  /  [z+z^(-1)-2 ]
= [z^(-1) + (k+1)z^(k+1) - (k+2)z^k]  /  [z+z^(-1)-2 ]
= 右式 (成立)
故得証

括號要加對呀
z^n-1 ≠ z^(n-1)
作者: 22169751    時間: 2015-8-26 19:08

冰語重出江湖啦!!!
作者: 47198112    時間: 2015-8-27 00:06

本帖最後由 47198112 於 2015-8-26 16:43 編輯

回復 9# 39475494

打這麼多有勞你了，但有個小瑕疵。
最後應該是：
故由數學歸納法可得知原命題在n屬於任意自然數時皆成立。
因為要多寫很多字常會懶得寫久了也就忘了寫以致於這裡被扣分。
作者: 39475494    時間: 2015-8-27 01:02

回復  39475494

打這麼多有勞你了，但有個小瑕疵。
最後應該是：
故由數學歸納法可得知原命題在n屬於任意 ...
47198112 發表於 2015-8-27 00:06

都是複制貼上，不怎麼麻煩
是呀，數學歸納法的結尾有一兩句台辭，請多加注意
我已經沒機會考那些了，而且台辭也有點忘了
作者: 35664048    時間: 2015-8-27 08:27

@@終於看到前輩了~
沒想到歸納法證明這麼簡單
我把這題想的太複雜
作者: 38025176    時間: 2015-8-27 09:44

我看不懂0.0…
作者: 47198112    時間: 2015-8-27 10:21

本帖最後由 47198112 於 2015-8-27 02:54 編輯

回復 12# 39475494
回復 1# 42869207
若題目沒限制要用什麼方法證的話，我個人不太喜歡用數學歸納法。
如果還記得當時等比級數公式怎麼證的話，我有些仿照它的做法。


令S=1 + 2z + 3z^2 + ... + nz^(n-1)......................1式
S*z=       z + 2z^2 + ... + (n-1)z^(n-1) + nz^n.........2式（同乘z）
S - S*z=[1 + z + z^2 + ... + z^(n-1)]- nz^n........1式-2式
S - S*z=[(z^n) - 1]/(z - 1) - nz^n ............等比級數公式
S(1 - z)=[(z^n)-1]/(z - 1) - nz^n...............提出S
S= - [(z^n) - 1]/[(z - 1)(z - 1)] + nz^n/(z-1).........同除-(z-1)
S=[1 - (n +1)z^n) + nz^(n + 1)]/(z^2-2z+1)............通分及乘開
S={z^(-1) - (n +1)z^(n-1) + nz^n}/[z-2+z^(-1)].........上下同除z

Q.E.D.



附註：數學歸納法其實是演繹法披著歸納法的外衣
http://math.ntnu.edu.tw/~horng/letter/8023.pdf
作者: 42869207    時間: 2015-8-30 13:58

左式 = 1 + 2z + 3z^2 + ... + nz^(n-1)
右式 = { z^(-1) + (nz^n) - [ (n+1)z^(n-1)] }  /  [z+z^(-1)-2 ] ...
39475494 發表於 2015-8-26 10:49



   谢了www (提醒都沒看到 (?



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