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標題: 【數學】高一數學 [打印本頁]

作者: 40447497 時間: 2015-9-6 15:41 標題: 【數學】高一數學

1.設P(1,-1)、Q(8,6)為坐標平面上二點，若R在直線PQ上，且3線段QR=4線段PR, 求R點坐標。
2.設三角形PQR之三頂點坐標為P(3,3)、Q(-4,4)、R(-1,5)，試求三角形PQR之外心坐標。
求解以上這兩題，謝謝

作者: 42445888 時間: 2015-9-6 16:05

回復 1# 40447497

設三角形PQR之三頂點坐標為P(3,3)、Q(-4,4)、R(-1,5)，試求三角形PQR之外心坐標

設三角形外心座標為(x,y)
(x-3)^2+(y-3)^2＝(x+4)^2+(y-4)^2.......(1)
(x-3)^2+(y-3)^2＝(x+1)^2+(y-5)^2.......(2)

整理得到

y=7x+7.....(3)
y=2x+2.....(4)

x=-1
y=0

故外心做標為(-1，0)

作者: 40447497 時間: 2015-9-6 16:30

本帖最後由 40447497 於 2015-9-6 18:24 編輯

回復 2# 42445888
我會了謝謝大大
那請問第一題該怎麼算呢？

作者: 43236094 時間: 2015-9-6 17:12

嘖嘖#ˊ_>ˋ
看來我高中完蛋了

作者: 40447497 時間: 2015-9-6 17:19

回復 4# 43236094
哈哈不會啦~你才國一而已（應該是吧？！
現在就開始擔心還太早囉加油吧！

作者: 22169751 時間: 2015-9-6 18:16

PQ水平距離=7
垂直距離亦為7
令(8,-1)為O點
做垂線MR垂直PO M(4,-1)
做垂線NR垂直QO N(8,2)
取M的X座標與N的Y座標得R(4,2)

作者: 40447497 時間: 2015-9-6 18:32

回復 6# 22169751
謝謝大大這題有兩組解
我只有算出你算的那一組而已
另外一組我不知怎算可以麻煩大大教一下嗎？感謝

作者: 22169751 時間: 2015-9-6 19:13

我先跟你確認一下答案
是(-20,-22)嗎?

作者: 40447497 時間: 2015-9-6 19:25

是的沒錯

作者: 22169751 時間: 2015-9-6 19:37

你把PQ延長
自己算算看吧
方法跟上面的一樣

作者: 40447497 時間: 2015-9-6 20:25

大概懂了謝謝
請問這種題目有別種方法嗎？

作者: 22169751 時間: 2015-9-6 20:28

可能有吧
不過我覺得我的方法應該不算太慢

作者: 38875982 時間: 2015-9-6 20:31

嘖嘖#ˊ_>ˋ
看來我高中完蛋了
43236094 發表於 2015-9-6 17:12

看來我國中完蛋了ˊ_>ˋ

作者: 40447497 時間: 2015-9-6 20:38

我一開始是用內分點性質直接帶公式進去
老實說我看你的做法看超久才看懂

作者: 22169751 時間: 2015-9-6 20:40

那招挺方便的
不過因為我不常遇到這類的題目
所以我沒記那公式

作者: 40447497 時間: 2015-9-6 20:45

確實背太多公式到最後都忘光了
正打算把你那方法學起來謝啦

作者: 39475494 時間: 2015-9-6 21:43

本帖最後由 39475494 於 2015-9-6 22:51 編輯

1.設P(1,-1)、Q(8,6)為坐標平面上二點，若R在直線PQ上，且3線段QR=4線段PR, 求R點坐標。
分析：
3線段QR=4線段PR
即
3 * QR水平距離 = 4 * PR水平距離
3 * QR垂直距離 = 4 * PR垂直距離(相似形)
PQ 水平距離 8-1 = 7
PQ 垂直距離 6-(-1) = 7

1. R 在 P Q 之間
QR水平距離 : PR水平距離 = 4 : 3
PR水平距離 : QR水平距離 = 3 : 4
PQ 水平距離 7
P  R  Q
1  a  8 比例 3 : 4
a = 4 , 例算式的話就是 a-1 = (8-1)*3/(3+4) = 3

2. R 在 P Q 之外 (PR < QR → P 的外面)
PR水平距離 : QR水平距離 = 3 : 4
PQ 水平距離 7
R  P  Q
a  1  8 比例 3 : (4-3) = 3 : 1
a = -20 , 例算式的話就是 1-a = (8-1)*3/1 = 21

水平，和垂直距離一樣都是7，比例也一樣 ...
直接用紅色數字算
a = 4 , P(1, -1)
b-(-1) = 3 , b = 2

a = -20 , P(1, -1)
-1-b = 21 , b = -22

作者: 40447497 時間: 2015-9-6 22:16

回復 17# 39475494
謝謝冰語大詳細的解析
看完之後一目了然

作者: 39475494 時間: 2015-9-7 13:11

本帖最後由 39475494 於 2015-9-7 13:18 編輯

確實背太多公式到最後都忘光了
正打算把你那方法學起來謝啦
40447497 發表於 2015-9-6 20:45

別記太多公式

大部分(90%以上)的公式不是刻意背的

而是用多熟了才記住的

我舉三角函數的公式

sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)
這個兩分鐘左右就能一起解出來了
畫個圖，一個直角三角形斜邊上再畫一個斜一點的直角三角形
然後右上角畫個倒過來的直角三角形，把整個圖畫成梯形(右上右下還都是直角的梯形)
然後推算梯形的三個邊長(上下右) 就行了

至於
sin(a-b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)

這個就是上面的，cos(b) 改成 cos(-b) ，sin(b) 改成 sin(-b)再帶回去
cos(-b) = cos(b)，sin(-b) = -sin(b)
就出來了
對了，cos(-b) = cos(b)，sin(-b) = -sin(b) 是用背的嗎 ?
不是，角度負的往下畫，y會變負的，x仍然正的
所以 sin 會變號，cos不會變號
有人是教
sin cos
++ - +
- - - +
其實連這個都不用記

cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b) 也一樣，我就不寫了

兩倍角，就是和角變的
sin(a+b) → sin(a+a)
s(a+a) = saca + casa = 2saca

半角，就兩倍角反過來 (用cos的兩倍，因為要單純剩下 s or c ，要用到 s² + c² = 1)
cos(2a) = cos(a+a) = caca - sasa = cos²a - sin²a = 2cos²a -1 = 1 - 2sin²a
cos(2a) = 2cos²(a) -1 來看
cos²(a) = [ 1+cos(2a) ] / 2
這就是半角公式了
和差化積或積化和差，就是拿和差角公式去消掉一個
s(a±b) = sacb ± casb
s(a+b) + s(a-b) = 2sacb
然後令 x = a+b , y = a-b
a = (x+y)/2 , b = (x-y)/2
sx+sy = 2s[(x+y)/2]c[(x-y)/2]
有四組，你要哪組公式就配 sin cos 和 + -
比方，你要積是 sin? sin?
就找 cos 的，然後消掉cos cos 留 sin sin
所以就是用 c(a-b)-c(a+b) 就行了

三倍角，這是我三角函數會先去背的公式
而且只會背一cos
1cos(3a) = 4cos^3 - 3cos
(台語：一塊三 = 四塊三 - 三塊)(一塊三是指$1.3元 = 一元三角)

這也不是不會証，只是計算多所以先背了
這種公式要盡量少，因為多了一定會忘

其他簡單的，哪個要先背 ?
(定義除外，其實定義也不是用背的，定義是有道理的，去理解它)

我想，應該有人會想問，每次考試都要解一次公式 ?
你想，你解了十次公式証明還會記不得嗎 ?

但是先背不好嗎 ?
是的，不好
因為你會自動省掉建立關聯性的過程
先背的公式，會有某些公式跑到思考的死角去
你的思考會漏建和這個公式的很多關聯性
但是，這是因人而異的
不背公式，就要消耗大量的思考去建立關聯性
如果你沒花功夫去研究公式的合理性，並且讓它變成你的常識
那，麻煩你把基本的背下來，至少在考試時，有觸發感覺的你能算的出來

作者: 26494292 時間: 2015-9-7 17:49

別記太多公式

大部分(90%以上)的公式不是刻意背的

而是用多熟了才記住的

我舉三角函數的公式

sin(a+b ...
39475494 發表於 2015-9-7 13:11

我國中時的數學很好...但~看了樓上的敘述...開始覺得我高一數學完蛋了......

作者: 35664048 時間: 2015-9-7 18:25

呵常來這個版就可自學高中數學了~~~

作者: 40447497 時間: 2015-9-7 19:16

回復 19# 39475494
了解中間有一大段像看羅馬文字一樣呵呵還沒教三角函數但我知道重點在後面那段
反覆看了兩三遍像內分點的畫個圖就好解了也不需要特別去背公式
我在學數學有一個很大的缺點就是明明是類似的題目但只要題目換個方向問我就不會了不會的題目直接用公式硬帶導致常常考的很差遇到一個題目應該要在聯想更多題目把它組織成一個網狀而不是只有一條一條的
我常常都會自己想這條公式是怎麼來的但我每次都得不到答案...也就常常一知半解似懂非懂這可能就是我數學差的原因吧？！
各位數學高手是怎麼讀數學的分享一下吧

作者: 40447497 時間: 2015-9-7 20:31

本帖最後由 40447497 於 2015-9-7 20:33 編輯

回復 21# 35664048
我會考完後常來這裡晃啊~
但看到我都不會自信心完全被打壓下來了
有看沒有懂...對我來說自學太困難了
需要有個神人相助點醒我哈哈

作者: 42121183 時間: 2015-9-8 00:27

這也太op了吧

作者: 44133122 時間: 2015-9-10 22:00

冰語大的方法感覺好神喔
可以圖解一下
sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)
這個兩分鐘左右就能一起解出來了
畫個圖，一個直角三角形斜邊上再畫一個斜一點的直角三角形
然後右上角畫個倒過來的直角三角形，把整個圖畫成梯形(右上右下還都是直角的梯形)
然後推算梯形的三個邊長(上下右) 就行了
這邊嗎@@

作者: 42445888 時間: 2015-9-10 22:06

本帖最後由 42445888 於 2015-9-10 22:08 編輯

回復 25# 44133122

第二條式子的證法：

圖片附件: 擷取.PNG (2015-9-10 22:06, 41.25 KB) / 下載次數 6
http://bbs.61.com.tw/attachment.php?aid=1717152&k=4dfd677108eaecf35d5be48decd09588&t=1771314087&sid=f9M9g4

作者: 40447497 時間: 2015-9-10 23:11

你們到底講了什麼@@
我有看沒有懂...

作者: 39475494 時間: 2015-9-11 09:56

本帖最後由 39475494 於 2015-9-11 09:57 編輯

回復 44133122

第二條式子的證法：
42445888 發表於 2015-9-10 22:06

這解法和我寫的
畫個圖，一個直角三角形斜邊上再畫一個斜一點的直角三角形
然後右上角畫個倒過來的直角三角形，把整個圖畫成梯形(右上右下還都是直角的梯形)
大同小異

你的圖扇形不用看，H 是 F 向左 C 向下畫
我的圖 H 點是 F 向上 C 向右畫
然後一樣△HFC 是一個直角三角形，一樣有一個角是α
晚上我回家再畫給你看

另外，這個圖一樣可以同時証明 sin(α+β) 的公式
用 CD = CH + FG

作者: 42445888 時間: 2015-9-11 16:27

回復 28# 39475494

原來在19樓就已經有了 ? 我眼殘 ??

作者: 39475494 時間: 2015-9-11 17:05

本帖最後由 39475494 於 2015-9-11 17:17 編輯

回復 39475494
原來在19樓就已經有了 ? 我眼殘 ??
42445888 發表於 2015-9-11 16:27

我沒有寫証明
我只說了這樣可以解出公式，而且不難
沒寫「証明」，是因為那會讓不難的東西看起來難

其實，這個就是畫兩個疊著的直角三角形，再畫一個輔助的三角形

要讓這個看起來不難的話，要這樣
1.先畫好圖
2.找到「要計算的邊」 1，sin(α+β) 和 cos(α+β)
3.在 β 角的直角三角形上寫 sinβ cosβ
4.在sinβ當斜邊的直角三角形上，寫出另外兩個邊 sinβsinα 和 sinβcosα
5.在cosβ當斜邊的直角三角形上，寫出另外兩個邊 cosβsinα 和 cosβcosα
6.把「要計算的邊」和那四個邊，建立加減的關係

畫圖二十秒，其他每一步十秒就夠了
2~5 都只是在做邊長 = 斜邊 *sin 或 *cos
重點是，知道怎麼畫嗎 ? 這証明過程熟嗎 ?
如果這個証明你可以想通，並且証過幾十次
這根本是很快就能導出來的公式

說真的，我不太敢叫你們別背哪些公式
因為某些人，不會去理解這些東西，解的題目又不夠多
不背公式會害死他們
我只能說，最好的情況是
這個公式我已經想通了很多次的
而且練習過很多次，熟到可以把公式輕鬆直接的寫出來

作者: 39475494 時間: 2015-9-11 18:40

1.先畫好圖
2.找到「要計算的邊」 1，sin(α+β) 和 cos(α+β)
3.在 β 角的直角三角形上寫 sinβ cosβ
4.在sinβ當斜邊的直角三角形上，寫出另外兩個邊 sinβsinα 和 sinβcosα
5.在cosβ當斜邊的直角三角形上，寫出另外兩個邊 cosβsinα 和 cosβcosα
6.把「要計算的邊」和那四個邊，建立加減的關係

附圖

圖片附件: 2015-09-11_183902.png (2015-9-11 18:39, 13.4 KB) / 下載次數 11
http://bbs.61.com.tw/attachment.php?aid=1717205&k=0d2efa2c6188fd086e97886a8f56009e&t=1771314087&sid=f9M9g4

作者: 44133122 時間: 2015-9-11 19:25

本帖最後由 44133122 於 2015-9-11 13:31 編輯

懂了,原來畫圖就行了
我們課本是用餘弦定理和距離公式証,結果要一直算,最後
只好用背的@@(不過知道怎麼來的

作者: 35664048 時間: 2015-9-11 20:16

本帖最後由 35664048 於 2015-9-11 13:48 編輯

回復 26# 42445888

我從沒想過這些公式的證明
因為只要是電機出身的
這些公式幾乎可練到反射動作就能寫出
像寫自己名字一樣容易~~

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