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標題: 【數學】高中數學 [打印本頁]

作者: 45959595 時間: 2015-9-28 18:29 標題: 【數學】高中數學

本帖最後由 45959595 於 2015-9-29 13:48 編輯

1.設f(x)=

x	x+1	2x^2+3x+3
x-1	3x	2x^2+7x
2x^2	5x-2	12x^2+10x-12

(行列式)
(1)將f(x)表示成多項式
(2)求f(x)所有實根

(OK)2. x^2+y^2+z^2-2ax-10y-18z-a^2-16a+65=0是空間中一個半徑為9的球面，a為正實數
(1)求a
(2)球此球面與平面x+4y+8z-13=0的交點座標

3.一隻螞蟻從一個正八面體上方的頂點出發，沿著正八面體的稜邊爬行。在每個頂點她會從四條稜邊中隨機選擇一條向另一個頂點前進，直到抵達下方的頂點為止。
(1)螞蟻只爬行兩條稜邊就抵達下方的頂點的機率為？
(2)螞蟻爬行三條稜邊到達下方頂點的機率為？
(3)螞蟻自上方頂點到達下方頂點的經過稜邊數的期望值為何？

(OK)4.ＡＢＣ為三角形的三內角，試證
(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2 <=9/4

作者: 43607215 時間: 2015-9-28 20:08

好複雜

作者: 35664048 時間: 2015-9-28 22:30

本帖最後由 35664048 於 2015-9-28 15:28 編輯

第4題
(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2
=(1-cos2A)/2+(1-cos2B)/2+(1-cos2C)/2
=3/2-1/2(cos2A+cos2B+cos2C)
=3/2-1/2(2cos(A+B)cos(A-B)+2(cosC)^2-1)
=2-(cos(A+B)cos(A-B)+(cosC)^2)
=2-(-cos(A-B)cosC+(cosC)^2)
=2-cosC(cosC-cos(A-B))
=2+2cosC[sin (C-A+B)/2*sin (C+A-B)/2]
=2+2cosC[sin (180-2A)/2*sin (180-2B)/2]
=2+2cosC[sin(90-A)*sin(90-B)]
=2+2cosCcosAcosB<=2+2((cosC)^3+(cosA)^3+(cosB)^3)/3<= 9/4

當A=B=C=60 有最大值~
1/2 代入cosC、 cosB、 cosA 得證

作者: 35664048 時間: 2015-9-28 23:24

本帖最後由 35664048 於 2015-9-28 15:35 編輯

第1題
如下圖
(1)乘開後化簡
(2)自己算

圖片附件: 112.jpg (2015-9-28 23:24, 22.44 KB) / 下載次數 8
http://bbs.61.com.tw/attachment.php?aid=1721934&k=8d72df56f55ae9437a5bd8aa8c487eb1&t=1771314075&sid=9bLbXO

作者: 35664048 時間: 2015-9-28 23:34

第2題 a= -8+√210 ?

其他的交給冰大或葉小釵回答了~
因為我只是來鬧的哈哈~

作者: 45959595 時間: 2015-9-29 00:04

第1題
如下圖
(1)乘開後化簡
(2)自己算
35664048 發表於 2015-9-28 15:24

應該可以直接在上面做文章
不用到乘開

作者: 45959595 時間: 2015-9-29 00:08

本帖最後由 45959595 於 2015-9-28 16:13 編輯

第2題 a= -8+√210 ?

其他的交給冰大或葉小釵回答了~
因為我只是來鬧的哈哈~ ...
35664048 發表於 2015-9-28 15:34

沒事了@@我計算錯了，這題剛好相切
A=2
點(1,1,1)

作者: 35664048 時間: 2015-9-29 08:14

應該可以直接在上面做文章
不用到乘開
45959595 發表於 2015-9-28 16:04

這題不是求矩陣的det值?

你的意思是在每格填答案??

作者: 35664048 時間: 2015-9-29 08:16

沒事了@@我計算錯了，這題剛好相切
A=2
點(1,1,1)
45959595 發表於 2015-9-28 16:08

這題的算法也麻煩說明一下~ 3Q

作者: 20282296 時間: 2015-9-29 09:55

這是高幾的..

作者: 35664048 時間: 2015-9-29 10:31

本帖最後由 35664048 於 2015-9-29 02:34 編輯

第2題
(x-a)^2+(y-5)^2+(z-9)^2
常數項 a^2+25+81=-a^2-16a+65=81
=2a^2+16a+41=81
a=2 or -10 (負不合)
a=2

第(2)小題請個益吧 ...

作者: 39418755 時間: 2015-9-29 10:38

看......不......懂......

作者: 22169751 時間: 2015-9-29 17:09

第2題 a= -8+√210 ?

其他的交給冰大或葉小釵回答了~
因為我只是來鬧的哈哈~ ...
35664048 發表於 2015-9-28 23:34

那個是葉小釵喔
我怎麼看不出來

作者: 39475494 時間: 2015-9-29 20:42

本帖最後由 39475494 於 2015-9-30 00:24 編輯

3.一隻螞蟻從一個正八面體上方的頂點出發，沿著正八面體的稜邊爬行。在每個頂點她會從四條稜邊中隨機選擇一條向另一個頂點前進，直到抵達下方的頂點為止。
(1)螞蟻只爬行兩條稜邊就抵達下方的頂點的機率為？
(2)螞蟻爬行三條稜邊到達下方頂點的機率為？
(3)螞蟻自上方頂點到達下方頂點的經過稜邊數的期望值為何？

(1) 只爬兩條，那就是第一條隨便，第二條要選對 .... 1/4

(2) 爬三條呀，那就是第一條隨便，第二條要選左或右，第三條要選下 ... (2/4)(1/4) = 1/8

(3) 這個才是問題吧 ....
上 ←→ 中 ←→ 下
上 → 中　機率 = 1
中 → 上　機率 = 1/4
中 → 中　機率 = 1/2
中 → 下　機率 = 1/4

令中→下的期望值 = a
因為上走一步，必然到中
所以上→下的期望值 = 上→中 + 中→下的期望值 = a+1(這之前有手誤，已修正)

中可能到上中下，中走了一步以後
中到上，機率1/4，期望值變成 a+1
中到中，機率1/2，期望值變成 a
中至下，機率1/4，期望值變成 0 (不用走了)
a = (1/4)(a+1) + (1/2)a + 0 + 1
a = a/4 + 1/4 + a/2 + 1
a/4 = 5/4
a = 5
中 → 下的期望值是 5
上 → 下的期望值是 5+1 = 6
PS : 紅色的 +1 是因為要走那紅色的一步

作者: 35664048 時間: 2015-9-29 21:26

補上圖片

第3題的(1)(2)小題我也想到了
但因機率我也是自學期望值、PDF、CDF 這塊還不太瞭解~

圖片附件: 11.JPG (2015-9-29 21:26, 7.64 KB) / 下載次數 5
http://bbs.61.com.tw/attachment.php?aid=1722587&k=64d70773a8a754d60a76c4ca528a8e36&t=1771314075&sid=9bLbXO

作者: 45959595 時間: 2015-9-29 21:39

3.一隻螞蟻從一個正八面體上方的頂點出發，沿著正八面體的稜邊爬行。在每個頂點她會從四條稜邊中隨機選擇一 ...
39475494 發表於 2015-9-29 12:42

謝謝ok了,我把它想的太複雜了

作者: 35664048 時間: 2015-9-29 21:39

上 → 中　機率 = 1 ... 上 → 中不是有四條路?

中可能到上中下，中走了一步以後
中到上，機率1/4，期望值變成 a+1
中到中，機率1/2，期望值變成 a
中至下，機率1/4，期望值變成 0 (不用走了)...不懂
前面不是令中→下的期望值 = a

請解惑~

作者: 45959595 時間: 2015-9-29 21:42

第2題
(x-a)^2+(y-5)^2+(z-9)^2
常數項 a^2+25+81=-a^2-16a+65=81
=2a^2+16a+41=81
a=2 or -10 (負不合)
a= ...
35664048 發表於 2015-9-29 02:31

球心(1，5，9)
平面法向量(1，4，8)
->令交點座標(1+t,5+4t,9+8t)，且通過平面
->t=-1，且距離剛好為9

作者: 45959595 時間: 2015-9-29 21:46

上 → 中　機率 = 1 ... 上 → 中不是有四條路?

中可能到上中下，中走了一步以後
中到上，機率1/4，期望值 ...
35664048 發表於 2015-9-29 13:39

1。四條路都通往中，不管選哪條路結果都一樣，機率為一
2。這邊的期望值當作通往下方頂點經過的稜邊數

作者: 39475494 時間: 2015-9-29 21:46

本帖最後由 39475494 於 2015-9-29 22:36 編輯

中間那四個點，完全對稱(結果完全一樣)，所以不用去分類
上到中有四條路沒錯，但結果都是到中
所以機率 = 1 呀

中→下，是指中經過 n 步後到下，n 的期望值是 a
中到上中下，是指走一步後
目標是走到下 (有點像是，運氣正常時，走到下要幾步的意思)
那既然都走到下方了，步數的期望值就變 0 了呀

作者: 45959595 時間: 2015-9-29 21:47

所以上變成a+1(多了一條上->中)
中還是a
下就不用動了

作者: 45959595 時間: 2015-9-29 21:51

想問第一題有看出什麼端倪嗎？

作者: 39475494 時間: 2015-9-29 21:51

所以上變成a+1(多了一條上->中)
中還是a
下就不用動了
45959595 發表於 2015-9-29 21:47

對的

期望值有點像是運氣正常的情況下，會多少(條)的意思
所以你可以列式，走之前的期望值 = 走一步後各種情況(機率)的期望值和 + 1
因為你討論到所有情況(並乘以機率的加權)，所以一樣是運氣正常下的變化
期望值仍然會符合

作者: 39475494 時間: 2015-9-29 22:10

想問第一題有看出什麼端倪嗎？
45959595 發表於 2015-9-29 21:51

x	x+1	2x^2+3x+3
x-1	3x	2x^2+7x
2x^2	5x-2	12x^2+10x-12

x	x+1	2x^2+3x+3
-1	2x-1	4x-3
2x^2	5x-2	12x^2+10x-12

x	1	2x²+3x+3
-1	2x	4x-3
2x²	-2x²+5x-2	12x²+10x-12

x	1	2x²+3x+1
-1	2x	-3
2x²	-2x²+5x-2	16x²-8

x	1	2x²+1
-1	2x	0
2x²	-2x²+5x-2	10x²-8

應該沒太特別的可以消吧
就這樣計算好了 ...
(x)(2x)(10x²-8)+(2x²+1)(2x²-5x+2) - (2x²+1)(2x)(2x²) + (10x²-8)
= (10x²-8)(2x²+1)+(2x²+1)(2x²-5x+2) - (2x²+1)(4x³)
= (2x²+1)(10x²-8 + 2x²-5x+2-4x³)
= (2x²+1)(-4x³+12x²-5x-6) 又 x = 2 代入 .... = 0
= (2x²+1)(x-2)(-4x²+4x+3) 2(-2) ╳ 1 3
= (2x²+1)(x-2)(2x+1)(-2x+3)

作者: 39475494 時間: 2015-9-29 22:27

本帖最後由 39475494 於 2015-9-29 22:32 編輯

還是可以化

x	1	2x²+1
-1	2x	0
2x²	-2x²+5x-2	10x²-8

x	2x²+1	2x²+1
-1	0	0
2x²	4x³-2x²+5x-2	10x²-8

(2x²+1)*

1	1
4x³-2x²+5x-2	10x²-8

= (2x²+1)(-4x³+12x²-5x-6) 又 x = 2 代入 .... = 0
= (2x²+1)(x-2)(-4x²+4x+3) 2(-2) ╳ 1 3
= (2x²+1)(x-2)(2x+1)(-2x+3)

其實也不會快多少

作者: 35664048 時間: 2015-9-30 19:13

->令交點座標(1+t,5+4t,9+8t)，且通過平面
->t=-1，且距離剛好為9

答案不就變成(0,1,1)?

作者: 39475494 時間: 2015-9-30 21:35

2. x^2+y^2+z^2-2ax-10y-18z-a^2-16a+65=0是空間中一個半徑為9的球面，a為正實數
(1)求a
(2)球此球面與平面x+4y+8z-13=0的交點座標

x^2+y^2+z^2-2ax-10y-18z-a^2-16a+65=0
x²-2ax+a² + y²-10y+25 + z²-18z+81 -a²-16a+65 -a²-25-81 = 0
(x-a)² + (y-5)² + (z-9)² = 2a²+16a+41
半徑9，所以 2a²+16a+41 = 81
2a²+16a-40 = 0
a²+8a-20 = 0
a = 2 or -10 (a 為正實數，負不合)
a = 2

(x-2)² + (y-5)² + (z-9)² = 81 和 x+4y+8z-13=0 的交點
空間中的圓方程式，要列出來應該是不太可能的
所以很有可能交一點
(2, 5, 9) 到 x+4y+8z-13=0 的距離
等同於 x+4y+8z-13=2+20+72-13=81 到 x+4y+8z-13=0 的距離
81 / √(1+16+64) = 9 距離 9 ，所以是相切沒錯 ...
切點的話 ...
設切點 (2+t , 5+4t , 9+8t)
1(2+t) + 4(5+4t) + 8(9+8t) - 13 = 0
t = -1
交點是 (1, 1, 1)

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