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標題: [【學科】] 【數學】有關畢氏定理 [打印本頁]

作者: 25300823 時間: 2016-3-21 00:02 標題: 【數學】有關畢氏定理

RT
今天寫到一題很奇怪的題目(競賽題)，看似簡單但卻讓我百思不得其解

求大神解答，感謝

已知直角三角形ABC的一條直角邊長為12√14

且另外兩邊長皆為整數

則：

(1)這樣的直角三角形有_____ 種。

(2)其中斜邊長最大值為_______。

作者: 46733194 時間: 2016-3-21 11:59

本帖最後由 46733194 於 2016-3-21 04:02 編輯

這題就用直觀的暴力法解

x^2 - y^2 = 144*14

(x+y)*(x-y) = 2^5*3^2*7

找到(x+y)與(x-y)全部的組合(a,b)，18種 (a>b)

解聯立得 x=(a+b)/2 y=(a-b)/2

符合整數解的有12組

其中最大的斜邊長為505

作者: 25300823 時間: 2016-3-23 00:53

本帖最後由 25300823 於 2016-3-23 00:59 編輯

這題就用直觀的暴力法解

x^2 - y^2 = 144*14

(x+y)*(x-y) = 2^5*3^2*7

找到(x+y)與(x-y)全部的組合(a,b) ...
46733194 發表於 2016-3-21 11:59

恩恩懂了謝謝
當時我也有分解成(x+y)(x-y) 算出有18種可能但忘了2^0的組合不合題意

作者: 39475494 時間: 2016-3-23 00:59

本帖最後由 39475494 於 2016-3-23 09:57 編輯

x=(a+b)/2 y=(a-b)/2
要能除以2，所以奇±奇或偶±偶
但有 2 的這個因數在，所以只可能偶±偶
2^5 * 3² * 7，先各拿一個 2，放在 x , y 身上
剩上 2³ * 3² * 7
(3+1)(2+1)*(1+1)/2 = 12
/2 的原因是 a, b 對調只取 a>b 一種

作者: 25300823 時間: 2016-3-23 01:07

本帖最後由 25300823 於 2016-3-23 01:13 編輯

x=(a+b)/2 y=(a-b)/2
要能除以2，所以奇±奇或偶±偶
但有 2 的這個因數在，所以只可能偶±偶
2^5 * 3² ...
39475494 發表於 2016-3-23 00:59

剛剛大略算了一下

如果先算出數對(x,y)18種組合

那麼扣掉x、y任一數的2的次方是0

這樣的組合有2*3*2=12種

但考慮x>y 所以12/2=6

18-6=12(種)

跟您的方法應該只是差在把2先取出或後取出吧
了解，謝謝您的回覆~

作者: 39475494 時間: 2016-3-23 10:01

剛剛大略算了一下

如果先算出數對(x,y)18種組合

那麼扣掉x、y任一數的2的次方是0

這樣的組合有2*3*2=12 ...
25300823 發表於 2016-3-23 01:07

是，但你這樣算，還要考慮交集連集之類的東西

這類的題目，能直接還是直接比較好

萬一題目出三個、四個呢 ?

作者: 44671905 時間: 2016-3-23 10:43

本帖最後由 44671905 於 2016-3-23 11:44 編輯

請教一個地方
解聯立得 x=(a+b)/2 y=(a-b)/2
這是怎麼來的

請解惑

作者: 25300823 時間: 2016-3-23 20:02

是，但你這樣算，還要考慮交集連集之類的東西

這類的題目，能直接還是直接比較好

萬一題目出三個、四 ...
39475494 發表於 2016-3-23 10:01

恩恩，倒是沒想過這種可能性

謝謝您

作者: 25300823 時間: 2016-3-23 20:03

本帖最後由 25300823 於 2016-3-23 20:06 編輯

請教一個地方
解聯立得 x=(a+b)/2 y=(a-b)/2
這是怎麼來的

請解惑
44671905 發表於 2016-3-23 10:43

x+y=a......(1)
x-y=b......(2)

(1)-(2)得2y=a-b

得y=(a-b)/2

將y代回任一式即得x

作者: 44671905 時間: 2016-3-24 11:43

網路上的另解

(x+y)*(x-y)=2016
x+y>45
找2016 大於45的因數共18個
扣掉奇數剩12個
斜邊邊長 (1008+2)/2=505

二個問題

x-y=1?
斜邊最大邊長為什麼這樣列

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