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標題: [【閒聊】] 【高一】數學~排列組合 [打印本頁]
作者: 40033444    時間: 2016-4-23 23:18     標題: 【高一】數學~排列組合

這次就不標出範圍
因為大考也不會給你範圍
btw
課本講的都有點不明其義的感覺
(因為有時寫太快 看不懂@@)

排列組合有4種
1.排列(P)
2.重複排列
3.組合(C)
4.重複組合(H, 課綱有改掉所以課本沒有)

要看到哪種關鍵字
就要想到用什抹
例如:

1. 8個相同杯子分給3人 有___種可能 (45)
2. 8個不同杯子分給3人 有___種可能 (6,561)
3. 8個杯子平分給甲.乙.丙.丁4人 有___種可能 (2,520)

當初在考試時
第3題寫成105-..-

&如何對付複合型題型

有3艘船 最多可載4人
4. 4人同時安全渡過有___種
5. 5人同時安全渡過有___種
6. 6人同時安全渡過有___種
7. 7人同時安全渡過有___種

8. 小明在玩翻鬼牌 其中橫向有10格 縱向有7格 20張鬼牌
且橫向.縱向均不會有連續3張鬼牌 則全數翻完後 有___種局面

以上3~8 求講解
作者: 39475494    時間: 2016-4-24 14:06

1.
八個杯子都一樣，所以相當於只在數量上去分配 ...
三個人是不同的人，就是切三分，加兩個隔板
相當於 10 個東西(杯子+隔板)裡選 2 個隔板(這樣就把八個杯子切三區了)
@@@@@@@@@@
杯杯杯杯隔杯杯隔杯杯
這樣子就是甲分4 ，乙分2，丙分2
C 10 取 2 = 45

2.
八個杯子是不同的
那每個杯子分別有自己的選擇(三種)
3^8 = 6561

3.
平分，所以每個人有兩個杯子(不能多也不能少)
那就 C 8 取 2 分給甲 ( = 28)
那就 C 6 取 2 分給乙 ( = 15)
那就 C 4 取 2 分給丙 ( = 6)
那就 C 2 取 2 分給丁 ( = 1)
28 * 15 * 6 * 1 = 2520
作者: 40033444    時間: 2016-4-24 14:11

1.
八個杯子都一樣，所以相當於只在數量上去分配 ...
三個人是不同的人，就是切三分，加兩個隔板
相當於 10 ...
39475494 發表於 2016-4-24 14:06


第3.

那和8個杯子平分成4堆有何差別
作者: 47469100    時間: 2016-4-24 14:14

本帖最後由 47469100 於 2016-4-24 06:16 編輯
第3.

那和8個杯子平分成4堆有何差別
40033444 發表於 2016-4-24 06:11



   
因為分給的人不同
甲/乙/丙/丁 4個人 不會是同一人

如果只是分4堆 不用特定分給指定的人

應該是這樣吧 (?)
作者: 40033444    時間: 2016-4-24 14:22

因為分給的人不同
甲/乙/丙/丁 4個人 不會是同一人

如果只是分4堆 不用特定分給指定的人

應該 ...
47469100 發表於 2016-4-24 14:14


謝瞜˙ ˙
作者: 39475494    時間: 2016-4-24 16:31

4~7 (4可以直接算，5 可以用扣的，6要算要扣都行， 7 直接算，用扣的會比較難)
我舉 6 人為例好了，用算的算一次，用扣的再算一次

3 船，每船最多 4 人
可以先去分配每船的數量
分配的時候要有順序，不然會漏
420 , 411 , 330, 321, 222
420 , 船有三艘
船的變化就是 3! = 6 (意思是甲4,乙2,丙0 算一種，一共有 6 種)
人的話，六個人取 4 取 2 取 0 = C64 * C22 = 15
411
船 3!/2! = 3 (甲4乙1丙1, 甲1乙4丙1, 甲1乙1丙4)
人C64*C21*C11 = 30
330
船 3!/2! = 3 (甲4乙1丙1, 甲1乙4丙1, 甲1乙1丙4)
人C63*C33 = 20
321
船 3! = 6
人C63*C32*C11 = 60
222
船 3!/3! = 1 (甲4乙1丙1, 甲1乙4丙1, 甲1乙1丙4)
人C62*C42*C22 = 90

6*15 + 3*30 + 3*20 + 6*60 + 1*90
= 90+90+60+360+90 = 690

另一種算法就算先假設船沒限制 4 人，再扣掉超過 4 的情況
船沒限制 4 人，就很容易算了

每個人都有 3 種選擇 ... 3^6 = 729
那超過 4 人的情況呢 ? 600 510 兩種
600 ，3種 .... (用手指數就行了)
510
船3! = 6 ，人6種 = 36
729 - 3 - 36 = 690
一樣算的出來

六個人的話，用扣的還是比較快
作者: 39475494    時間: 2016-4-24 16:56

嗯，分給四個人
就是不一樣的四個人
分給四堆，每堆是視為一樣的
所以題目如果改成"分四堆"，那就要再除以 4!
2520 / 24 = 105

另解
因為四堆，所以數法要有順序，不然會數到重複
順序就是(排列時的規則)
1. 同堆裡面，數字小的放前面 .....
2. 不同堆，比數字最小的那個，小的放前面
在這兩個規則之下，就不會數到重複了

12 34 56 xx → 1
12 34 5x xx → 3  (上一行*x的數量 = 1*3)  (解釋1)
12 34 xx xx → 3  (上一行*1) (解釋2)
12 3x xx xx → 15  (上一行*x的數量 = 3*5 = 15)
12 xx xx xx → 15  (上一行*1)
1x xx xx xx → 105  (上一行*x的數量 = 15*7 = 105)  
xx xx xx xx → 105  (上一行*1)

(解釋1)
12 34 56 xx → 1
12 34 5x xx → 3  (上一行*x的數量 = 1*3)  (解釋1)
x可以放 6,7,8，所以有 3 種，放6只是其中一種 ....
所以 12 34 5x xx 是 12 34 56 xx 的3倍

(解釋2)
12 34 5x xx → 3
12 34 xx xx → 3 (上一行*1) (解釋2)
x只能放5 (請看順序規則)
所以 12 34 xx xx 和 12 34 5x xx 一樣(1 倍)
作者: 39475494    時間: 2016-4-24 18:24

第八題
這題目有改過嗎 ?
可能你要先確定一下題目有沒有出錯
作者: 22169751    時間: 2016-4-24 19:24

1.
八個杯子都一樣，所以相當於只在數量上去分配 ...
三個人是不同的人，就是切三分，加兩個隔板
相當於 10 個東西(杯子+隔板)裡選 2 個隔板(這樣就把八個杯子切三區了)
@@@@@@@@@@
杯杯杯杯隔杯杯隔杯杯
這樣子就是甲分4 ，乙分2，丙分2
C 10 取 2 = 45

其實就是H3取8
這種題目能直接用H的話是最好
不然每題都用隔板這樣慢慢想會影響解題速度
作者: 39475494    時間: 2016-4-24 19:42

其實就是H3取8
這種題目能直接用H的話是最好
不然每題都用隔板這樣慢慢想會影響解題速度 ...
22169751 發表於 2016-4-24 19:24

我的看法和你相反
用隔板想才快才直覺，用 H 想不直覺
別看我用隔板寫那麼多字覺得花時間
其實，題目看到 ... 8 個同物分給 3 個人
就直接想成 10 個東西(8物+2隔板)裡面取 2 個隔板
就 C 10 取 2 了，全都直接的
作者: 40033444    時間: 2016-4-24 21:21

其實就是H3取8
這種題目能直接用H的話是最好
不然每題都用隔板這樣慢慢想會影響解題速度 ...
22169751 發表於 2016-4-24 19:24


H3取8確實有點慢@@
因為還多了換成C10取8這一步
作者: 40033444    時間: 2016-4-24 21:39

本帖最後由 40033444 於 2016-4-24 21:43 編輯
4~7 (4可以直接算，5 可以用扣的，6要算要扣都行， 7 直接算，用扣的會比較難)
我舉 6 人為例好了，用算的 ...
39475494 發表於 2016-4-24 16:31


所以
420 有3!/1!1!1!
411 有3!/2!1!
330 有3!/2!1!
321 有3!/1!1!1!
222 有3!/3!

然後人用組合
(e.g. 420: 6選4→剩下2個: 2選2)
最後把船x人 再加起來就是了^.^?
作者: 39475494    時間: 2016-4-24 21:52

H3取8確實有點慢@@
因為還多了換成C10取8這一步
40033444 發表於 2016-4-24 21:21

如果 H 練的超級熟的
我覺得用 H 也行 (不反對)

大部分的人都死在不知道何時要用 H
H 比 C 或 P 不直覺呀

情境 對應 公式，如果忘了，就死了
作者: 39475494    時間: 2016-4-24 21:59

所以
420 有3!/1!1!1!
411 有3!/2!1!
330 有3!/2!1!
321 有3!/1!1!1!
222 有3!/3!

然後人用組合
(e.g. 4 ...
40033444 發表於 2016-4-24 21:39
對

如果題目是 4 or 5 ，用扣的 ...

7 以上才用算的
作者: 39475494    時間: 2016-4-24 22:38

我多寫一點好了 ...

(x+y+z)^6
= 1x^6 + 1y^6 + 1z^6
+ 6(x^5)y + 6(y^5)z + 6(y^5)z + 6x(y^5) + 6y(z^5) + 6z(x^5)
+ 15(x^4)y² + 15(y^4)z² + 15(y^4)z² + 15x²(y^4) + 15y²(z^4) + 15z²(x^4)
+ 30(x^4)yz + 30(y^4)zx + 30(z^4)xy
+ 20x³y³ + 20y³z³ + 20z³x³
+ 60x³y²z + 60y³z²x + 60z³x²y + 60xy²z³ + 60yz²x³ + 60zx²y³
+ 90x²y²z²

看出來了沒，次方是分法，系數和是該分法的排列數
600 : 1+1+1 = 3
510 : 6+6+6+6+6+6 = 36
420 : 15+15+15+15+15+15 = 90
411 : 30+30+30 = 90
330 : 20+20+20 = 60
321 : 60+60+60+60+60+60 = 360
222 : 90

然後 x = y = z = 1 代進去 ..... 所有系數和 = (1+1+1)^6 = 3^6
所以 船最多四人條件加上去以後 ....
"420分類"以下的總合 = 690 = 總共 - "600分類" - "510分類" = 3^6 - 3 - 36
作者: 40033444    時間: 2016-4-24 22:58

如果 H 練的超級熟的
我覺得用 H 也行 (不反對)

大部分的人都死在不知道何時要用 H
H 比 C 或 P 不直覺呀 ...
39475494 發表於 2016-4-24 21:52


每種找到關鍵字後
屬於重複組合的題型
我都想成幾種品牌的飲料(相異)
倒入幾個相同的杯子(相同)

H(飲料)取(杯子) = C(兩個相加-1)取(杯子)
然後也沒多記的
作者: 40033444    時間: 2016-4-24 22:59

我多寫一點好了 ...

(x+y+z)^6
= 1x^6 + 1y^6 + 1z^6
+ 6(x^5)y + 6(y^5)z + 6(y^5)z + 6x(y^5) + 6y(z^5) ...
39475494 發表於 2016-4-24 22:38


反面思考有比較快耶
作者: 39475494    時間: 2016-4-24 23:13

每種找到關鍵字後
屬於重複組合的題型
我都想成幾種品牌的飲料(相異)
倒入幾個相同的杯子(相同)

H(飲料) ...
40033444 發表於 2016-4-24 22:58

對呀

這是你情境對應到 H 的記法
換句話說，你在記公式
不過這種方式是比較好的
只要熟了，你有情境就不太會忘，也比較不怕搞錯
但是要熟唷，不熟就糟了

不過，最怕是那種沒有情境硬記的
作者: 40033444    時間: 2016-4-24 23:26

對呀

這是你情境對應到 H 的記法
換句話說，你在記公式
不過這種方式是比較好的
只要熟了，你有情境就不 ...
39475494 發表於 2016-4-24 23:13


牌組觀念不懂的話
記也沒用吧

像前面3題
第1題就是重複組合 < 這個我知道
可是第2題當初想不到是重複排列
所以寫考卷時乾脆2個都猜45

&第3題
當初寫考卷時
我以為是分堆問題
多除了4!

不過現在至少釐清這些概念了
thank you very much -3-
作者: 39475494    時間: 2016-4-25 10:35

本帖最後由 39475494 於 2016-4-25 10:39 編輯
牌組觀念不懂的話
記也沒用吧

像前面3題
第1題就是重複組合 < 這個我知道
可是第2題當初想不到是重複排 ...
40033444 發表於 2016-4-24 23:26

其實，就是怕你們搞混呀

所以如果能用情境去列式，而不是用情境去分類然後套該類公式
這種錯誤率就會降低了

但要用情境去列式，就要一直練習情境的轉換
情境轉換習慣以後不會慢，但如果你不習慣轉換，會卡會累
作者: 44671905    時間: 2016-4-25 13:02

411
船 3!/2! = 3 (甲4乙1丙1, 甲1乙4丙1, 甲1乙1丙4)
330
船 3!/2! = 3 (甲4乙1丙1, 甲1乙4丙1, 甲1乙1丙4)
321
船 3! = 6
這邊可以說明一下嗎 為什麼船要這樣算
330部分 不是應該甲3乙3丙0?
222部分 甲2乙2丙2?
作者: 39475494    時間: 2016-4-25 13:53

411
船 3!/2! = 3 (甲4乙1丙1, 甲1乙4丙1, 甲1乙1丙4)
330
船 3!/2! = 3 (甲4乙1丙1, 甲1乙4丙1, 甲1乙1丙4 ...
44671905 發表於 2016-4-25 13:02

對，我複製貼上忘了改後面了船視為不同
330 甲3乙3丙0、甲3乙0丙3、甲0乙3丙3
3!/2! = 3
作者: 40033444    時間: 2016-4-25 18:05

本帖最後由 40033444 於 2016-4-25 21:39 編輯
411
船 3!/2! = 3 (甲4乙1丙1, 甲1乙4丙1, 甲1乙1丙4)
330
船 3!/2! = 3 (甲4乙1丙1, 甲1乙4丙1, 甲1乙1丙4 ...
44671905 發表於 2016-4-25 13:02


同 6# 12# (詳細解法)

這裡舉222.411為例

222:
因為甲2乙2丙2.甲2乙2丙2
交換順序沒差
所以用有相同的排列
3!/3! = 1

411: 3!/1!2! = 3
作者: 46328057    時間: 2016-4-27 19:56

其實，就是怕你們搞混呀

所以如果能用情境去列式，而不是用情境去分類然後套該類公式
這種錯誤率就會降低 ...
39475494 發表於 2016-4-25 02:35



  我是高一生，看到剛剛兩位在討論C和H覺得挺有趣的！
我個人一開始都用C，後來都用H了(笑)
我想到用H都是題目去可以化成x1+x2+x3+x4...=5(類似這種)

一開始在學的時候真的很怕會搞混 弄成亂七八糟的(?
但是等到真的在練習時，能夠一題題算出來 那種感覺很爽
排組最迷人的地方就是...你可以有不同角度去想，反面做比較快，我無聊的時候也會去用正面，讓自己能有邏輯的去思考怎樣不會漏掉或多算
作者: 39475494    時間: 2016-4-27 20:33

我是高一生，看到剛剛兩位在討論C和H覺得挺有趣的！
我個人一開始都用C，後來都用H了(笑)
我想到用H都 ...
46328057 發表於 2016-4-27 19:56

嗯，如果用的熟，當然沒問題的啦
其實我寫那篇，重點在強調，情境轉換不會慢，但要練習，不然會累會卡
習慣了有很多好處，你可以想的更細微更仔細 ....

如果有注意我寫的東西的話
可能會發現，我很少寫 P 和 H

我 P 不太用，是因為沒必要， P 和情境太直覺了，直接用情境列式就好了
C 我就會很常用，因為我可以利用它表達一些概念和想法，而描述上又可以省文字
H 的話，就怕情境收不到我想表達的
作者: 40033444    時間: 2016-4-28 19:25

我是高一生，看到剛剛兩位在討論C和H覺得挺有趣的！
我個人一開始都用C，後來都用H了(笑)
我想到用H都 ...
46328057 發表於 2016-4-27 19:56


真的有比較好耶

對了
你是..萬物大帝?
作者: 40033444    時間: 2016-4-28 19:27

嗯，如果用的熟，當然沒問題的啦
其實我寫那篇，重點在強調，情境轉換不會慢，但要練習，不然會累會卡
習 ...
39475494 發表於 2016-4-27 20:33


課本把船的問題放在P那邊
不過你解完之後
再回頭看課本
覺得你講的比較仔細˙-˙b



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