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標題: [【學科】] 【物理】萬有引力 [打印本頁]

作者: 44133122 時間: 2016-5-13 16:30 標題: 【物理】萬有引力

A是同步衛星,另一衛星B繞圓形軌道位於赤道平面內,離地高度為R,已知地球半徑R,自轉速度ω=根號(g/R),且衛星B轉動方向與地球相反,當某一時刻衛星A.B相距最近,則自少經過多少時間他們再次相距最近?

作者: 22169751 時間: 2016-5-13 17:54

答案很醜??

作者: 44133122 時間: 2016-5-13 20:46

對！！
答案很醜

作者: 22169751 時間: 2016-5-13 21:38

$\frac{\frac{4\pi }{g}\sqrt{\frac{1}{2}}}{\sqrt{\frac{1}{gR}}+4\sqrt{\frac{1}{2gR}}}$
這樣對嗎??

作者: 44133122 時間: 2016-5-14 16:18

答案是這樣{8π/(4+√2)}√(R/g)
不知你那個有無辦法化成這樣?

作者: 22169751 時間: 2016-5-14 16:54

差2倍吶...

作者: 22169751 時間: 2016-5-14 17:48

本帖最後由 22169751 於 2016-5-14 19:23 編輯

分析:相距最近時，兩衛星行走的時間相同，設為t
並設衛星A的週期T1衛星B的週期T2
$\frac{t}{T_{1}}+\frac{t}{T_{2}}=1$
$t=\frac{T_{1}T_{2}}{T_{1}+T_{2}}$
由於衛星A是同步衛星週期和繞地表的衛星相同將A視為繞地表運行的衛星
列式:
衛星A: $\frac{GM}{R^{2}}=\frac{4\pi ^{2}R}{T_{1}^{2}}$ ...①
衛星B: $\frac{GM}{4R^{2}}=\frac{8\pi ^{2}R}{T_{2}^{2}}$ ...②
a=ω²R⇒ $\frac{GM}{R^{2}}=g$ ...③

③代入①得 $g=\frac{4\pi ^{2}R}{T_{1}^{2}}$
③代入②得 $\frac{g}{4}=\frac{8\pi ^{2}R}{T_{2}^{2}}$

T1= $2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$
T2= $4\sqrt{2}\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$

$\frac{T_{1}T_{2}}{T_{1}+T_{2}}=\frac{8\sqrt{2}\pi ^{2}\sqrt{\frac{R}{g}}\sqrt{\frac{R}{g}}}{2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}+4\sqrt{2}\pi \sqrt{\frac{R}{g}}}$
= $\frac{8\sqrt{2}\pi \sqrt{\frac{R}{g}}}{2+4\sqrt{2}}$
= $\frac{16\pi \sqrt{\frac{R}{g}}}{2\sqrt{2}+8}$
= $\frac{8\pi}{4+\sqrt{2}}\sqrt{\frac{R}{g}}$

作者: 44671905 時間: 2016-5-14 18:31

t/T1+t/T2=1 這個式子可解釋一下嗎

作者: 22169751 時間: 2016-5-14 19:23

t/T1和t/T2分別是各自走的圈數占1圈的比例
2個合起來剛好走1圈

作者: 39475494 時間: 2016-5-15 23:42

本帖最後由 39475494 於 2016-5-16 10:46 編輯

當某一時刻衛星A.B相距最近,則自少經過多少時間他們再次相距最近?
看到這個，就要知道要計算
A, B 的角速度 (或週期 = 繞一圈的時間)(或頻率 = 一秒鐘繞地球幾圈)
A 同步衛星，所以角速度 (wa) = 地球自轉 ω = √(g/R)
B 離地面 R ，加地球半徑 R，也就是 B 和地球中心距離 2R
F = GMm/(2R)² = (GM/R²)(m/4) = mg/4 = m(wb)²(2R)
(wb)² = g/(8R)
(wb) = √[g/(8R)] = √(1/8) √(g/R)

A 一秒繞地球 √(g/R) 徑度
B 一秒繞地球 √(1/8) √(g/R) 徑度
AB 反向繞
所以 AB 相當於一秒繞了 √(g/R) +√(1/8) √(g/R) 徑度
反過來說，AB 要繞地球一圈(即 2pi 徑度)，要 2(pi) / [√(g/R) +√(1/8) √(g/R)] 秒
2(pi) / [√(g/R) +√(1/8) √(g/R)]
= 2(pi) / {√(g/R)[1 +√(1/8) ]}
= 2(pi)√(R/g) / [1 +√(1/8)]
= [8(pi) / (4 +√2)] √(R/g)

作者: 39475494 時間: 2016-5-15 23:52

地球自轉 ω = √(g/R)
題目這裡其實是有問題的
ω = 2(pi) / T

√(g/R) = √[9.8/6371000] = 1/806 = 2(pi) / 5066
這樣的話 T = 5066 (秒)
不過地球自轉大約 86400

所以 ω = √(g/R) 是很奇怪的設定
反過來想 ...
ω = √(g/R) → ω²R = g
可是 ω²R 是向心加速度
這樣的話，東西放在地表會浮在空中耶
其實應該是 ω²R < g 才對 (才會往下墜)

作者: 44133122 時間: 2016-5-16 20:11

分析:相距最近時，兩衛星行走的時間相同，設為t
並設衛星A的週期T1衛星B的週期T2

由於衛星A是同步衛星週 ...
22169751 發表於 2016-5-14 09:48

原來是這樣算@@
我有把周期算出來可是不知怎算時間,哈哈

作者: 44133122 時間: 2016-5-16 20:13

地球自轉 ω = √(g/R)
題目這裡其實是有問題的
ω = 2(pi) / T

√(g/R) = √[9.8/6371000] = 1/806 = 2(p ...
39475494 發表於 2016-5-15 15:52

為何會浮空阿
不是F=mω²R = mg
所以ω²R = g嗎

你說的這個好像跟我另一題有點像,本來也要放上來問

作者: 39475494 時間: 2016-5-16 21:54

F = mω²R
這是向心力
如果 R 是地球半徑，那這個向心力是地表的向心力
F = mg
這是重力
如果 ... mω²R = mg (即 ω²R = g)
地表向心力 = 重力 ...表示什麼 ?
東西放在地表，會浮在空中呀
如果 ω²R > g 呢 ?
物體會往空中飛(上升)，然後在在某個高度飛
不過考題不會考這樣，因為空氣阻力和風會破壞這個情況
如果 ω²R < g 呢 ?
那才會往下掉 ....

作者: 44133122 時間: 2016-5-16 22:19

F = mω²R
這是向心力
如果 R 是地球半徑，那這個向心力是地表的向心力
F = mg
這是重力
如果 ... mω²R ...
39475494 發表於 2016-5-16 13:54

對欸!
忘記只要重力等於向心力就會做圓周運動
那懂了謝喽

作者: 39475494 時間: 2016-5-17 10:03

實際上，地球的現狀
半徑R = 6371000 m
質量M = 5.972 * 10^24 公斤
G = 6.67 × 10^(−11)  Nm²kg^(-2)
地球自轉週期一天左右 = 86400 秒

先算 g 給你看
重力 = mg = GMm/R²
g = GM/R² = 6.67 × 10^(−11)  * 5.972 * 10^24 / 6371000²  (N/kg = m/s²)
= 9.81
但事實上，因為地球自轉
物體受重力向下，還有運動方向改變所需要的向心力也是向下
所以地表的東西，一部份的重力會被拿去當向心力用
這個向心力不大(mw²r)，最大的地方在赤道 r(旋轉半徑) = R(地球半徑) 時
向心加速度a = w²R
w = 2(pi)/T = 6.28/86400 (rad/s)
a = (6.28/86400)² *  6371000 = 0.03366 很小 ...

自由落體的加速度，其實會被自轉給降低了
地表的東西，一小部份的重力會被拿去當向力力，但並不多
一般不會考慮進去 ( 0.3366 << 9.81 )
這還是在赤道的時候

但這題，自轉速度ω=根號(g/R)
這就給的太多了 .... a = w²R = (g/R)R = g ....
他把地球自轉的速度設的太快了
這不是實際上地球的情況

作者: 35576813 時間: 2016-5-21 18:01

回復 1# 44133122

這好像是基測題目XD
但是算式很多XDDD

作者: 39475494 時間: 2016-5-22 15:55

算式多 ?
考試和解說是不一樣的
解說用的文字和算式，會是考試的幾倍之多
這題考試的話
A : 角速度wa = √(g/R)
B :
GMm/(2R)² = mg/4 = m(wb)²(2R)
(wb)² = g/(8R)
(wb) = √[g/(8R)] = √(1/8) √(g/R)

相遇的週期 = 2pi / (wa + wb)
= 2(pi) / [√(g/R) +√(1/8) √(g/R)]
= 2(pi) √(R/g) / [1 +√(1/8)]
= [8(pi) / (4 +√2)] √(R/g)
這樣解答，還算寫的很仔細了

作者: 39475494 時間: 2016-5-22 15:58

其實只用到兩個 ....

GMm/(2R)² = mg/4 = m(wb)²(2R)
相遇的週期 = 2pi / (wa + wb)

其他都是計算

角速度wa = √(g/R) 是題目給的已知

回答寫的多，是希望你們把思維融會情境
這才是解題關鍵
所有的列式、公式，都是有道理的
因為道理，才去列這個式子

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