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標題: [【學科】] 【數學】TRML模擬試題 [打印本頁]
作者: 22169751    時間: 2016-5-13 16:55     標題: 【數學】TRML模擬試題

本帖最後由 22169751 於 2016-6-3 18:05 編輯

1.已知x,y均為整數，且滿足，試求x+y之值有幾種可能。

2.已知非負實數x,y,z滿足x+y+z=1，試求2xy+yz+2zx的最大值。

3.六張不同的卡片上分別有數字2、2、4、4、6、6，從中取出三張，試求這三張所寫的卡片可作為三角形三邊長的機率。

4.已知正整數a,b,c滿足1<a<b<c,a+b+c=111,b²=ac，試求b之值。

5.在銳角ΔABC中，已知√3tanAtanB-tanA-tanB=√3且c=2，試求a²+b²的範圍。

6.已知關於x的方程式x²-4xlog2 a+3(log2 a)²=0的兩根分別屬於區間(1,3)與(6,∞)，試求實數a的取值範圍。

7.在ΔABC中，已知a=5,b=4,cos(A-B)=，試求ΔABC的面積。

8.在ΔABC中，已知=，D為邊上的中點，⊥於點E，與交於點P，若=3,=1，試求之值。

9.假設實數a,b滿足，試求之值。

10.試求所有的自然數n，使得為一個自然數的平方。

這份題目我寫了一個小時沒解出半題

有興趣的自己試試看吧

答案視作答情況公布

先公布答案型式(Ⓧ表示0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，-，±其中一個，如-2√3會以ⓍⓍ√Ⓧ呈現)

被解出來的題目就以數字顯示
1.Ⓧ
2.
3.
4.36
5.<a²+b²≦Ⓧ
6.Ⓧ<a<Ⓧ
7.
8.√2
9.8
10.12
作者: 42445888    時間: 2016-5-13 17:08

回復 1# 22169751


    所以...是有答案但做不出來 ?
作者: 23037298    時間: 2016-5-13 17:10

回復 2# 42445888


   基本上比賽當天就會公布出來......
作者: 23037298    時間: 2016-5-13 17:14

回復 1# 22169751


   我想問大大為何要放這題目上來
官方都有出版相關書籍
作者: 22169751    時間: 2016-5-13 17:18

本帖最後由 22169751 於 2016-5-13 17:20 編輯
回復  22169751


   我想問大大為何要放這題目上來
官方都有出版相關書籍
23037298 發表於 2016-5-13 17:14

這是我們數研社的題目
官方是不是有出版類似的書我不清楚
反正就放上來交流一下
版規好像也沒規定說不能
作者: 23037298    時間: 2016-5-13 17:20

回復 5# 22169751


九九文教基金會有出
今年比賽今天開始報
個人覺得不要放上來比較好....不是板規問題
作者: 22169751    時間: 2016-5-13 17:21

本帖最後由 22169751 於 2016-5-13 17:23 編輯
回復  22169751


九九文教基金會有出
今年比賽今天開始報
個人覺得不要放上來比較好....不是板規問題 ...
23037298 發表於 2016-5-13 17:20

題目有重複到??
回復  22169751


    所以...是有答案但做不出來 ?
42445888 發表於 2016-5-13 17:08

是我做不出來
閣下有興趣的話可以試試
作者: 23037298    時間: 2016-5-13 17:23

回復 7# 22169751


不會但那畢竟是出版物，有版權表示

還有那是15人20分鐘的題
不會解正常但基本上應該要會解一到兩題(如果是高二的話
作者: 22169751    時間: 2016-5-13 17:27

回復  22169751


不會但那畢竟是出版物，有版權表示

23037298 發表於 2016-5-13 17:23

那這樣的話
很多把題目放到這論壇上問的人也都觸法
坊間講義 參考書.......等等也都有版權的
作者: 23037298    時間: 2016-5-13 17:28

回復 9# 22169751


      這只是我的小疑慮而已，但我覺得放上來問就已經失去你要挑戰的目的
作者: 22169751    時間: 2016-5-13 17:32

本帖最後由 22169751 於 2016-5-13 17:35 編輯

解不出來也沒辦法
只是想先看看解TRML的題
應該先朝那個方向去思考
如果造成閣下不悅
閣下表示一聲
我馬上把這篇文章刪掉
作者: 23037298    時間: 2016-5-13 17:36

回復 11# 22169751


   因為我自己有比所以解法是競賽思考型
因為比賽只有20分鐘
所以做只抓自己有把握的2到3題
基本上這些都是高中範圍
所以數學不錯的人都可以解的出來
要不然硬爆也是可以的
作者: 39475494    時間: 2016-5-13 19:19

看起來好難
我撿個最簡單的做
3.六張不同的卡片上分別有數字2、2、4、4、6、6，從中取出三張，試求這三張所寫的卡片可作為三角形三邊長的機率。

2, 4, 4 → 2*2*1*3 = 12
2, 6, 6 → 2*2*1*3 = 12
4, 4, 6 → 2*1*2*3 = 12
4, 6, 6 → 2*2*1*3 = 12
(12+12+12+12)/(6*5*4) = 2/5

不能三角的
2, 2, 4 → 2*1*2*3 = 12
2, 2, 6 → 2*1*2*3 = 12
2, 4, 6 → 2*2*2*6 = 48
(12+12+48)/(6*5*4) = 3/5

2/5 + 3/5 = 1  應該沒錯
作者: 20090467    時間: 2016-5-31 23:30

本帖最後由 20090467 於 2016-5-31 15:44 編輯

10.((我懶得打特殊符號  指數以紅字表示   (別問詳細算法  有時候神猜是很好的工具
    原式變形→28*9+2n→
      28*32+2n→
      28(32+2n-8)
   
      2*2*2........的字尾必為 2.4.8.6    加上九後→1.3.7.5
      我看5比較順眼...所以從5開始  
      尾數為5的平方數   底數必為5!!!
      先從5的平方開始  25-9=16→2的4次方
      帶入n-8    =4........n=12   
      以上是國2生20分鐘的結果

等等~答案有幾個   題目為試求所有   答案欄只是個2位數?(雖然經過粗略估計後沒有其他答案
作者: 35664048    時間: 2016-6-1 09:52

本帖最後由 35664048 於 2016-6-1 02:32 編輯

第10題 用乘法公式可以解出來 (a+b)^2
第7題 題目雖短短一行 但真的很難 答案是10√63/8
作者: 46733194    時間: 2016-6-1 14:16

本帖最後由 46733194 於 2016-6-1 06:19 編輯

挑個簡單題9.題目要求 1/a^2+1/b^2 = (a^2+b^2)/(a^2*b^2) = [(a+b)^2-2*a*b]/(a^2*b^2)


展開聯立方程
a^2*b^2+a^2+b^2+2*a*b=40     _1
(a+b)^2+a^2*b^2=40     _1
a*b+a+b=8      _2
a*b=8-(a+b)       _2
_2 代入 _1
(a+b)^2+[8-(a+b)]^2=40
(a+b)^2+64-16*(a+b)+(a+b)^2=40
(a+b)^2-8*(a+b)+12=0     


令a+b=x
x^2-8*x+12=0
x=a+b=2 or 6
(a+b , ab)=(2,6) or (6,2)


代回所求得
-2/9 or 8
因為所求恆為正
所以解為 8
作者: 44671905    時間: 2016-6-1 15:41

想問一下 2, 4, 4 → 2*2*1*3 = 12
             4, 4, 6 → 2*1*2*3 = 12

還有分母為什麼是6*5*4
作者: 40033444    時間: 2016-6-1 21:55

想問一下 2, 4, 4 → 2*2*1*3 = 12
             4, 4, 6 → 2*1*2*3 = 12

還有分母為什麼是6*5*4 ...
44671905 發表於 2016-6-1 15:41


分母是全部的事件n(S)
6選3.順序有差
(即446.446 算2種 → P6取3=6!/3!)
作者: 46733194    時間: 2016-6-2 11:31

本帖最後由 46733194 於 2016-6-2 03:37 編輯

把第十題用通式及直覺來解題

首先考慮 n的大小
第一種情形 n<8
原式 = 2^n*[2^(8-n)+2^(11-n)+1]
第二種情形 n≧8
原式 = 2^8*[1+2^3+2^(n-8)]

然而依答案格式，推出答案為兩位數，符合第二種情形


原式 = 2^8*[1+2^3+2^(n-8)]
2^8 = (2^4)^2 為平方數，即僅考慮 [1+2^3+2^(n-8)] 為何數之平方
[1+2^3+2^(n-8)] = [9+2^(n-8)] = [3^2+2^(n-8)]
未算先猜，滿足直角三角形三邊長 (3, 4, 5)
3^2+2^(n-8) = 5^2
2^(n-8) = 4^2 = 2^4
n = 12 為所求
作者: 35664048    時間: 2016-6-2 16:05

本帖最後由 35664048 於 2016-6-3 22:42 編輯

第1題   左右各乘(1/x-1/y)  
(1/x^4-1/y^4)左右對消
1=-2/3(1/x-1/y)
-3/2=y-x/xy
-3xy=2y-2x
-6x+9xy+6y=0
(3x+2)(3y-2)=-4
(-2,1) or (-1,2)
x+y =-1 or 1
作者: 35664048    時間: 2016-6-2 16:21

第2題 x+y+z=1 ； 2xy+yz+2zx

2x(y+z)+yz
=2x(1-x)+((y+z)/2)^2
=2x-2x^2+((1-x)/2)^2
=2x-2x^2+(1-2x+x^2/4)
=-7/4x^2+3x/2+1/4
=-7/4(x-3/7)^2+4/7
max值 4/7
作者: 40033444    時間: 2016-6-2 22:29

本帖最後由 40033444 於 2016-6-3 20:02 編輯

4.已知正整數a,b,c滿足1<a<b<c,a+b+c=111,b²=ac，試求b之值。

令a=b/r c=br
又c>b>a *更正: 又c>b>a>1
故r>1.r為有理數(無理x整數=無理)
同時b<37 (等比中項在r不為1時<平均)

b=36 → b/r + b + br = 111
b+(b-111)r+br² = 0
36 - 75r + 36r² = 0
r=3/4 or 4/3 (r>1)
a=27 b=48
作者: 44671905    時間: 2016-6-2 23:14

22樓答案一定是錯的 因為b^2不等於ac
這題應該是等比級數
作者: 22169751    時間: 2016-6-2 23:18

22樓答案一定是錯的 因為b^2不等於ac
這題應該是等比級數
44671905 發表於 2016-6-2 23:14

他只是把c打成b而已
作者: 44671905    時間: 2016-6-2 23:26

本帖最後由 44671905 於 2016-6-3 00:44 編輯

沒仔細看
但我發現 a=1 b=10 c=100 也符合
所以答案有2個?
作者: 35664048    時間: 2016-6-3 13:03

第8題 連PC  根據SAS
BP=CP
CE=√8

△APE∽△BCE
AE:1=4:√8
AE=√2
作者: 22169751    時間: 2016-6-3 18:05

沒仔細看
但我發現 a=1 b=10 c=100 也符合
所以答案有2個?
44671905 發表於 2016-6-2 23:26


1<a<b<c
作者: 40033444    時間: 2016-6-3 19:09

我從36~30就不想算惹@@
作者: 40033444    時間: 2016-6-3 20:04

沒仔細看
但我發現 a=1 b=10 c=100 也符合
所以答案有2個?
44671905 發表於 2016-6-2 23:26


我感覺昨天不是算得很仔細
昨天沒把10踢掉
作者: 44671905    時間: 2016-6-4 06:39

先不看1<a<b<c
有3組數列 符合 b²=ac  a+b+c =111
還有1組是 37 37 37
作者: 40033444    時間: 2016-6-4 18:04

先不看1
44671905 發表於 2016-6-4 06:39


說真的
那個a=1 b=10 c=100我還真的沒想過



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