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標題: [【學科】] 【數學】高二數學-段考題2 [打印本頁]

作者: 22169751 時間: 2016-5-24 23:47 標題: 【數學】高二數學-段考題2

本帖最後由 22169751 於 2016-5-24 23:50 編輯

假設A、B、C均為二階方陣，I是2階單位方陣，det(ABC)≠0，則下列各敘述何者正確?
(1)若AB=AC，則B=C
(2)若ABC=I，則 $(AB)^{-1}=C$
(3) $(A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}$
(4) $(A+A^{-1})^{2}=A^{2}+(A^{2})^{-1}+2I$
(5)det(2A)=2det(A)

A: (1)(2)(4)

(1)(4)求解說

順便問一下這種題目難道就只能假設A假設B然後慢慢計算??

作者: 44671905 時間: 2016-5-25 08:55

本帖最後由 44671905 於 2016-5-25 01:15 編輯

(1)矩陣定理
(4)(A+A^-1)^2
=A^2+AA^-1+A^-1A+(A^-1)^2 A*A^-1=I (單位矩陣)  ， A^-1*A=I (單位矩陣)

矩陣有幾個性質
比如交換律不成立AB≠BA (特殊情形除外)
   消去率不成立AB=AC B≠C (特殊情形除外)

作者: 22169751 時間: 2016-5-25 22:09

好個特殊情況除外!!!

作者: 27942579 時間: 2016-5-25 22:15

detA不等於零的時候

AB=AC，B=C 就會成立了

這個...我是舉例看的啦，不過也不難舉

作者: 39475494 時間: 2016-5-27 19:18

4# 講的是對的

這類的東西
你要先想清楚，陣列和一般數字運算有哪些不一樣的地方

有空再聊這些吧 (最近超忙)

作者: 39475494 時間: 2016-5-30 17:01

非方陣(m≠n)的矩陣有行列不等的問題
A : m*n 矩陣
B : n*m 矩陣
A*B 為 m*m
B*A 為 n*n
本身就不相同了
先講這個是因為，下面只討論方陣的情況
我先強調，非方陣還要考慮 m≠n 這種情況

首先
A + B = B + A
這個很容易理解
只要 A 和 B 都是相同的 m*n 即可

(A*B)*C = A*(B*C) = D
這比較難
你可以解析一下
比方三階方陣
D11 = (A11B11 + A12B21+A13B31)C11
+ (A11B12 + A12B22+A13B32)C21
+ (A11B13 + A12B23+A13B33)C31
= A11 * (B11C11 + B12C21 + B13C31)
+ A12 * (B21C11 + B22C21 + B23C31)
+ A13 * (B31C11 + B32C21 + B33C31)
這樣就可以看出來 (A*B)*C = A*(B*C)

但是C = A*B ≠ B*A = D，就算方陣也一樣 ..... (我舉二階例)
因為 C11 = A11B11 + A12B21 , D11 = B11A11 + B12A21
A12*B21 一定會等於 B12*A21嗎 ? 當然不會呀
所以，重點來了
AB≠BA -> 矩陣相乘，放位要一致，這很重要 ...

再來看 A^(-1) 逆矩陣
這個，應該有教過算法
不過，逆矩陣不一定存在，存在的叫可逆矩陣
判斷可不可逆，就是用 det(A)≠0 來看
兩個想法
一個，逆矩陣的計算方式，分子必然可算，但分母 det(A) 如果 = 0 ，那就不用算了
另一個，A * A^(-1) = I ，det(A) * det(A-1) = det(I) = 1
det(A) 如果 = 0，那也不用玩了
所以 det(A) = 0 → 不可逆
如果不可逆 → det(A) = 0

這些觀念有了的話
回來看題目

det(ABC)≠0 → det(A) det(B) det(C) ≠ 0
det(A)≠0, det(B)≠0, det(C)≠0
即 A-1 B-1 C-1 存在  (A-1 為 A 的逆矩陣之意，我懶得打了)

AB=AC ，且 A-1 存在
等號兩邊的前面同乘以 A-1 亦相等 (請注意順序，前面說過，乘以矩陣，放位要一致)
A-1(AB) = A-1(AC)
(A-1A)B = (A-1A)C
B = C
對的

ABC = I ，且 det(AB) = det(A)det(B) ≠ 0 ，即 (AB)-1 存在
等號兩邊同乘上 (AB)-1 放在最前面(要一致)
(AB)-1 * ABC = (AB)-1 * I
(AB)-1 * (AB) * C = (AB)-1
C = (AB)-1 也出來了

(A + B)-1 = A-1 + B-1
嗯，隨便帶數字試就知道不對了

(A+A-1)²
= (A+A-1) (A+A-1)
= A * A + A * A-1 + A-1 * A + A-1 * A-1
= A² + I + I + (A-1)²

(A-1)²  = (A²)-1 * A² * (A-1)²
= (A²)-1 * AA(A-1)(A-1)
= (A²)-1 * AI(A-1)
= (A²)-1 *  A(A-1)
= (A²)-1

所以  A² + I + I + (A-1)²
= A² + 2I + (A²)-1

這樣就証完了 ....

作者: 32194423 時間: 2016-7-11 02:45

這大學後都忘光光了...

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