Discuz! Board - Powered by Discuz! Board

標題: [【學科】] 【數學】高中數學 [打印本頁]

作者: 45959595 時間: 2016-6-13 15:33 標題: 【數學】高中數學

1.

lim 3[tan(5x) - 5x ]/ x^3
x→0

作者: 39475494 時間: 2016-6-13 19:32

把 5x 當 x (懶的算5倍，動 x³ 比較快)
f(x) = 3(tanx - x)
微一次 → f'(x) = 3(sec²x - 1) → f'(0) = 0
微二次 → f''(x) = 3(2sec²xtanx) = 6sec²xtanx → f''(0) = 0
微三次 → f''(x) = 6[h(x)tanx + (secx)^4] → f'''(0) = 6
g(x) = (x/5)³
g'''(x) = 6/5/5/5 = 6/125
lim(x->0) f(x)/g(x) = 6/(6/125) = 125

作者: 39475494 時間: 2016-6-13 19:43

這叫羅必達法則 (路邊攤法則)
這個法則其實很好理解 ....
當 x -> 0 時，分子、分母也都 -> 0 時
這時候，可以用一個技巧
分子/分母 = [(分子-0)/△x] / [(分母-0)/△x] = 分子的斜率 / 分母的斜率 (其中 △x -> 0)
還是 0 的話，繼續 (... - 0)/△x

作者: 45959595 時間: 2016-6-13 21:51

這叫羅必達法則 (路邊攤法則)
這個法則其實很好理解 ....
當 x -> 0 時，分子、分母也都 -> 0 時
這時候 ...
39475494 發表於 2016-6-13 11:43

只有當 x -> 0 時，分子、分母也都 -> 0 時
能使用羅必答??

作者: 39475494 時間: 2016-6-13 23:10

本帖最後由 39475494 於 2016-6-13 23:14 編輯

只有當 x -> 0 時，分子、分母也都 -> 0 時
能使用羅必答??
45959595 發表於 2016-6-13 21:51

那就請你想一想了
其實x→a，分子f(a)=0，分母g(a)=0，也行啦
f(a)=∞，g(a)=∞也行
上面簡略的過程，不被 x→? 影響

作者: 44671905 時間: 2016-6-14 10:08

分母微三次挺容易的
但分子微三次是大工程- -
(若三角函數不是這麼熟的微二次就GG了)

作者: 45959595 時間: 2016-6-14 11:20

本帖最後由 45959595 於 2016-6-14 03:21 編輯

另外想請教這兩題
題目都看不太懂了。。

圖片附件: 論壇.jpg (2016-6-14 11:17, 95.18 KB) / 下載次數 7
http://bbs.61.com.tw/attachment.php?aid=1770718&k=4472359f0bfa681e06cf9ba8084739e8&t=1771314067&sid=YsRDel

作者: 44671905 時間: 2016-6-14 11:20

本帖最後由 44671905 於 2016-6-14 03:42 編輯

順便問一下
6[h(x)tanx + (secx)^4] → f'''(0) = 6

h(x)指2sec^2tan?

作者: 45959595 時間: 2016-6-14 11:32

h是2(sec)^2 x tan. 吧

作者: 44671905 時間: 2016-6-14 15:59

to #7
14 x直接代0.75算到千分之一

15 微分sinx/7+cosx

作者: 39475494 時間: 2016-6-14 19:21

14.
若對於任意正數 ε ，總存在一正數 δ ，這時對於所有滿足 0 < | x - xo | < δ 的 x 來說
| f(x) - L | < ε 恆成立，則我們稱L為函數 f(x) 在當點 x 趨近 xo 時的極限
並記為 lim ( x→xo )：f(x) = L

那 lim (x→1) : 4+x-3x³ = 2
若對於 ε=0.75 ，總存在一正數 δ ，這時對於所有滿足 0 < | x - 1 | < δ 的 x 來說
| 4+x-3x³ - 2 | < 0.75 恆成立

|3x³-x-2| < 0.75
3x³-x-2 = 3(x-1)³ + 9(x-1)² + 8(x-1)
那你就解 |3m³ + 9m² + 8m| = 0.75
此 m = x-1 → | 4+x-3x³ - 2 | = 0.75 → | 4+x-3x³ - 2 | < 0.75 會不成立
然後找最靠近 0 的 m，那就表示 0 < |x-1| < |m| 是使 | 4+x-3x³ - 2 | < 0.75 恆成立的

其實解 3m³ + 9m² + 8m = 0.75 就好了
看的出來， m 如果負的，或 3m³ + 9m² + 8m 負的，解到的 m 離 0 是更遠的

對了，這題有答案嗎 ?

作者: 39475494 時間: 2016-6-14 19:27

15. 微分應該不難吧 ?

[sinx/(7+cosx)]'
= [cosx(7+cosx) + sinxsinx] / (7+cosx)²
= (1+7cosx) / (7+cosx)²

作者: 44671905 時間: 2016-6-14 19:39

14.的英文敘述好像沒這麼複雜~
不知這是微積分的那個定理~~

作者: 45959595 時間: 2016-6-14 22:32

本帖最後由 45959595 於 2016-6-14 14:49 編輯

14題我用牛頓法去求逼近值

假設x_0為f(x)=0的近似值，先取一逼近值，此題我取0
過(x_0,f(x_0))的切線為y-f(x_0)=f'(x_0) (x_1-x_0)
此切線與x軸的交點為(x_1,0)
X_1=x_0 - f(x_0) / f'(x_0)
x1會更接近近似值

所以f(m)=3m^3 +9m^2 +8m-0.75
f'(m)=9m^2+18m+8
因為m越小，f'(m)越接近8，而f(m)會超級小
f(m)/f'(m)這項就沒甚麼意義了，可藉此求出千分位的值只是這個方法要搭配計算機，我逼近了四次
我求出m約0.0853欸，應該沒錯

另外15題是我看不懂英文。。不好意思@@

作者: 45959595 時間: 2016-6-14 22:37

本帖最後由 45959595 於 2016-6-14 14:47 編輯

還有我可以把題目理解成
當x趨近於1，代入左式，得出來的值要和右邊的2誤差值在0.75以內
這樣子嗎???
上面的解釋有點難，看了好久

作者: 44671905 時間: 2016-6-15 07:15

其實不需要慢慢疊代網路上有很多軟體都可算3次方程式...

作者: 45959595 時間: 2016-6-15 07:24

這題是作業題，我不曉得可以開放到什麼程度

作者: 39475494 時間: 2016-6-15 10:21

本帖最後由 39475494 於 2016-6-15 10:23 編輯

8#9# 對，h(x) 就是那樣
不過後面 * tanx ，tan0 = 0 ，前面就懶得算了
微三次也要停了，分母微三次就非 0 的常數了

13# 那是 lim 的定義 (題目有寫 the definition of limit)
高三就教呀，當年我是大一才學的，而且就我所知，教不教還得看學校和科系的

15#
其實就像定義寫的呀
對滿足 0 < | x - 1 | < δ 的 x，| 4+x-3x³ - 2 | < 0.75 恆成立
然後找 δ 的最大符合情況
那令 m = x - 1
對滿足 0 < |m| < δ 的 m，|3m³ + 9m² + 8m| < 0.75 恆成立，可以這樣看，對吧 ?
想像一下
|m| 從 0+ 開始代入，慢慢加大 ...
|m| 大到某個值時，|3m³ + 9m² + 8m| < 0.75 不成立了
那個值就是 δ
|3m³ + 9m² + 8m| < 0.75 不成立，而那又是一個連續的函數
成立 -> 不成立的邊界在 |3m³ + 9m² + 8m| = 0.75
所以 δ 是 |3m³ + 9m² + 8m| = 0.75 的其中一個根加 | |，而且是第一個遇到的 |根|

作者: 45959595 時間: 2016-6-15 10:45

恩，我懂
那求解的話你有什麼好方法嗎???
還是只能用計算機，牛頓法是可以用手算就是了

作者: 44671905 時間: 2016-6-15 11:55

http://www.wolframalpha.com/

3秒內幫你算出答案...

作者: 39475494 時間: 2016-6-15 12:29

小數下三位呀
我沒有耶
如果是我的話，我會寫個程式跑計算

作者: 39475494 時間: 2016-6-15 17:36

3m³ + 9m² + 8m = 0.75

如果考試時算這題
我會先算 0.75/8 約= 0.09
然後 0.75/(8+9*0.09) 約= 0.0852
然後在附近找答案 ....

呃 ~ 他小數下三位還蠻剛好的耶

然後 0.0855 試一下就知道要進入還是捨去 ....

歡迎光臨 Discuz! Board (http://bbs.61.com.tw/)