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標題: [【學科】] 【問題】橢圓 [打印本頁]

作者: 44671905 時間: 2016-6-16 09:49 標題: 【問題】橢圓

本帖最後由 42445888 於 2016-6-21 19:38 編輯

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作者: 39475494 時間: 2016-6-17 11:46

這題應該不難解吧 ?
用極座標去積分應該比較快

對了，有答案嗎 ?

作者: 44671905 時間: 2016-6-18 07:35

4ab*arcsin(a/ √(a^2+b^2)

作者: 39475494 時間: 2016-6-18 15:51

相交是取交集吧
我算是4ab*arctan(b/a)
也就是4ab*arcsin(b/√...)
對了，這題壓y方向→圓形
面積算出來再放回去，很好算
45度壓了會變幾度是key

作者: 44671905 時間: 2016-6-18 16:20

我也不確定正確答案
但解答過程我貼一下

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作者: 39475494 時間: 2016-6-18 16:28

本帖最後由 39475494 於 2016-6-18 16:34 編輯

a>b，還是b>a?
胖的橢圓，x的分母 → 大的數唷

作者: 39475494 時間: 2016-6-18 18:03

本帖最後由 39475494 於 2016-6-18 18:09 編輯

這題比較快的解法是
畫高瘦的橢圓(x/b)^2+(y/a)^2=1
然後y壓縮，y' = y*（b/a)，圖就變圓形x^2+y'^2=b^2
壓了以後面積也縮成(b/a)倍
本來45度角tan=1/1=1，壓了以後tanψ=(b/a)/1
ψ=arctan(b/a)
ψ度扇形面積＝ψ／(2pi) * pi * b^2
橢圓扇形面積＝（a/b)*扇＝ψab/2
兩橢圓交集面積＝8橢圓扇形＝4abψ

參考看看，這樣好解 (手機打字累呀）

作者: 44671905 時間: 2016-6-18 18:15

二橢圓相交部分所以取瘦的圓?

作者: 39475494 時間: 2016-6-20 16:52

二橢圓相交部分所以取瘦的圓?
44671905 發表於 2016-6-18 18:15

誰是邊界的方程式，就用誰呀

你都能用直角座標積出來了

這個不會想不通吧 ?

另外，可以輔助地想一下

橢圓面積是 piab = 4ab * pi/4

arctan(b/a) < pi/4 = 45° < arcsin(a/√(a²+b²)) for a>b

你的答案比橢圓面積還大
你的答案是兩楕圓連集的面積 (十字型)

作者: 44671905 時間: 2016-6-21 08:47

我貼的過程是一位NTU學生算的不是我算的...
我就是看不懂為什麼他一開始就代(x/b)^2+(y/a)^2=1 這個方程式~~

作者: 39475494 時間: 2016-6-21 10:02

那你懂寫的怎麼積那個橢圓扇形面積嗎 ?
他先 dy 再 dx
他的面積是先積 | ，然後從左到右 |||| 積出面積的

位於 x 處的 | ，其長度 = ? 這是他第一個要處理的

位於 x 處的 | ，其面積 = ? * dx，這沒問題

但將 ||||| 的面積積起來，要從 0 積到哪 ? 這是他要處理的第二個問題

第三個問題就是積分計算的能力了

他一開始在算 (x/b)²+(y/a)²=1，就是為了要算第一個問題
不過他應該去算 (x/a)²+(y/b)²=1，他寫錯了

作者: 39475494 時間: 2016-6-21 10:14

第一個問題
x 處 | 的長度
| 上面的 y 座標 = b√(1 - x²/a²)
| 下面的 y 座標 = x
所以長度 = b√(1 - x²/a²) - x

第二個問題，|||| 從 0 積到哪 ?
他是寫從 0 積到 d ，那 d = ?
算交點 ... 45度那個， x = y，d = ab/√(a²+b²)

第三個問題 b√(1 - x²/a²) - x 的積分 ...
他有寫，我就不說了 ....

作者: 44671905 時間: 2016-6-21 13:35

本帖最後由 44671905 於 2016-6-21 05:41 編輯

若代(x/b)^2+(y/a)^2 =1 是左圖
代(x/a)^2+(y/b)^2=1是右圖
乘8倍答案應該相同為什麼略有不同~~

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作者: 39475494 時間: 2016-6-21 16:06

本帖最後由 39475494 於 2016-6-21 16:08 編輯

左邊的是用 (x/a)²+(y/b)²=1 別弄錯了，胖橢圓 x/大的

你要積之前，你要先想一個問題 ...
你要一直條一直條的積，還是一橫條一橫條的積 ...
像那位 NTU 寫來看的話，他是一直條一直條 ||||| 積出來的，先dy 再 dx
用 (x/a)²+(y/b)²=1 算直條的上邊界 y = b√(1 - x²/a²)
紅色的直線一條條積過去是∫(0→d)∫(x→b√(1 - x²/a²)) dydx

藍色的話
如果你要用橫線積上去的話... 先 dx 後 dy
用 (x/b)²+(y/a)²=1 算橫條的右邊界 x = b√(1 - y²/a²)
藍色的橫線一條條積上去是∫(0→d)∫(y→b√(1 - y²/a²)) dxdy
積出來當然一樣呀

你可以想一下
藍色的如果用 ||||| 積，要怎麼積
這時才會
用 (x/b)²+(y/a)²=1 算直條的上邊界 y = a√(1 - x²/b²)
但積分的式子又不一樣了唷 ....

還有，你知道 ∫(0→d)∫(x→a√(1 - x²/b²)) dydx 會積成哪一塊面積嗎 ?

作者: 42445888 時間: 2016-6-21 19:38

回復 1# 44671905

屬性框幫你改好了，下次請注意 !

作者: 44671905 時間: 2016-6-22 12:59

∫(0→d)∫(x→a√(1 - x²/b²)) dydx 會積成哪一塊面積嗎 ?

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作者: 39475494 時間: 2016-6-22 13:22

∫(0→d)∫(x→a√(1 - x²/b²)) dydx 會積成哪一塊面積嗎 ?
44671905 發表於 2016-6-22 12:59

對，就是這個

另外，你可以試試用 ||| 去積藍的面積看看

這樣會觸發到你問的
用 (x/b)²+(y/a)²=1，而且先 dy 再 dx

作者: 44671905 時間: 2016-6-28 10:39

因為冰大的回覆
我才發現一些積分的原理我還不是很懂
我想問個問題
積分無法從線段短的部分往線段長的部分積嗎~

作者: 39475494 時間: 2016-6-28 11:47

你是指用直條 ||| 去積藍的面積嗎 ?
當然可以積呀
下緣是0，上緣比較麻煩
前面(左大塊)是 y = x，後面(右邊一點點)是 (x/b)²+(y/a)²=1
因為方程式不一樣，要分兩段積
這也是為什麼 NTU 那位不積藍色這塊，而積紅色的原因
紅色的下緣是 y = x，上緣是 (x/a)²+(y/b)²=1

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