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標題: [【學科】] 【數學】高中數學問題 [打印本頁]

作者: 23909504 時間: 2016-6-29 19:05 標題: 【數學】高中數學問題

設f((x-1)/(x-2))=(x+1)/x ,求f(x)=?

作者: 26867711 時間: 2016-7-1 00:20

猜測y=f(x)=(bx+c)/(x+a)

f((x-1)/(x-2))={[(b+c)x-(b+2c)]/(x-2)}/{[(a+1)x-(2a+1)]/(x-2)}=(x+1)/x

[(b+c)x-(b+2c)]/[(a+1)x-(2a+1)]=(x+1)/x  比對

解得a=-1/2  c=-1  b=3/2

所以y=(3x-2)/(2x-1)#

但就算知道答案  也很難正規地把(x+1)/x 化成(3A-2)/(2A-1)的形式反推回去  A=(x+1)/x

作者: 39475494 時間: 2016-7-1 13:44

令 y = (x-1)/(x-2) = 1 + 1/(x-2)
x - 2 = 1/(y-1)
x = (2y-1)/(y-1)
f(y) = (x+1)/x = (3y-2)/(2y-1)

作者: 23909504 時間: 2016-7-3 14:14

y=f(x)=(bx+c)/(x+a)跟 y = (x-1)/(x-2) 為什麼要這樣設阿

作者: 26867711 時間: 2016-7-3 20:23

y=f(x)=(bx+c)/(x+a)是猜測f(x)的算式

冰語的做法簡單而正規
y = (x-1)/(x-2)的y改用其他代數比較不會造成誤會
令t=(x-1)/(x-2) f(t) = (x+1)/x 把x轉換成t 得到 f(t)=只含t的算式即為所求

作者: 39475494 時間: 2016-7-4 21:27

是的，如布袋兄所言

如果我能解到 f(y) 的變數全轉成y → f(y) = (3y-2)/(2y-1)
那 f(x) = (3x-2)/(2x-1) 也就可得了
題目給的是 f((x-1)/(x-2))，所以才令 y = (x-1)/(x-2)

另外，我故意令 y 的，產生誤會才能講
我不喜歡強迫 y = f(x) 這樣想
y = f(x) 那是一種意思，表示 y 和 x 是函數對應關係
這題 f(x) 是已存在的，y 反而是自由的
所以，要令 y = f(x)也行，令 y = 其他的也行，我不希望因習慣產生想法上的限制
國中講一次的直線講二次的曲線，xy座標 y = f(x) 是理所當然
y幾乎一定會當應變數

這裡用 y 其實也符合習慣的 (只是不符合國中習慣)

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