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標題: [【學科】] 【高一】數學題目 [打印本頁]

作者: 33364683 時間: 2016-10-29 21:17 標題: 【高一】數學題目

請問一下這一題要怎麼算。
設p,q為正整數，且p>q，f(x)=x^4+px^3+x^2+qx-3有整係數一次因式，則數對(p,q)=?

作者: 42445888 時間: 2016-10-29 21:39

本帖最後由 42445888 於 2016-10-29 21:45 編輯

回復 1# 33364683

$x^{4}+px^{3}+x^{2}+qx-3$ 有一次因式

根據一次因式檢驗法，可以知道

$x^{4}+px^{3}+x^{2}+qx-3$ 的一次因式可能是(x+3)或(x-3)

$(x^{4}+px^{3}+x^{2}+qx-3)\div (x+3)=(1+(p-3)+(10-3p)-1).....(q+9p-29)$

$(x^{4}+px^{3}+x^{2}+qx-3)\div (x-3)=(1+(p+3)+(10+3p)+1).....(9p-q+29)$

因為如果是這個多項式的因式，於是一定為0，故

$q+9p-29\Rightarrow q+9p=29.......(1)$

或者

$9p-q+29\Rightarrow 9p-q=-29.......(2)$

因為p和q為正整數，所以(2)那條式子不成立

$q+9p=29$

$(p,q)=(3,2),(2,11),(1,20)$

因為p>q，所以答案是

$(p,q)=(3,2)$

作者: 33364683 時間: 2016-10-29 21:46

回復 2# 42445888

謝謝您的回答，大致上看懂了，但是想問一下，什麼是一次因式檢驗法。

作者: 42445888 時間: 2016-10-29 21:50

回復 3# 33364683

你們老師還沒教嗎 ? @@

設 $f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$ 是一個整數系n次多項式

若ax-b是f(x)的因式，則：

(1)a是 $a_{n}$ 的因數
(2)b是 $a_{0}$ 的因數

作者: 23037298 時間: 2016-10-29 21:54

回復 3# 33364683

如果大大是高一應該會上到
簡單說就是多項式的因次ax+b
a是最高次項數的因數b是常數項的因數

例如多項式2x^3+5x^2+4x+3=0
用一次因式檢驗法的話就是
x+/-1=0 x+/-3=0 2x+/-1=0 2x+/-3=0
/代表或
用上面的帶進去原多項式檢查，只要等於零那個x就是多項式的解

作者: 33364683 時間: 2016-10-29 21:55

回復 4# 42445888

原來如此，謝謝您，不過還沒教倒是真的。

作者: 39475494 時間: 2016-10-31 11:42

本帖最後由 39475494 於 2016-10-31 14:32 編輯

我補充一下
首先，如 4# 所說
f(x) 會有四個可能的因式，(x+1), (x-1), (x+3), (x-3)
再來
被除式 = 除式 * 商式 + 餘式
f(x) = g(x)q(x)+r(x) ，這是一個恆等式
也就是說，任意的 x 值代進去算，等式都會成立
最後，如果 g(x)是f(x)的因式，則 r(x) = 0
所以這裡可以用一個技巧

1. g(x) = x+1
f(x) = (x+1)q(x)
x=-1 代入，等式仍然會成立
f(-1) = 0*q(x) = 0
f(-1) = 1-p+1-q-3 = -p-q-1 = 0
而 p, q 要都要正整數，所以 -p-q-1 = 0 不成立
2. g(x) = x-1
f(1) = 1+p+1+q-3 = 0
p+q-1 = 0
而 p, q 要都要正整數，所以 p+q-1 = 0 不成立

3. g(x) = x+3
f(-3) = 81-27p+9-3q-3 = 0
-27p-3q+87 = 0
9p+q = 29
而 p, q 要都要正整數，所以 (p, q) = (1, 20) or (2, 11) or (3, 2)
最後 p > q ，就只剩 (3, 2) 了
4. g(x) = x-3
f(3) = 27p+3q+87 = 0
而 p, q 要都要正整數，所以 27p+3q+87 = 0 不成立

這四種可能，其一成立即可，所以就只剩 (3, 2)

作者: 44671905 時間: 2016-11-1 14:34

請教一下
任何多項式都是帶(x+1), (x-1), (x+3), (x-3)去試嗎?

作者: 39475494 時間: 2016-11-1 16:22

請教一下
任何多項式都是帶(x+1), (x-1), (x+3), (x-3)去試嗎?
44671905 發表於 2016-11-1 14:34

請看 4#
ax±b 中，a, b 有條件(可能性)

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