Board logo

標題: [【學科】] 【數學】三角函數 [打印本頁]
作者: 43487493    時間: 2016-11-28 01:14     標題: 【數學】三角函數

本帖最後由 43487493 於 2016-11-27 17:55 編輯

Q1:化簡cosθ+sin(90°+θ)+cos(180°+θ)+sin(270°+θ)。

A1:0


Q2:若cosθ=，試求sin()+sin(270°-θ)之值。

A2:0


Q3:試求之值。

A3:-1


以上三題 求解
作者: 27942579    時間: 2016-11-28 06:14

三角函數有廣義角的題目 通常把圖畫出來就能解出來了

就是把直角坐標系畫出來，然後依題目給的角度旋轉

像是第一題

sin(90°+θ)=-cosθ
cos(180°+θ)=-cosθ
sin(270°+θ)=cosθ

所以化簡就變成0了

話說第二題是不是有點問題...@@

沒時間算了 交給其他人吧(#

其實廣義角也困擾了我很久，是直到高三才想通的
作者: 27942579    時間: 2016-11-28 07:32

畫圖的話主要是要掌握sinθ=cos(90°-θ)的原則

轉過去後再依所在象限決定正負號
作者: 39475494    時間: 2016-11-28 10:02

首先，你要學會 sin cos .... 這六個在各象限區域的正負
那是由 x, y ,r 來決定的
例如，sinθ，以前學過，sinθ = 對邊/斜邊
現在把直角三角形畫在座標上，θ角放在原點
應該能看出，x 是臨邊，y 是對邊，斜邊就當 r
可以參考一下http://bbs.61.com.tw/viewthread. ... E6%95%B8&page=1的19#
sinθ = 對邊/斜邊 = y/r
第一，二象限 y 是正的，第三、四象限 y 是負的，而 r 總是正
所以 sinθ 在第一，二象限為正 (sinθ = y/r → 正/正 = 正)
，第三、四象限為負 (sinθ = y/r → 負/正 = 負)
六個三角函數都可以像這樣，化成x, y, r 來判斷正負
作者: 39475494    時間: 2016-11-28 10:59

再來，這種三角函數的轉換
你要確認幾個東西
第一項，角度變多少，這通常是已知
第二項，由第一項的角度，可以判斷出三角函數要不要變
要變的話，sin ←→ cos，tan ←→ cot，sec ←→ csc
不變的話，就是用原本的
第三項，判斷正負

化簡cosθ+sin(90°+θ)+cos(180°+θ)+sin(270°+θ)
這題看了就想到，要將全部化成 θ
sin(90°+θ) = ? ?θ
90°+θ → θ ：三角函數要變，sin → cos
θ ←→ ±90°±θ 要變
θ ←→ ±180°±θ 不要變
(這個我會再加一篇說明)

sin(90°+θ) = ? cosθ
最後看正負
假設 θ 在第一象限，(90°+θ)則在第二象限
sin(90°+θ)，第二象限的 sin 為正
cosθ，第一象限的 cos 為正
兩者相同，所以sin(90°+θ) = cosθ
cos(180°+θ) → 180，不變 → cosθ
假設 θ 在第一象限，(180°+θ)第三象限
cos 第三象限為負，cos 第一象限為正，相反，所以要加負號
cos(180°+θ) = -cosθ
sin(270°+θ) → 270，要變 → cosθ
假設 θ 在第一象限，(270°+θ)第四象限
sin 第四象限為負，cos 第一象限為正，相反，所以要加負號
sin(270°+θ) = -cosθ
cosθ+sin(90°+θ)+cos(180°+θ)+sin(270°+θ)
= cosθ+cosθ-cosθ-cosθ = 0
作者: 39475494    時間: 2016-11-28 11:21

本帖最後由 39475494 於 2016-11-29 17:18 編輯

最後，討論一下
θ ←→ ±90°±θ 要變
θ ←→ ±180°±θ 不要變
這件事

先在紙上畫一個 θ = 30°的線 ╱
然後再畫一個 90° + θ = 120° 的線 ＼
再加畫一個  90° - θ = 60° 的線 ╱
30° 時 線是斜躺的 |x|:|y| = √3 : 1，比較平
120° 是斜立的 |x|:|y| = 1 : √3，比較垂直
60° 也是斜立的 |x|:|y| = 1 : √3，也是比較垂直
加絕對值後(正負不看)的話，這結果相當於 x, y 對調了
±90 如此，±270 如此，甚至可以推論450 = ±90±360也會是如此(±360 繞一圈圖不變)
圖上看到的也一樣會是斜立的
所以可以得到一個結論!!
θ ←→ ±90°±θ 或 θ ←→ ±270°±θ
甚至可以想成，變化的角度差 = 90±180n (其中 n 為整數)時
xy 要對調，然後
sin = y/r ← xy對調後 → cos = x/r
tan = y/x ← xy對調後 → cot = x/y
sec = r/x ← xy對調後 → csc = r/y
作者: 39475494    時間: 2016-11-28 11:35

sin(90°+θ)+sin(270°-θ)
1. sin(90°+θ) = ? ?θ
90° 所以 sin 要變 cos，即 sin(90°+θ) = ?cosθ
sin第二象限正，cos第一象限正，不用加負號
所以 sin(90°+θ) = cosθ
2. sin(270°-θ) = ? ?θ
270 所以 sin 要變 cos，即 sin(270°-θ) = ?cosθ
sin第三象限負，cos第一象限正，要加負號
所以 sin(270°-θ) = -cosθ

sin(90°+θ)+sin(270°-θ) = cosθ - cosθ = 0
作者: 43487493    時間: 2016-11-28 17:49

恩恩懂了    因為我只會用360+-θ or 180+-θ    不過看了各位大大的詳細解說  已經了解了大概意思   感謝~
作者: 39475494    時間: 2016-11-29 17:27

本帖最後由 39475494 於 2016-11-29 17:36 編輯

像第三題
sin(90-θ) 和 cos(180+θ)
一種方式是全化成θ
sin(90-θ)
心中默想：90 要變。sin象限一正的，cos象限一也是正的。
所以 sin(90-θ) = cosθ
cos(180+θ)
心中默想：180 不要變。cos象限三負的，cos象限一正的。
所以 cos(180+θ) = -cosθ
另一種的話，直接 sin(90-θ) = ? ?(180+θ)
90 和 180 差了 90，要變
sin(90-θ) = ? cos(180+θ)
-θ 和 +θ ，是 - 還是 + 不重要，但要一樣(都是 θ)才行
假設 θ 在象限一，90-θ 則在象限一，180+θ 則在象限三
sin象限一正的，cos象限三負的，要加 -
所以 sin(90-θ) = -cos(180+θ) 這樣也行

另外兩個就快快想過去
tan(180-θ)，cot(90+θ)
90 要變，正好 tan 變 cot
tan：180-θ 象限二，負的
cot：90+θ 象限二，負的，一樣
tan(180-θ) = cot(90+θ)

sec(270+θ)，csc (360-θ)
90 要變，正好 sec 變 csc
sec：270+θ 象限四，正的
csc：360-θ 象限四，負的
所以 sec(270+θ) = -csc(360-θ)

所以答案是 -1+1-1 = -1
作者: 43487493    時間: 2016-11-29 18:43

像第三題
sin(90-θ) 和 cos(180+θ)
一種方式是全化成θ
sin(90-θ)
心中默想：90 要變。sin象限一正的，c ...
39475494 發表於 2016-11-29 09:27



   恩恩 了解~



歡迎光臨 Discuz! Board (http://bbs.61.com.tw/) Powered by Discuz! 7.2