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標題: [【學科】] 【數學】高三數學-極限 [打印本頁]

作者: 22169751 時間: 2017-3-4 18:16 標題: 【數學】高三數學-極限

$\lim_{n\to \infty } n^{3}(\sqrt{n^{2}+1}-n-\frac{1}{2n})$
=___

A:-1/8

求過程感恩

作者: 39475494 時間: 2017-3-6 00:28

有點懶得打這種方程式耶
令 A = √(n²+1)
B = n + 1/(2n)
C = √[n²+1 + 1/(4n²)]

B = √(B²) = √[n + 1/(2n)]² = √(n² + 1 + 1/(4n²)) = C
n³(A-C) = n³(A-C) * (A+C)/(A+C) = n³(A²-C²) / (A+C)
= n³[-1/(4n²)] / (A+C) = (-1/4) n / (A+C)
原式 = lim n→∞ [(-1/4) n / (A+C)]
= (-1/4) lim n→∞ [n / (A+C) ] = (-1/4)[ 1 / (1+1)] = -1/8

作者: 39475494 時間: 2017-3-6 00:32

像 B = √(B²) 這個
因為 n → ∞ 時 B > 0，所以才會相等
這就不寫了，不然 √(B²) = |B| 才對

作者: 22169751 時間: 2017-3-11 13:47

本帖最後由 22169751 於 2017-3-11 21:49 編輯

再請教幾題
1.
若 $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ ， $\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$ 均為首項為1的收斂無窮等比級數，且 $\sum_{n=1}^{\infty }(a_{n}+b_{n})=\frac{13}{5}$ ， $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}=\frac{3}{4}$ ，則無窮級數 $\sum_{n=1}^{\infty }(a_{n}+b_{n})^{2}$ 之和為___

A:139/30
2.
觀察數群(1)，(1，1，2)，(1，1，1，2，2，3)，(1，1，1，1，2，2，2，3，3，4)，...照此規律，若第n群內各個數的總和為 $a_{n}$ ，求 $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{a_{n}}$ =____

A:3/2
3.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1+2+2^{2}+...+2^{n}}{3^{n}}$
=___

A:7/2
4.
$a_{n}=\sum_{k=1}^{n}\sqrt{k(k+1)}$ ，則 $\lim_{n\to \infty } \frac{a_{n}}{n^{2}}$ =___

A:1/2

作者: 23037298 時間: 2017-3-11 21:45

本帖最後由 23037298 於 2017-3-11 21:55 編輯

第三題比較簡單先Sigma上下符號就是一到無限大我懶了……

作者: 23037298 時間: 2017-3-11 22:36

我手機排版原諒我一題一樓
第一題

一樣sigma都是一到無限大

作者: 23037298 時間: 2017-3-12 09:18

第四題
無限都是取到無限大

作者: 24309454 時間: 2017-3-12 10:51

高2 有些地方看不懂@@

作者: 23037298 時間: 2017-3-12 11:10

第二題我一開始算忘記算第一項的一所以我an第一項是題目的第二項，以此類推

作者: 23037298 時間: 2017-3-12 11:17

第二題照a1=1 a2=4 a3=10算下去的話
an=n(n+1)(n+2)/6

後面算式以此類推

作者: 23037298 時間: 2017-3-12 12:30

回復 8# 24309454

這是高三下選修第一章高二看不懂正常

作者: 39475494 時間: 2017-3-12 15:11

這幾題都不太好算
很厲害呀

作者: 44671905 時間: 2017-3-12 15:41

本帖最後由 44671905 於 2017-3-12 07:43 編輯

請問一下#5 第2個式子
等比的和不是 a0(r^n-1)/(r-1)
為什麼他是a0(r^(n+1)-1)/(r-1)

#7 n < (n*(n+1))^1/2 < n+1
怎變成n(n+1)/2 < an < n(2+n+1)/2

作者: 23585407 時間: 2017-3-12 15:51

這幾題都不太好算
很厲害呀
39475494 發表於 2017-3-12 15:11

我有個疑問

/K(K+1)這個部分

我直接把+1給省略掉

所以最後變成sigmaK

答案也是1/2

這樣的算法有沒有誤？

作者: 23037298 時間: 2017-3-12 15:52

回復 12# 39475494

欸都，其實我覺得我用的方法還滿直觀的

回復 13# 44671905

5#因為是從0次方到N次方總共有N+1項
我看不太懂你想問七樓哪邊
我是把整串不等式加在一起喔

作者: 44671905 時間: 2017-3-12 16:28

本帖最後由 44671905 於 2017-3-12 09:11 編輯

還有個疑問第2題an的值是n(n+1)(n+2)/6

若是(n+1)(n+2)(n+3)/6 好像就不是括號內的和

作者: 23037298 時間: 2017-3-12 16:34

回復 16# 44671905

欸我有說我一開始漏看到第一個括號所以我算式中的a1其實是第二個括號中的和，如果要連第一個括號也算進去的話an=n(n+1)(n+2)/6因為我是算完才發現錯的，有點懶得改前面算式了

作者: 44671905 時間: 2017-3-12 16:53

本帖最後由 44671905 於 2017-3-12 09:12 編輯

~拍謝沒看到你下面的回文~
~多謝回覆~
我還有最後一個問題
1<√2<2 這是高斯定理嗎?

作者: 23037298 時間: 2017-3-12 17:16

回復 18# 44671905

欸就夾擠定理喔
在取極限時用的

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