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標題: [【學科】] 【數學】橢圓 [打印本頁]

作者: 40033444 時間: 2017-6-5 21:26 標題: 【數學】橢圓

已知一橢圓P: x²+y²=xy+1中, 長軸方程式為L: y=x
求當長軸方程式為y=2x, 且長軸.短軸的長度不變時, 橢圓P'的一般式?

令短軸方程式為M: y=-x
M代入P得x²+(-x)²=-x²+1
3x²=1, x²=1/3, x=(√3)/3 or -(√3)/3
x=(√3)/3 代入P得 1/3+y² = ((√3)/3)y+1 , y²-((√3)/3)y-2/3=0 , 3y²-(√3)y-2=0 , y=(√3)±√(3+24)/6 , y= 4(√3)/6 (不合) or -2(√3)/6
x=-(√3)/3 代入P得 1/3+y² = -((√3)/3)y+1 , y²+((√3)/3)y-2/3=0 , 3y²+(√3)y-2=0 , y=(-√3)±√(3+24)/6 , y= 2(√3)/6 or -4(√3)/6 (不合)
故L與P的兩交點為(1,1).(-1,-1), M與P的兩交點為( (√3)/3 , -(√3)/3 ).( -(√3)/3 , (√3)/3 )
a=√2 , b=(√6)/3 , c=√(a²-b²)=(2/3)(√3)

我寫到這了
除了用旋轉坐標外
還可以用什麼方法

作者: 39475494 時間: 2017-6-6 17:08

你計算短軸頂點
為什麼不代回 M ，而去代入二次的 P 自找麻煩呢 ?
x=(√3)/3 代入 M: y = -x = -√3/3

這題要旋轉
兩個方式，但不管哪個方式都要算相對關係

一個是直接 x = ax' + by'，y = cx' + dy' 去換原方程式的x , y。
另一個則是x' = ex + fy，y' = gx + hy 去計算兩焦點移到哪了。
然後再用點到兩焦點的距離和 = 2a 去列出橢圓方程式。
不管哪個，都要處理旋轉這件事。

旋轉前，要先確定兩個點，一個是橢圓的中心點，一個是長軸旋轉時的中心點
y=x 和 y=2x，交點在原點，所以這個旋轉動作是繞著原點轉的
(-x)²+(-y)²=(-x)(-y)+1 → x²+y²=xy+1，圖形對稱於原點，原點是橢圓的中心點
然後，就用那兩個方式擇一解吧

對了，有答案嗎 ?

作者: 40033444 時間: 2017-6-7 22:23

你計算短軸頂點
為什麼不代回 M ，而去代入二次的 P 自找麻煩呢 ?
x=(√3)/3 代入 M: y = -x = -√3/3

這 ...
39475494 發表於 2017-6-6 17:08

沒有, 那題目是我自己想出來的
我有一個想法
a的方向跟c的方向是一樣的
而且長軸的一半.兩焦點距離的一半這兩個位置就是中心
解出來
兩焦點為( (2√15)/15 , (4√15)/15 ) . ( -(2√15)/15 , -(4√15)/15 )
再代PF1+PF2=2a回去
但我兩邊開平方後
會有2√(...)√(...)那一項
不好配方

作者: 39475494 時間: 2017-6-8 12:28

y = x 轉成 y = 2x
(a, a) 變成 (a, 2a) 然後長度拉回和 (a, a) 一樣
長度縮了 √2/√5，變成 (√2a/√5, 2√2a/√5)
所以
原本的焦點為 (±2/√6, ±2/√6)
後來的焦點為 (±2/√15, ±4/√15)
你沒算錯

然後 √[(x - 2/√15)² + (y - 4/√15)²] + √[(x + 2/√15)² + (y + 4/√15)²] = 2√2
是不太好處理，那還是用第一個方法好了。

作者: 39475494 時間: 2017-6-8 12:48

本帖最後由 39475494 於 2017-6-9 15:03 編輯

y=x → y/x = 1
y=2x → y/x = 2
tanθ = tan(β-α) = (tanβ-tanα)/(1+tanβtanα) = (2-1)/(1+2*1) = 1/3
sinθ = 1/√10 , cosθ = 3/√10
x' = cosθ x - sinθ y
y' = sinθ x + cosθ y
x = cosθ x' + sinθ y' = (3x'+y')/√10
y = -sinθ x' + cosθ y' = (-x'+3y')/√10
x²+y²=xy+1
(3x'+y')²/10 + (-x'+3y')²/10 = (3x'+y')(-x'+3y')/10 + 1
(3x'+y')² + (-x'+3y')² = (3x'+y')(-x'+3y') + 10
這樣應該比較好解了

作者: 33144653 時間: 2017-6-8 21:22

本帖最後由 33144653 於 2017-6-9 00:34 編輯

請問一下
x' = cosθ x - sinθ y
y' = sinθ x + cosθ y
x = cosθ x' + sinθ y'
y = -sinθ x' + cosθ y怎來的

還有就是x'= cosθ x - sinθ y
積分回去好像也不會是x = cosθ x' + sinθ y'

作者: 39475494 時間: 2017-6-9 10:23

本帖最後由 39475494 於 2017-6-9 16:10 編輯

x' 不是對 x 微分
不然我就直接寫 x' = 1 了
x', y' 是另一組座標值。

假設 (x, y) 旋轉 θ 後，變成 (x', y')
假設 (x, y) 和 x 軸的夾角是 α，即 x = rcosα，y = rsinα
假設 (x', y') 和 x 軸的夾角是 β，即 x' = rcosβ，y' = rsinβ
θ = β - α
x' = rcosβ = rcos(θ+α) = cosθrcosα - sinθrsinα
=cosθ x - sinθ y
其他自己推吧

作者: 24309454 時間: 2017-6-10 01:23

果然是銀河發的文...

作者: 40033444 時間: 2017-6-10 16:51

x' 不是對 x 微分
不然我就直接寫 x' = 1 了
x', y' 是另一組座標值。

假設 (x, y) 旋轉 θ 後，變成 (x' ...
39475494 發表於 2017-6-9 10:23

https://youtu.be/xY6qOHBf1as

作者: 39475494 時間: 2017-6-12 09:36

是的
這個影片和我用的代號還蠻像的

作者: 40033444 時間: 2017-6-12 23:48

是的
這個影片和我用的代號還蠻像的
39475494 發表於 2017-6-12 09:36

看完那個有比較了解一點
那邊老師直接跳過去

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