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標題: [【學科】] 【數學】三角函數 [打印本頁]

作者: 33144653 時間: 2017-7-1 20:04 標題: 【數學】三角函數

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作者: 39475494 時間: 2017-7-3 11:15

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首先，你先想一件事
sin(4pi/7) = sin(3pi/7)
sin(8pi/7) = sin(6pi/7)
sin(12pi/7) = sin(9pi/7)
所以，sin4x = sin3x
解出來的根會是 x = 0, pi/7, 2pi/7, 3pi/7

2 sin2x cos2x = 3sinx - 4sin³x
4 sinx cosx (1-2sin²x) = sinx (3 - 4sin²x)
兩邊同時消掉 sinx (x=0 那個根同時去掉)
4 cosx (1-2sin²x) = 3 - 4sin²x
兩邊同時平方
16 (1-sin²x) (1-2sin²x)² =9 - 24sin²x + 16(sin²x)²
令 p = sin²x       ( ... 有點懶得算了 @_@!)
記得唷，原本解出來的根會是 x = pi/7, 2pi/7, 3pi/7
所以解出來的 p = sin²x = sin²(pi/7), sin²(2pi/7), sin²(3pi/7)

16 (1-p) (1-2p)² =9 - 24p + 16p²
16 (1-p) (1-4p+4p²) = 9 - 24p + 16p²
16 - 80p +128p² - 64p³ = 9 - 24p + 16p²
64p³  - 112p² + 56p - 7 = 0
根與係數的關係
(p - sin²(pi/7))(p - sin²(2pi/7)(p - sin²(3pi/7)) = 0
∴ sin²(pi/7) sin²(2pi/7) +  sin²(2pi/7) sin²(3pi/7) + sin²(pi/7) sin²(3pi/7) = 56/64
且 sin²(pi/7) sin²(2pi/7) sin²(3pi/7) = 7/64

原式 = 1/sin²(pi/7) + 1/sin²(2pi/7) + 1/sin²(3pi/7)
= (56/64) / (7/64)
= 8

作者: 33144653 時間: 2017-7-3 19:28

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回復 2# 39475494

這是另解~
但我想問中間的部分
tan(a)=-tan(pi-a)
看起來是相對的位置
根就是一正一負的出現?

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作者: 39475494 時間: 2017-7-4 12:08

你問的問題不是因果關係。
根是一正一負是因為
tan(7θ) = 0，其解 θ = k*pi/7 (for k = 0 to 6)。
而你在圖上畫一個單位圓，然後用上述之 θ 去畫出七個點。
你會發現 k = 1~6 這個六點是左右對稱的
所以平方以後，六個根就變成三個根。

tan(a)=-tan(pi-a)
他想表達的是 tan²(a) = tan²(pi-a)
所以，
tan²(pi/7) = tan²(6pi/7)
tan²(2pi/7) = tan²(5pi/7)
tan²(3pi/7) = tan²(4pi/7)
當他令 s = t² 時
s 的根是 t 的根的平方，然後兩兩重複
如果方程式 t 六次變 s 三次的話，
s 的根就變三個，這時 k 變成 1~3 (6同1，5同2，4同3)

作者: 39475494 時間: 2017-7-4 12:16

恕我冒昧
你練習的這些問題，常常是一些比較難的題目。
但你卡到的地方，卻是比較基本的概念。
像前幾個討論，切線方程式。
那是進微積分之前的概念 (lim)，
我覺得你學數學有些跳章的感覺。

作者: 33144653 時間: 2017-7-4 13:06

我是技職的學生~
沒念過高中數學
但對高中數學及物理頗感興趣
在FB有加入高中、大學數學及高中物理研究社
看著那些資優生及補習班名師的解法
順便學習
而上面PO的問題確實是基本問題較少~
因為多半是名校學生問的問題~

作者: 39475494 時間: 2017-7-4 13:39

本帖最後由 39475494 於 2017-7-4 13:40 編輯

你應該不是學生了吧。
練習那些問題，是興趣的話還行，但小心會不紮實。
如果是學生，那不建議這樣做。
把時間花在基礎的東西上，反覆熟練，
對你的將來(考試)會更有利。

作者: 33144653 時間: 2017-7-4 15:13

本帖最後由 33144653 於 2017-7-4 07:16 編輯

技職畢業的學生 ^皿^

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