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標題: [【學科】] 【數學】弧長 [打印本頁]

作者: 22169751 時間: 2017-7-7 19:56 標題: 【數學】弧長

本帖最後由 22169751 於 2017-7-7 20:02 編輯

$f(x)=\frac{x^{3}}{6}+\frac{1}{2x}$ ，

，求y=f(x)的圖形在x=1到x=3的弧長
A:14/3

求過程感恩

圖片附件: 107.png (2017-7-7 20:02, 1.64 KB) / 下載次數 11
http://bbs.61.com.tw/attachment.php?aid=1807625&k=eea47c1481545c663c86672262fc8e67&t=1771314096&sid=gVUZga

作者: 33144653 時間: 2017-7-8 15:39

作法就是 ∫ √1+(f(x) ′ )^2 x= 1 to 3
= ∫√(1/2+x^4/4+1/4x^4) 裡面是完全平方式
=∫ x^2/2+1/2x^2 x=1 to 3
=14/3

作者: 39475494 時間: 2017-7-10 11:43

本帖最後由 39475494 於 2017-7-10 14:46 編輯

我做個解釋好了
s 是路徑
dx，x 微量變化
dy，x 微量變化，透過 y 和 x 的關係式，造成 y 的微量變化
ds，x,y 微量變化，該段的路線長度。
因為dx, dy, ds 都是微量變化，所以他們會形成直角三角形。
↑ 也就是說，因為是微量變化，所以可以把 s 當直線來看。
ds 是斜邊，即 ds = √(dx²+dy²)
ds/dx = √[1+(dy/dx)²]
s = ∫ ds = ∫ √[1+(dy/dx)²] dx

作者: 22169751 時間: 2017-7-10 13:49

本帖最後由 22169751 於 2017-7-10 14:01 編輯

再請教一題求y³=x²自(0,0)到(8,4)的弧長

過程: $x=\pm y^{\frac{3}{2}}$
$x'=\pm \frac{3}{2}y^{\frac{1}{2}}$
$ds=dy\sqrt{1+\frac{9}{4}y}$
令1+(9y/4)=t
ds=√t*dt
$\int_{0}^{4}\sqrt{1+\frac{9}{4}y}\cdot dy=\int_{1}^{10}\sqrt{t}\cdot dt$
= $\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}|_{1}^{10}$

A: $\frac{1}{27}\left ( 40^{\frac{3}{2}}-8 \right )$

請問我的過程錯在哪裡

作者: 39475494 時間: 2017-7-10 14:44

令 t = 1 + (9y/4)
dt = (9/4)dy
∫(0到4) √... dy = ∫(1到10) 4√t/9 dt
= ...

你跳了一步了唷

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