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標題: [【學科】] 【數學】高中數學-排列組合 [打印本頁]

作者: 22169751 時間: 2017-8-31 22:29 標題: 【數學】高中數學-排列組合

本帖最後由 22169751 於 2017-8-31 22:52 編輯

紅綠建設公司打算建造10層樓高的大樓，為了凸顯公司的特色，決定每層樓只能用紅色或綠色的油漆來粉刷，每層樓只用一個顏色，而且不能有連續兩層是紅色的，則他們有___種可能的粉刷方式。

A:144

過程:全-連續2紅(其餘任意)+連續3紅(其餘任意)-......-連續10紅
$=2^{10}-9*2^{8}+8*2^{7}......+2*2^{1}-1*2^{0}$
$=1024-10*2^{7}-8*2^{5}-6*2^{3}-4*2^{1}-1<0$

請問我的過程錯在哪裡

如果用2層來看:
過程: $2^{2}-1*2^{0}=3$
實際: (紅,綠),(綠,紅),(綠,綠)=3種
3層:
過程: $2^{3}-2*2^{1}+1*2^{0}=5$
實際: (綠,綠,綠),(紅,綠,綠),(綠,紅,綠),(綠,綠,紅),(紅,綠,紅)=5
4層:
過程: $2^{4}-3*2^{2}+2*2^{1}-1*2^{0}=7$
實際: (綠,綠,綠,綠),(紅,綠,綠,綠),(綠,紅,綠,綠),(綠,綠,紅,綠),(綠,綠,綠,紅),(綠,紅,綠,紅),(紅,綠,紅,綠),(紅,綠,綠,紅)=8

為甚麼從第4層結果就不一樣了

求解說感恩

作者: 26867711 時間: 2017-9-1 00:36

只能算出140...

作者: 39475494 時間: 2017-9-1 10:03

本帖最後由 39475494 於 2017-9-1 10:59 編輯

我講一些想法上的東西
首先，你的解法，我雖然知道你在計算什麼
但你講的出你列式的道理嗎 ?
感覺你只是試著在找規律
這條路不是很對，這是一條很難走的路，除非你無可奈何了。
第二，這種解法，每多一層會有大量的判斷出現
你會算的很累的

回到你問的，過程錯在哪裡
因為我只能看出你在算什麼，卻沒辦法看出你的想法。
所以我頂多幫你找漏的或多的
四層全部，2^4 沒錯
然後 3*2^2 = 12
這個應該是在計算
(紅紅)綠綠
(紅紅)綠紅
(紅紅)紅綠，這是 3-1
(紅紅)紅紅，這是 4
綠(紅紅)綠
綠(紅紅)紅，這是 3-2
紅(紅紅)綠，這是 3-1
紅(紅紅)紅，這是 4
綠綠(紅紅)
綠紅(紅紅)，這是 3-2
紅綠(紅紅)
紅紅(紅紅)，這是 4
好了，三連紅的的計算 2 次，四連紅的計算 3 次
所以要列式的話，2^4 - 3*2^2 + 1*2 + 2*1 = 8
三連紅會兩次，因為紅紅紅會看成(紅紅)紅，紅(紅紅)
四連紅會三次，因為(紅紅)紅紅，紅(紅紅)紅，紅紅(紅紅)
你要這樣算到十層，很累呀

PS：紅色那兩個數字非常麻煩
那是指 4 個位置放三連紅的數量，和 4 個位置放四連紅的數量
如果 10 個位置呢 ? 10 個位置甚至可以出現兩組三連紅，或像是一三連一四連的情況
然後又要考慮這種情況的重複量

作者: 39475494 時間: 2017-9-1 10:21

本帖最後由 39475494 於 2017-9-2 00:03 編輯

這題怎麼解
想法上要合適才不會算太多
我有兩個想法
(A)分成六種，0~5紅
0 紅，全綠，1種
1 紅，其它綠，10種
2 紅，你先放好 -紅-綠-紅-，這是基本的底型
然後剩下來7 個綠色分三區放「1紅2綠2紅3」
為什麼中間兩個都是 2 區 ?
因為放哪個結果都一樣，紅(綠)綠紅，紅綠(綠)紅，一樣的
其實就看紅色隔成幾區 = 紅數量+1 區
然後，這是 H 的計算，也就是把 7 綠分三團。
兩個假隔板，C92 = 36
3紅，其它綠，底是 1紅2綠2紅3綠3紅4 (3+1區)
剩 5 綠，分 4 區，三隔板， C83 = 56
4紅，其它綠，分 5 區
剩 3 綠，分 5 區，四隔板，C74 = 35
5紅，其它綠，分 6 區
剩 1 綠，6區就 6 唄
加起來 1 + 10 + 36 + 56 + 35 + 6 = 144

作者: 39475494 時間: 2017-9-1 10:34

本帖最後由 39475494 於 2017-9-2 00:04 編輯

(B)方式，一樣分 5 紅
0紅，1種
1紅，10種
2紅，這想法是這樣的
每個紅下面綁一個綠的這樣就會避免紅紅想連
但這樣會出一個問題，最下面那樓只會是綠的
那就加一層給它強迫綠吧
十層，紅或綠，不能紅紅相連，有幾種 ?
十一層，最下層強迫綠色，上面十層紅或綠，不能紅紅相連，有幾種 ?
這兩題的答案是一樣的
現在解的是 2 紅
那就是(紅綠)(紅綠)綠綠綠綠綠綠綠，這9(11個)放進 11 層
可以再想一想，這 9 區怎麼排，最下面那層都只會綠色
然後 9!/2!/7! = 36
3 紅，(紅綠)3 + 綠5，總共 11 個就對了
8!/3!/5! = 56
4 紅，(紅綠)4 + 綠3
7!/4!/3! = 35
5 紅，(紅綠)5 + 綠1
6!/5!/1! = 6
加起來 1 + 10 + 36 + 56 + 35 + 6 = 144

作者: 22169751 時間: 2017-9-1 22:33

本帖最後由 22169751 於 2017-9-1 22:56 編輯

我講一些想法上的東西
首先，你的解法，我雖然知道你在計算什麼
但你講的出你列式的道理嗎 ?
感覺你只是試著在找規律
這條路不是很對，這是一條很難走的路，除非你無可奈何了。
第二，這種解法，每多一層會有大量的判斷出現
你會算的很累的

我只想到這解法
感覺用錯排來解可以
其實我有想過這個方法可能會出問題
不過在處理2層跟3層的時候答案都是對的
我想說應該能類推到10層

作者: 40033444 時間: 2017-9-1 22:57

我的想法

因為2紅不相鄰
所以最多排到5個紅色
塞第6個紅色會發現一定有2個以上相鄰

全綠 1種
1紅 10個位置選1種 = 10種
2紅 10個位置選2種 - 2紅相鄰: 9個位置可選 = C10取2 - 9種 = 36種
3紅 10個位置選3種 - 2紅相鄰: 9個位置可選 - 3紅相鄰: 8個位置可選

但我發現 2紅相鄰我綁2紅的地方
每次移動它的位置
種數好像不一樣

( R R ) G G G G G G G R
( R R ) G G G G G G R G
...
( R R ) G R G G G G G G = 7種

G ( R R ) G G G G G G R
G ( R R ) G G G G G R G
...
G ( R R ) G R G G G G G = 6種

G G ( R R ) G G G G G R
...
G G ( R R ) G R G G G G
R G ( R R ) G G G G G G = 6種

看來是連續2紅綁頭尾會是7種
其他7種狀況是6種
也就是

3紅 10個位置選3種 - 2紅相鄰: 9個位置可選 - 3紅相鄰: 8個位置可選
= C10取3 - (2×7+7×6) - 8 = 120 - 56 - 8 = 56

作者: 39475494 時間: 2017-9-1 23:05

6# 這個解法很酷喔
我在算2紅的地方算36個
可是最下面加起來的地方寫35
答案是144沒錯

作者: 22169751 時間: 2017-9-1 23:55

然後剩下來7個綠色分三區放「1紅2綠2紅3」

這樣才對吧

作者: 39475494 時間: 2017-9-1 23:58

這樣才對吧
22169751 發表於 2017-9-1 23:55

是的，筆誤

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