標題: [【學科】] 【數學】三角函數 [打印本頁]

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作者: 22169751    時間: 2017-10-22 16:49     標題: 【數學】三角函數

為ax³+bx²+cx+1=0之根，a,b,c為整數，求(a,b,c)

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作者: 39475494    時間: 2017-10-26 11:17

cos(pi/7)，令 θ = pi/7
想法：你要列出一個 θ 的等式出來
cos3θ + cos4θ = 0
大概評估一下，這個等式會到 cosθ 的四次
所以到時候，等式還要想辦法消掉一次

cos3θ + cos4θ = 0
4cos³θ - 3cosθ + 2(cos2θ)² - 1 = 0
4cos³θ - 3cosθ + 2(2cos²θ-1)² - 1 = 0
令 x = cosθ = cos(pi/7)
4x³ - 3x + 2(2x²-1)² - 1 = 0
4x³ - 3x + 8x^4-8x²+2 - 1 = 0
8x^4 + 4x³ - 8x² - 3x + 1 = 0
(觀察一下，x = -1 代入左式，左式 =8-4-8+3+1 = 0)
(x+1)(8x³-4x²-4x+1) = 0
因為 x+1 = cos(pi/7) + 1 ≠ 0
所以 8x³ - 4x² - 4x + 1 = 0

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作者: 22169751    時間: 2017-10-26 22:13

其實我有這題的過程
這題我本來是想放上來考考看
看有沒有人會解的
覺得出的不錯(我自己想2個小時想不出第一步)
一直到昨天都沒人回覆的時候我本來以為連冰大也不會
害我暗爽了一下
還是冰大是希望多一點人討論才故意等到今天回覆的

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作者: 33144653    時間: 2017-10-27 09:18

本帖最後由 33144653 於 2017-10-27 01:24 編輯

一開頭就不懂了- -
cos3θ + cos4θ = 0
θ = pi/7
cos(pi) 不是-1嗎?

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作者: 39475494    時間: 2017-10-27 09:43

4#
角度和 = 180 (互補)，cos 相加就 = 0
cos20 + cos160 = 0
cos44 + cos136 = 0
cos(3pi/7) + cos(4pi/7) = 0
或者也可以說 cosA = - cos(180-A)
3#
嗯，一來是最近忙，二來也是想看看有沒有人會來解
對了，有想過 8x³ - 4x² - 4x + 1 = 0 的根嗎 ?
除了 cos(pi/7) 以外，還有誰 ?
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原本是從 cos3θ + cos4θ = 0 導來的
這式要符合，3θ + 4θ 要等於 pi, 3pi, 5pi, 7pi …
所以 θ = (pi/7), (3pi/7), (5pi/7), (7pi/7)
再下去cos(9pi/7) = cos (5pi/7) 一樣了
所以 根是 cos(pi/7), cos(3pi/7), cos(5pi/7)
而 cos(7pi/7) = -1 ，這個是降次的那個 (x+1)

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