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標題: [【學科】] 【數學】資優數學問題 [打印本頁]

作者: 33144653 時間: 2018-1-9 13:49 標題: 【數學】資優數學問題

本帖最後由 33144653 於 2018-1-29 02:24 編輯

最近版上頗冷清
po幾題資優問題

大家一起腦力激盪~

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作者: 42445888 時間: 2018-1-9 20:40

本帖最後由 42445888 於 2018-1-9 21:16 編輯

回復 1# 33144653

$(1)~~~a_{n}=\frac{1}{(2^{n}-1)^{2}}$

這題求過程..列不出來

作者: 42445888 時間: 2018-1-9 21:14

(2)

註：(x)為高斯符號，因為中括號顯示不出來

$4x^{2}-20(x)+23=0$
$20(x)=4x^{2}+23$
$(x)=\frac{4x^{2}+23}{20}$

$x-1<(x) \leq x$
$x-1<\frac{4x^{2}+23}{20} \leq x$
$\frac{5-\sqrt{2}}{2}  \leq  x  \leq \frac{5+\sqrt{2}}{2}$

若 $\frac{5-\sqrt{2}}{2}  \leq x <2$
此時 $(x)=1$
則代回原式 $4x^{2}-20+23=0$
x無解

若 $2  \leq x <3$
此時 $(x)=2$
則代回原式 $4x^{2}-40+23=0$
$x=+-\frac{\sqrt{17}}{2}$ (負不合)

若 $3  \leq x \leq \frac{5+\sqrt{2}}{2}$
此時 $(x)=3$
則代回原式 $4x^{2}-60+23=0$
$x=+-\frac{\sqrt{37}}{2}$ (負不合)

故 $x=\frac{\sqrt{17}}{2}~~or~~\frac{\sqrt{37}}{2}$

作者: 22169751 時間: 2018-1-9 22:09

最近版上頗冷清
po幾題資優問題

大家一起腦力激盪~

其實我覺得會認真看的就固定那幾個

作者: 33144653 時間: 2018-1-11 08:14

好像太難了
因為這張是教師甄試的問題
簡單說是考老師的~

作者: 39475494 時間: 2018-2-6 17:22

我解個 10 好了
|w|=1, |z|=10
A = (w-z)/z = w/z -1
θ = arg(A)
tan²θ 最大值

令 w/z = a+1+bi
(a+1)²+b² = |w/z|² = (1/10)²
A = a+bi
tan²θ = (b/a)²

唉，還是用圖說明的比較好懂
(a+1)²+b² = (1/10)²
這是一個圓，圓心是 (-1,0)，半徑 1/10
然後θ管角度，tan²θ 要最大，愈直立 | 愈好
最大就是原點畫切線過去那條
直角三角形 1/10 : 1 -> 1 : 10 : √99
tan²θ max = 1/99

作者: 39475494 時間: 2018-2-6 17:52

本帖最後由 39475494 於 2018-2-7 10:57 編輯

1. 沒有過程呀
那我也試試好了
√a_n = 2√a_n+1 + √a_n √a_n+1
這√其實沒有問題的，你可以這樣
令 bn = √an
b_n = 2b_n+1 + b_n * b_n+1，然後兩邊再同除以 b_n * b_n+1
1/b_n+1 = 2/b_n + 1
呃~ 快出來了
啊~ 這樣說好了令 c_n = 1/b_n
c_n+1 = 2 * c_n + 1 ，而首項 c1 = 1/b1 = 1/√a1=1
所以這個 c 數列是 1, 3, 7, 15, 31，即 c_n = 2^n - 1 (有點筆誤)
然後就是還原
b_n = 1 / (2^n-1)
a_n = [1 / (2^n-1)]²

其實你找出答案了，湊過程不是那麼難的
至於 c_n+1 = 2 * c_n + 1 為什麼可以看出 2^n - 1
每個下一項(大約)是這一項 * 2 的關係
這是 2^n 的變化

作者: 39475494 時間: 2018-2-6 18:41

其實我覺得會認真看的就固定那幾個
22169751 發表於 2018-1-9 22:09

是呀

其實也無可厚非

對很多人而言，數學只是一個學習項目

淘米也只是一個遊戲項目

作者: 42445888 時間: 2018-2-6 20:03

本帖最後由 42445888 於 2018-2-6 20:04 編輯

(6)
令 $x={  10}^{100  }$

$\frac { { 10 }^{ 10000 } }{ { 10 }^{ 100 }+1 } =\frac { { x }^{ 100 } }{ x+1 } =\frac { { (-x) }^{ 100 }-{ 1 }^{ 100 } }{ x+1 } +\frac { 1 }{ x+1 }$

因為 ${ (-x) }^{ 100 }-{ 1 }^{ 100 }=(-x-1)({ (-x) }^{ 99 }+{ (-x)}^{98  }+...+1)$

所以 $\frac { { 10 }^{ 10000 } }{ { 10 }^{ 100 }+1 } ={ x}^{99  }-{x  }^{  98}+{ x }^{  97}-...+x-1+\frac { 1 }{ x+1 }$

故 $( \frac { { 10 }^{ 10000 } }{ { 10 }^{ 100 }+1 }) ={ x }^{ 99 }-{ x }^{ 98 }+{ x }^{ 97 }-...+x-1$ ，(這裡的括號是高斯符號)

因為 ${ x }^{ 99 }-{ x }^{ 98 }+{ x }^{ 97 }-...+x$ 末尾至少100個0，減1之後全變9，除以100的餘數就是99

作者: 39475494 時間: 2018-2-7 16:18

那我再解個 9 好了
九個不同物品，放三個相同箱子，可以箱是空的

好像沒有什麼好方法耶，還出九個那麼多個

9 個
900  C99 = 1
810  C98*C11 = 9
720  C97*C22 = 36
711  C97*C21*C11/2! =36
630  C96*C33 = 84
621  C96*C32*C11 = 84*3
540  C95*C44 = 126
531  C95*C43*C11 = 126*4
522  C95*C42*C22/2! = 126*3
441  C94*C54*C11/2! = 126*5/2
432  C94*C53*C22 = 126*10
333  C93*C63*C33/3! = 84*20/6 = 280
全加起來 = 280 + 126*41/2 + 84*4 + 36*2 + 10
= 2583 + 336 + 72 + 290
= 3281

作者: 22169751 時間: 2018-2-7 17:44

雙曲線那題是4/√17嗎?

作者: 42445888 時間: 2018-2-7 20:37

本帖最後由 42445888 於 2018-2-7 20:46 編輯

第7題，這樣圖片看得清楚嗎 0.0，懶得打式子

圖片附件: 27721237_2001455520143343_2024047372_n.jpg (2018-2-7 20:46, 32.43 KB) / 下載次數 36
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作者: 39475494 時間: 2018-2-8 12:10

8
log2(A) < 0
A < 1
log2(B) < 1
B < 2
|x-[(x+1)/2]| < 2
-2 < x-[(x+1)/2] <2
取高斯以後會是整數，2 也是整數
整數 < x - 整數 < 整數
所以觀察 x 的整數情況就行了
1 - 1
2 - 1
3 - 2
3.99 - 2 → ok → 得到 x < 4
4 - 2 不小於 2 了
5 - 3
6 - 3
往負的看
0 - 0
-1 - 0
-2 - (-1)
-2.99 - (-1) → ok → 得到 x > -3
-3 - (-1) 不大於-2
-4 - (-2)
-5 - (-2)
-6 - (-3)
兩個不等式同時要成立 (交集)
所以 -3 < x < 4

這題要考"小於等於"才會有陷阱

作者: 39475494 時間: 2018-2-8 12:23

不知道你們會不會覺得用列數字的方式解答不太好
如果覺得不好，請用圖形去想
y = x ← 一條斜直線
y = [(x+1)/2] ← 一個階梯狀的圖
然後畫出 y = 相減的圖 ← 斜上去，楷梯角的地方往下掉 1 ，再斜上去…
然後看 -2 < y < 2 時的 x

對了，如果要用 < ，那 2 改成一個奇數，也會有陷阱出來

作者: 39475494 時間: 2018-2-8 17:39

a+b = 8，1/a + 1/b = 2
a+b = 8，(a+b)/ab = 2
ab = 4
斜率 = (1/b-1/a)/(b-a)
= -1/(ab) = -1/4
y = 1/x
y' = - 1/x² = -1/4
x = ±2 (第一象限負不合)
x = 2
C(2, 1/2)
斜率 -1/4 → x + 4y = k
|2 + 4*(1/2) - 4 - 4*1|/√(1+16)
= 4/√17
我的答案跟你一樣

作者: 39475494 時間: 2018-2-8 17:45

如果不用微分的話
xy = 1 和 x + 4y = k 交於一點(相切)
x + 4/x = k
x² -kx + 4 = 0 只能一個交點(重根)
k² - 4*1*4 = 0
k = ±4，過第一象限，y = 0 時 x = k 是正的才行
k = 4
|k - 4 - 4*1|/√(1+16)
= 4/√17

作者: 39475494 時間: 2018-2-9 13:45

本帖最後由 39475494 於 2018-2-9 13:56 編輯

剩兩題了
3,4
4 的話，這圖是等腰梯形，應該不難解
3 比較有趣
這是一題圖形題
令 y1 = mx - 3m + 2，y2 = mx - 3m + 10
y1 和 y2 的關係是平行線
然後不同的 m，斜率會不同 (斜率即 m)
但不管 m = 多少， y1這條必過 (3, 2)，y2這條必過(3, 10)
然後，題目的等式就變成
(x, y1) 到原點的距離 + (x, y2) 到原點的距離 = 10
這個等式，是橢圓形
重新整理一下思路
在某個 m 時，自變數 x ，會對應出應變數 y1 和 y2
然後 (x, y1)到原點的距離 + (x, y2) 到原點的距離 = 10
符合此情況的 x 有兩個(相異實根)
把橢圓的概念套入
(x, y1)到原點的距離 + (x, y2) 到原點的距離 = 10
等同，原點在以 (x, y1) (x, y2)為焦點，2a = 10 的橢圓上
我們再看這個橢圓
y1 y2 的動線為平行線，且一個過(3, 2)，一個過 (3, 10)
這表示，當 x = 任意值時
y2-y1 = (mx-3m+10) - (mx-3m+2) = 8
2c = 8，c = 4
又 2a = 10，a = 5
b = √(a²-c²) = 3
這個橢圓形其實有固定的外形，差只差在它(中心點)的座標會移
而中心點座標 ( x, (y1+y2)/2 )，即 (x, mx-3m+6)
或者想成，中心點的動線是一個經過 (3, 6) 鈄率為 m 的線

接著，再去思考 x 的解為相異實根這件事
想像一下，x 從 -∞ → ∞
隨著 x 變化，這個是固定外形的橢圓形，其中心點隨之移動
當橢圓形的圓周碰到原點，此時的 x 就產生了一個根
繼續移，又碰到原點，就又產生一個根
一個橢圓形，以斜率 m 的直線移動，碰到原點最多兩個。
相異實根，就是碰了兩次的情況。

移橢圓麻煩，不如移原點吧
中心點的動線是一個經過 (3, 6) 鈄率為 m 的線
那就把橢圓(中心點)放在 (3, 6)，然後原點走鈄率 m 劃過去
看有幾個交點，就是幾個相異實根
原點走鈄率 m 劃過去，這條就是 y = mx
這時，題目就變成
有一個橢圓，a=5，b=3，c=4，長軸平行 y 軸，中心點為(3,6)
y = mx 與該橢圓的交點為兩相異點，求 m 之範圍 ?
然後，這題就是算切線鈄率。

寫了一堆，多數是想法上的轉換，其實只是將題目轉成另外一種樣子來算
我算的結果是 m > 11/36

作者: 33144653 時間: 2018-2-9 19:41

哇真的假的

冰大跟版大可以去中大附中(以前叫中壢高中)教書了~
這張是中大附中甄選老師的題目

作者: 33144653 時間: 2018-2-28 20:32

我貼一下答案~ 我在慢慢研究向二位高手請教~

圖片附件: 333.jpg (2018-2-28 20:33, 70.01 KB) / 下載次數 30
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作者: 39475494 時間: 2018-3-1 20:01

我第八題錯了呀
哦，我前面推算錯了
log2(A) < 0
0 < A < 1
0 < log2(B) < 1
1 < B < 2
1 < |x-[(x+1)/2]| < 2
1 < x-[(x+1)/2] < 2 or -2 < |x-[(x+1)/2]| < -1

取高斯以後會是整數，2,1,-2,-1 也都是整數
整數 < x - 整數 < 整數
所以觀察 x 的整數情況就行了
1 - 1 = 0 (N)
2 - 1 = 1 (N)
2.01 - 1 = 1.01 (Y) → 得到 x > 2
3 - 2 = 1 (N) → 得到 x ≠ 3
3.01 - 2 = 1.01 (Y)
3.99 - 2 = 1.99 (Y) → 得到 x < 4
5 - 3 = 2 (N)
6 - 3 = 3 (N)
所以 1 < ... < 2 這邊來看
得到 2<x<4 且 x≠3

往負的看
0 - 0 = 0 (N)
-1 - 0 = -1 (N)
-2 - (-1) = -1 (N)
-2.01 - (-1) = -1.01 (Y) → 得到 x < -2
-3 - (-1) = -2 (N) → 得到 x ≠ -3
-3.99 - (-2) = -1.99 (Y) → 得到 x > -4
-4 - (-2) = -2 (N)
-5 - (-2) = -3 (N)
-6 - (-3) = -4 (N)
所以 -2 < ... < -1 這邊來看
得到 -4<x<-2 且 x≠-3

兩個不等式同時要成立 (交集)
所以 2 < x < 4 or -4 < x < -2 但 x ≠ ±2

如果覺得這樣寫很麻煩
那就畫圖
畫一條L1 : y = x (斜直線)
畫一條L2 : y = [(x+1)/2]取高斯 (階梯狀)
然後畫用這兩條線畫出L3 : y = x - [(x+1)/2] (即 L1 - L2)
L2 階梯平的地方，L3就是斜直線
L2 階梯高起來的地方，L3就從下掉 1
然後用 L3 去判 1<y<2 和 -2<y<-1
畫圖會快一些，答案一樣的

作者: 39475494 時間: 2018-3-7 18:23

第四題到最後都沒人做
大概是因為我說了它應該不難的關係 >"<

這圖是等腰梯形
原因先說一下，因為等腰梯形兩對角互補
所以能共圓
那有唯一性嗎 ? (一定只能是等腰梯形嗎 ?)
此題四邊是 15 15 15 20
4邊長度保持固定之下，四邊形要變形
對角線必會伸長或縮短
而對角線伸長，則另外兩對角就會變大(例如 AC變長，∠B 和 ∠D就會變大)
餘弦定理可以看出來這點
但是 ∠B 和 ∠D 都同時變大(或縮小)，相加就不會 180 了
也就不會共圓了
也就是說， ∠B 和 ∠D 只能在唯一一組角度下共圓
所以等腰梯形能共圓，而且四邊固定長度之下，只會有一個能共圓的四邊形
它就是唯一的一個
剩下就是圖形計算題了
短邊兩端畫垂線下來，左右兩個直角三角形
斜邊 15，底邊 (20-15)/2 = 5/2，高，不知道
畢式可得，高 = 5√35/2
令圓心到長底(20)的距離為 x/2
r² = (20/2)² + (x/2)² = (15/2)² + (5√35/2 - x/2)²
外切正方形面積 = (2r)² = 4r²
= 20² + x² = 15² + (5√35 - x)²
400 + x² = 225 + 25*35 - 2(5√35)x + x²
2(5√35)x = 25*35-175
2x = 5√35 - √35 = 4√35
x = 2√35
外切正方形面積 = 20² + x² = 400 + 140 = 540

作者: 26182848 時間: 2019-2-21 02:03

挖~ 我母校的教師甄試阿~

作者: 21871048 時間: 2020-10-23 09:10

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