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標題: [【學科】] 【數學】資優數學問題請益 [打印本頁]

作者: 33144653 時間: 2018-3-1 09:37 標題: 【數學】資優數學問題請益

圖是這樣?

令 w/z = a+1+bi
(a+1)²+b² = |w/z|² = (1/10)²
A = a+bi
tan²θ = (b/a)²

(a+1)²+b² = (1/10)²
這是一個圓，圓心是 (-1,0)，半徑 1/10
然後θ管角度，tan²θ 要最大，愈直立 | 愈好
最大就是原點畫切線過去那條
直角三角形 1/10 : 1 -> 1 : 10 : √99
tan²θ max = 1/99

紅字的地方不懂請冰大解惑 3Q

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作者: 39475494 時間: 2018-3-1 10:14

圖不是這樣子的
畫圖第一步，你先想好橫軸是什麼，縱軸是什麼 ?
第二步，原點在哪 ? 代表的是什麼
第三步，θ在哪 ?
先把圖畫對了，再去管紅字
這題的討論串不見了 ?

作者: 33144653 時間: 2018-3-1 10:46

本帖最後由 33144653 於 2018-3-1 02:49 編輯

討論串置頂了~~在上面

作者: 33144653 時間: 2018-3-1 16:07

本帖最後由 33144653 於 2018-3-1 08:52 編輯

若是這個方程式 (a+1)²+b² = (1/10)²
我第一個圖應該沒畫錯吧@@

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作者: 22169751 時間: 2018-3-1 17:49

本帖最後由 22169751 於 2018-3-1 17:52 編輯

提供一點想法
以(-1,0)為圓心且半徑為1/10的圓
參數式:
a=-1+ Cosθ/10
b=Sinθ/10
令b/a=(Sinθ/10)/(-1+ Cosθ/10)=k
⇒k²(1-Cosθ/5+Cosθ²/100)=Sin²θ/100=(1-Cos²θ)/100
⇒(k²+1)Cos²θ/100 - k²Cosθ/5 +k² -1/100=0
⇒(k²+1)Cos²θ -20k²Cosθ +100k²-1=0

-1≦Cosθ≦1
圖形開口向上
須滿足判別式≧0且Cosθ=1代入≧0且Cosθ=-1代入≧0
Cosθ=1代入=81k²恆正
Cosθ=-1代入=119k²恆正
判別式= $400k^{4}-4(k^{2}+1)(100k^{2}-1)\geq 0$
$\Rightarrow100k^{4}\geq (k^{2}+1)(100k^{2}-1)$
令k²=a
⇒100a²≧100a²+99a-1
⇒1≧99a⇒1/99≧a⇒1/99≧k²

作者: 39475494 時間: 2018-3-1 19:05

4#
你的 θ 還是標錯了
題目給的 θ = arg(w/z - 1)
即 w/z - 1 的虛部/實部 = tanθ
w/z - 1 = a+1+bi - 1 = a+bi
所以 b/a = tanθ

(a+1)²+b² = |w/z|² = (1/10)²
這是一個圓，所以 (a, b) 就是圓周上的任意一點
但題目問的是 tan²θ 最大的時候，這時的 (a, b) 即是切點
切點有兩個，結果都一樣 (tan²θ)一樣
你再想想 tanθ = b/a ，這裡的θ要畫在哪 ?

作者: 39475494 時間: 2018-3-1 19:08

提供一點想法
以(-1,0)為圓心且半徑為1/10的圓
參數式:
a=-1+ Cosθ/10
b=Sinθ/10
令b/a=(Sinθ/10)/(-1+ ...
22169751 發表於 2018-3-1 17:49

這題是個很漂亮的圖形題
用一些三角函數的概念，然後畫一下圖答案就直接出來了
不用寫一些列式的

作者: 39475494 時間: 2018-3-1 19:26

本帖最後由 39475494 於 2018-3-1 19:28 編輯

樓主
4# 的圖，有比原本的多了一點對，就是 10 和 √99 這個比例對應的線段
如果你把長度畫的更好，圓半徑 0.1 其實很小，10 和 √99 這個幾乎等長
你會發現，你第一個圖 1/10 和 √99/10 其實應該是對調的
tan²θ = 1/99 ? 所以你的 θ 位置錯了
我常建議我親戚的小孩，畫三角的時候，不用畫太準
但感覺要對，這個角很尖 ? 還是大於 45 ? 或是鈍角 ? 最好要畫對
畫對了，相當於多了一層驗算

不過我還是建議你從
tanθ = b/a
(a,b) 為圓周上的點
然後 tan²θ 最大時，(a, b)為切點
然後 θ 要畫在哪 ?

作者: 22169751 時間: 2018-3-1 19:52

這題是個很漂亮的圖形題
用一些三角函數的概念，然後畫一下圖答案就直接出來了
不用寫一些列式的 ...
39475494 發表於 2018-3-1 19:08

多一種想法也不錯

作者: 33144653 時間: 2018-3-1 20:28

圖片附件: 3322.jpg (2018-3-1 20:28, 66.79 KB) / 下載次數 9
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作者: 22169751 時間: 2018-3-1 21:26

一點意見

a如果等於=99/100的話無法滿足(a+1)²+b²=1/100

作者: 33144653 時間: 2018-3-1 21:36

本帖最後由 33144653 於 2018-3-1 13:37 編輯

一點意見
a如果等於=99/100的話無法滿足(a+1)²+b²=1/100
22169751 發表於 2018-3-1 13:26

多謝~~指導~~

作者: 39475494 時間: 2018-3-2 10:05

11# 紅色標的是對的
然後我有兩點補充
1.
在計算上是不用去算a, b 的值
題目問 tan²θ
tanθ = -tan(白點) = - (1 / 10) / (√99 / 10)
可以這樣算出
所以這題，基本上圖畫出來以後，計算量非常少
2.
圖上 tanθ 最大時有兩個，個切圓上面一個切圓下面

作者: 33144653 時間: 2018-3-3 08:23

另外一題我要問的比較簡單
因為冰大解說的很詳細了
假設參數式長上圖這樣則為胖橢圓?

圖片附件: 211.jpg (2018-3-3 08:24, 35.85 KB) / 下載次數 8
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作者: 39475494 時間: 2018-3-5 09:59

是呀
橢圓的定義是到兩焦點距離和為定值(2a)
這式子，焦點是(3m-2, 0)和(3m-10, 0)
焦點距離是固定的 8 (= 2c)
然後 (x, y) 到兩焦點的距離和固定為 10 (= 2a)
a = 5, c = 4，這橢圓也是固定的形狀
而不同的 m ，產生的影響是不同的焦點位置
也就是橢圓的位置會隨著 m 改變

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