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標題: [【學科】] 【數學】對數函數微分 [打印本頁]

作者: 22169751 時間: 2018-7-23 02:54 標題: 【數學】對數函數微分

本帖最後由 22169751 於 2018-7-23 03:43 編輯

$f(x)=\ln { x }$

f'(x)= $\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f(x+h)-f(x) }{ h } } =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { 1 }{ h } (\ln { (x+h)-\ln { x } } ) }$
$=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { 1 }{ h } \ln { (\frac { x+h }{ x } )=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { 1 }{ h } \ln { (1+\frac { h }{ x } ) } } } }$

$=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \ln { { (1+\frac { h }{ x } ) }^{ \frac { 1 }{ h }  } }  } =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \ln { { ({ (1+\frac { h }{ x } ) }^{ \frac { x }{ h }  }) }^{ \frac { 1 }{ x }  } }  }$
$=\ln { { e }^{ \frac { 1 }{ x }  } }$ =1/x
問:從 $\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \ln { { ({ (1+\frac { h }{ x } ) }^{ \frac { x }{ h }  }) }^{ \frac { 1 }{ x }  } }  }$ 怎麼轉成 $\ln { { e }^{ \frac { 1 }{ x }  } }$ 的
是直接把 $\lim _{ h\rightarrow 0 }$ 和   ${ (1+\frac { h }{ x } ) }^{ \frac { x }{ h }  }$ 合成e嗎?
可是中間卡了一個對數函數可以這樣嗎?

求解說感恩

作者: 39475494 時間: 2018-7-24 00:12

是呀
e = lim(t->0) (1+t)^(1/t)

作者: 22169751 時間: 2018-7-24 00:28

本帖最後由 22169751 於 2018-7-24 00:37 編輯

所以一個函數先平方或開根號或取對數...再取極限都會等於先取極限再平方或開根號或取對數...嗎?

作者: 39475494 時間: 2018-7-24 00:38

本帖最後由 39475494 於 2018-7-24 05:28 編輯

e^x = lim(t->無限) (1+x/t)^(t)
1. e^0 = 1，lim(t->無限) (1+0/t)^(t) = 1 (筆誤已更正)
2. e^x微分=e^x，lim(t->無限) (1+x/t)^(t)微分=lim(t->無限) (1+x/t)^(t-1)=lim(t->無限) (1+x/t)^(t)

作者: 22169751 時間: 2018-7-24 00:54

回復 4# 39475494
e^0=0?

作者: 39475494 時間: 2018-7-24 05:33

3# 取極限不是某瞬間的行為，而是持續的行為。
5# 已更正(手機打字容易和腦錯開)

作者: 22169751 時間: 2018-7-24 14:14

本帖最後由 22169751 於 2018-7-24 14:50 編輯

取極限不是某瞬間的行為，而是持續的行為。

不懂

lim(t->無限) (1+x/t)^(t)微分=lim(t->無限) (1+x/t)^(t-1)

關於這行
$\lim _{ t\rightarrow \infty  }{ { (1+\frac { x }{ t } ) }^{ t } }$ 微分= $(\lim _{ t\rightarrow \infty  }{ { (1+\frac { x }{ t } ) }^{ t } } )'$
$(\lim _{ t\rightarrow \infty  }{ { (1+\frac { x }{ t } ) })^{ t } }$ 的微分才會是
$\lim _{ t\rightarrow \infty  }{ { (1+\frac { x }{ t } ) }^{ t-1 } }$ 吧
實際上好像也不是這樣
按照   ${ f(x) }^{ n }$ 微分= $n{ f(x) }^{ n-1 }*f'(x)$ 來看的話
應該是 ${ t(\lim _{ t\rightarrow \infty  }{ (1+\frac { x }{ t } ) }  })^{ t-1 }*(\lim _{ t\rightarrow \infty  }{ (1+\frac { x }{ t } ) } )'$

還是這2個其實是同樣的意思這樣的話又回到我3#的問題了
ps.這2個指的是(1+(x/t))先t次方再極限or先極限再t次方

抱歉問了一堆鳥問題

作者: 39475494 時間: 2018-7-24 15:14

本帖最後由 39475494 於 2018-7-24 16:34 編輯

你對 lim(t->∞) f(x) 這東西似乎有點想太多
這個東西的意思是，f(x)裡面的 t ，它的大小趨近於無窮大
那 (lim(t->∞) (1+x/t))^t 這是啥 ?
這兩個 t 是同一個 t 嗎 ? 一個式子裡面出現兩個 t ，說它們不是同個說不過去吧
那同個 t 的話，裡面的 t 是趨近於∞，後面的 t 次方的 t ，不一樣也是趨近於∞ ?
所以其實沒有這樣寫的
把它寫成 lim(t->∞) [(1+x/t)^t]
t->∞ 是對它整個 (1+x/t)^t 都作用

取極限是一個解題操作，事實上 lim 是一開始就置入的設定
其意義就是告知式子裡的 t 是多少
比方 t->1 表示，式子裡的 t 非常接近 1 ，但不等於 1
你只要這點一直保持住，就行了，其它都是它的衍生技巧

最後微分後 = lim(t->∞) (1+x/t)^(t-1) 是對的
「按照...」是對的
但「應該是 t.....」那個你就沒去處理好了
對照公式的話 f(x) 是 1+x/t，所以 f'(x) = 1/t
然後和左邊的 t 消掉 (左邊的 t 放進 lim 裡面)
你再想一下
別擔心鳥不鳥，有問題就問比較好，沒有人是萬能的。

作者: 22169751 時間: 2018-7-24 15:49

懂了
lim和sin或是log不同不是函數的一種
不是對於所有的x做變化
而是令x接近某個值的表示

1#lim(h->0)可以把函數內有h的項目拉出來合成e(因為對所有h使之->0)

所以(1+(x/t))先t次方再極限or先極限再t次方是同樣的意思
只是不會有後面那種表示法

作者: 39475494 時間: 2018-7-24 23:39

是呀
你學的 lim 的計算技巧
說白了就是在探討怎麼處理 lim (某個東西->某個值)後，f(x)會變多少

作者: 22169751 時間: 2018-10-21 22:28

本帖最後由 22169751 於 2018-10-21 22:43 編輯

更正:有後面這種表示法

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