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標題: [【學科】] 【數學】多項式 [打印本頁]

作者: 45407560 時間: 2018-8-2 17:27 標題: 【數學】多項式

請教此題

以下是解答及我的想法:
想問我利用圖形的最低點與X軸作為切線，並藉此來得到重根，即為最小值，但卻得不出答案呢?

想請教我的想法及何處出錯，謝謝各位的解答

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作者: 22169751 時間: 2018-8-2 17:53

D=a²-4a+8恆>0
所以原式x²+ax+a-2與y=0恆有2交點
不會有交於一點的情況(D=0)

作者: 39475494 時間: 2018-8-3 17:38

本帖最後由 39475494 於 2018-8-3 17:46 編輯

x²-ax+(a-2)=0 的兩個根為 α β
換言之
y = x²-ax+(a-2) 和 y = 0(即 x 軸)
的交點為 x=α 和 x=β

|α-β| 相當於 α 和 β 的距離
所以，如果可以，只交一點的話
|α-β| = 0 是最小的

但你自己都証明了，這是不可能的
(1/4)a²-a+2 = 0 ，a 是無解
補充：2# 寫的 D>0 和你的這個是一樣的東西
判別式 D 其實就是從完全平方配出來的
所以，你想簡單了
如果你找到 a，a 存在，可以，你答對了
但 a 不存在，這題就不是這樣想的

這個想法的前半段一樣可以用
只是 |α-β| 最小是 ≠0 的 (沒辦法)
回憶一下二次方程的根： x = [-b±√(b²-4ac)]/(2a)
所以兩根的距離 = 2√(b²-4ac)/(2a) = √(b²-4ac) / a
= √[(b/a)²-4(c/a)]，這裡的 a b c 是 ax²+bx+c = 0 式中的
所以對應這題
|α-β| = √[(a/1)²-4(a-2)/1] = √(a²-4a+8)
= √[(a-2)²+4]
所以在 a = 2 時，|α-β| 有最小值 √4 = 2
當然，一樣也可以用完全平方法
因為二次方程的根： x = [-b±√(b²-4ac)]/(2a) 也是完全平方配出來的
x²-ax+(a-2)=0
(x-a/2)² = 2-a+a²/4
x-a/2 = ±√(2-a+a²/4)
|α-β| = 2√(2-a+a²/4) = √(a²-4a+8) = √[(a-2)²+4] 一樣

作者: 45407560 時間: 2018-8-4 08:40

原來如此~謝謝上面兩位老師的細心講解!!

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