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標題: [【學科】] 【數學】空間幾何-點到線之距離 [打印本頁]

作者: 45407560 時間: 2018-10-18 11:43 標題: 【數學】空間幾何-點到線之距離

本帖最後由 45407560 於 2018-10-18 08:04 編輯

請教各位:

請教題目C題目(下面是我的算法)

答案是2√5
此題有利用內積的方式求出答案
但另外我有學到利用面積求出解答，也在其他題目利用類似題用此方式求出答案
但這裡我卻無法求出，請教為何?

再請教第一題(下面是題目解答)

以下是我的作答

我的想法:我認為在點到線的垂直距離才是面到線的最長距離，否則若面以線為軸而轉動，距離會更小
但答案卻不是如此

另外，我不是很了解答案為何用直線系，可以麻煩解釋一下它的含意嗎?

謝謝各位的指教!!

(P.S. 我不知道為甚麼我的字體大小一直亂跳，請見諒)

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作者: 22169751 時間: 2018-10-18 13:05

本帖最後由 22169751 於 2018-10-18 13:38 編輯

(1+t,2t,-1+2t)
上面那題我算2√5
平面族:參考bbs.61.com.tw/viewthread.php?tid=452657

作者: 45407560 時間: 2018-10-18 16:04

本帖最後由 45407560 於 2018-10-18 08:07 編輯

抱歉!答案打錯了，的確是2√5，謝謝

作者: 22169751 時間: 2018-10-18 17:14

本帖最後由 22169751 於 2018-10-18 17:17 編輯

你用面積算是多此一舉
求出PA=(0,-4,2)算出PA長度就是答案了

作者: 39475494 時間: 2018-10-21 20:41

P(3, -1, 2)
L:x/3 = (y+6)/1 = (z-2)/2
這題如果我解的話
先找一個平面 M ，這個平面包含 P 點，且和 L 垂直
因為 M 平面和 L 垂直，且 P 在 M 上
所以 P 做垂線到 L ，這條垂線也會在 M 上
垂足 Q 點也會在 M 上，Q 點即為 M 和 L 的交點
把 Q 解了， PQ 就是最短距離
L 的分母 (3, 1, 2) 這是 L 的方向向量
也就是 M 的法線向量
所以直接令 M : 3x+y+2z = c
然後 p 點(3, -1, 2)代入
c = 12，M : 3x+y+2z = c
Q 為 M 和 L 的交點
令 x/3 = (y+6)/1 = (z-2)/2 = t 把它變成參數式
3x+y+2z = 12
3(3t)+(t-6)+2(2t+2) = 12
14t = 14， t = 1
Q點 (3, -5, 4)
P點(3, -1, 2)
PQ = √(0+4²+2²) = √20 = 2√5

作者: 39475494 時間: 2018-10-21 20:51

用面積呀
P(3, -1, 2)
L:x/3 = (y+6)/1 = (z-2)/2
L 上面取一點 Q(0, -6, 2) ，它不是垂足了唷
QP向量 = (3, 5, 0)
L 上取另一點 R，QR向量 = (3, 1, 2)，R 亦在 L 上面
△PQR = |(3, 5, 0)×(3, 1, 2)| / 2
= |(10, -6, -12)|/2 = √280 / 2
= |QR|d/2 (d 為最短距離)
= d√14/2
所以 d = √20 = 2√5
可以用面積

Q

作者: 39475494 時間: 2018-10-21 21:17

下一題
你說「我的想法:我認為在點到線的垂直距離才是面到線的最長距離，否則若面以線為軸而轉動，距離會更小」
你說的是對的呀!!
它用了第三個解法
它先算了 L : (x-1)/1 = y/2 = (z+1)/2
然後隨便找了兩個彼此不平行且包含 L 的平面
找法的話，L 的方向向量(1, 2, 2)和兩平面的法線向量垂直且兩平面過(1, 0, -1)即可
所以，它就隨意的找了 (2, -1, 0) (0, 1, -1) 當兩個平面的法線向量，然後(1, 0, -1)代入解常數項
得到 M : 2x - y - 2 = 0，N : y - z - 1 = 0
PS : (2, -1, 0) (0, 1, -1) 有無限多組可以找唷，不過找有 0 的比較好計算
你想練你的計算能力的話，(124, -101, 39) 也行的唷
然後，令某個包含 L 的平面方程式為 (2x - y - 2) + k(y - z - 1) = 0
哇，2# 是有把以前的文章做紀錄嗎 ? 這個兩年多前了耶
bbs.61.com.tw/viewthread.php?tid=452657
我就不用重新說明了

老實說，不要發瘋用這個方式計算
它分子的 k 不一定會消的掉唷
它消掉的原因是它取的 y - z - 1 = 0 ，P(1, 1, 0)代進去也剛好 = 0
請用你的想法去解，答案會一樣的 !!

作者: 39475494 時間: 2018-10-21 21:32

L : (x-1)/1 = y/2 = (z+1)/2
P(1, 1, 0)
令平面 M 包含 P 且垂直 L
M : x+2y+2z = c
P 代入 c = 3
M : x+2y+2z = 3
M 和 L 解交點 Q
令 (x-1)/1 = y/2 = (z+1)/2 = t
x = t+1, y = 2t, z = 2t - 1
(t+1)+2(2t)+2(2t - 1) = 3
9t = 4， t = 4/9
Q(13/9, 8/9, -1/9)
P(1, 1, 0)
PQ = (1/9)√(4²+1²+1²) = √18/9 = √2/3
答案一樣

作者: 39475494 時間: 2018-10-21 21:39

這裡有個建議
其實你的想法和疑問，你自己可以証明
就是去試著計算看看
算出來的結果不一樣 ? 那就多算幾次，找自己的 bug
有些想法或是計算技巧，會是這樣子被磨出來的

作者: 39475494 時間: 2018-10-21 21:43

對了，你的面積解法，你取的A(3, -5, 4) 剛好是垂足點
這是巧合
所以還是要去計算外積再除以底長唷 !!

作者: 22169751 時間: 2018-10-21 22:11

本帖最後由 22169751 於 2018-10-21 22:17 編輯

哇，2# 是有把以前的文章做紀錄嗎 ? 這個兩年多前了耶

沒只是剛好想到以前有人問過平面族
然後我有回覆過

對了，你的面積解法，你取的A(3, -5, 4) 剛好是垂足點
這是巧合

如果他是利用內積=0算的就不是了

作者: 39475494 時間: 2018-10-21 22:29

沒只是剛好想到以前有人問過平面族
然後我有回覆過
如果他是利用內積=0算的就不是了 ...
22169751 發表於 2018-10-21 22:11

他寫的公式，那個應該是外積
看式子也有點像唷
第二張，利用面積 ... 那個

作者: 45407560 時間: 2018-10-22 09:30

https://imgur.com/a/TaSxZMQ

這個說法是我老師說的......請問是甚麼問題嗎?

作者: 39475494 時間: 2018-10-22 14:10

一般外積好像是更後面才會教到的課程，高三 ?
加上你沒有寫計算過程
所以另一位沒感覺到你是用外積計算

外積計算方式我就不寫了
計算結果是一個向量
大小 = 兩向量弄出來的平行四邊行面積
方向 = 與兩向量垂直的向量
(用你的右手四指去抓先後，大姆指是結果)

還有，我上面寫的，你有不懂的地方嗎 ?

作者: 22169751 時間: 2018-10-22 14:24

回復 14# 39475494

一般外積好像是更後面才會教到的課程，高三

高二

作者: 22169751 時間: 2018-10-22 15:09

另解:設參數式Q(3t,t-6,2t+2)
PQ(3t-3,t-5,2t)
最小值=√(3t-3平方+t-6平方+2t+2平方)
用配方法求極值

作者: 45407560 時間: 2018-10-22 22:58

本帖最後由 45407560 於 2018-10-22 14:59 編輯

可以可以!

至於10# 不管是不是垂足都還是可以算面積的吧

6# 奇怪~我的想法跟你的一模一樣阿，只不過我取的點是A(3,-5,3)，你取Q(0, -6, 2)
   阿~我代錯代到A點去了

然後我現在才發現除了第一題外，我的第二題算式第一行的A點中的z座標應該是-1+2t
果然debug後就對了...

   果然各位說的是，即便觀念會了，眼拙、算錯等同不會算...
   真的很不好意思，耽誤各位的心力，而我當時確實是算了好幾次(等同眼拙好幾次)

再次謝謝兩位老師的辛勞!!

作者: 39475494 時間: 2018-10-23 09:27

「至於10# 不管是不是垂足都還是可以算面積的吧」
當然都可以
但你沒寫計算過程，垂足剛好就能直接冒答案出來
所以才會多講你要用面積除以底的方式去算高(點到線的距離)

呃，其實我的重點不在「等不等同不會算」這件事
而是你要有心去「反覆驗証」
眼拙好幾次，這是另一種榮耀
大多數的人錯了就在等解答，頂多回鍋一兩次
根本沒有眼拙好幾次的機會
而且最重要的，這種反覆是會讓你的思考更完整
就算最後還是沒解出答案，也會對你有幫助。

作者: 45407560 時間: 2018-10-23 17:59

好的，謝謝冰老師

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