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標題: [【學科】] 【數學】分享一個有趣的數學題 [打印本頁]

作者: 44133122 時間: 2019-11-7 22:16 標題: 【數學】分享一個有趣的數學題

一個半圓等角均分成八等分,把均分的點連成圖片中那樣
其中紅色部分面積加起來會是1/4個圓
請問要如何確認這個結果?

這題解法很多種
如果看過解答的就麻煩先保密一下囉

提示這題只要國中數學就可以解了
圓.jpg

圖片附件: 圓.jpg (2019-11-7 22:10, 53.9 KB) / 下載次數 22
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作者: 39475494 時間: 2019-11-8 09:56

白色有三塊
我可以証明上面那一點點+下面直徑邊的那塊 = 1/8 圓
中間那塊 = 1/8 圓
然後紅的 = 1/2 圓 - 白的 = 1/2 圓 - 2/8 圓 = 1/4 圓
思路大概這樣

作者: 44133122 時間: 2019-11-8 10:49

白色有三塊
我可以証明上面那一點點+下面直徑邊的那塊 = 1/8 圓
中間那塊 = 1/8 圓
然後紅的 = 1/2 圓 - 白 ...
39475494 發表於 2019-11-8 01:56

請問有過程嗎不太懂這個結果是怎麼來的

作者: 39475494 時間: 2019-11-8 12:30

請問有過程嗎不太懂這個結果是怎麼來的
44133122 發表於 2019-11-8 10:49

讓別人也解一解吧
沒人解的話我再寫

作者: 23909504 時間: 2019-11-8 14:16

用座標下去帶求面積?

作者: 39475494 時間: 2019-11-8 15:10

用座標下去帶求面積?
23909504 發表於 2019-11-8 14:16

這個方法不好
一來角度有 22.5度，這是高中範圍了
二來不易計算
sin22.5° 是多少? 麻煩呀

作者: 22169751 時間: 2019-11-8 15:33

畫對角線?

作者: 23909504 時間: 2019-11-8 22:43

這題看起來很簡單
但真的要算很難

作者: 22169751 時間: 2019-11-10 03:36

證:白色(上+下)=1/8圓
圖.png

白色(上+下)=白色(上)+藍色+咖啡色
1/8圓=藍色+紫色

同減藍色
白色(上+下):白色(上)+咖啡色
1/8圓:紫色

同減白色(上)
白色(上+下):咖啡色=1*線段DJ/2
1/8圓:三角形HDE=1*線段EK/2
線段DJ=線段EK

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作者: 22169751 時間: 2019-11-10 14:56

證:白(中)=1/8圓
圖2.png

白(中)=梯形CDEF+2*白(上)
1/8圓=箏形ABGE+2*白(上)

同減2*白(上)
白(中):梯形CDEF=線段CE*(線段FK+線段CH)/2=√2*線段FJ/2
1/8圓:箏形ABGE=線段AG*線段BE/2=線段BE/2

√2*線段FJ=線段FG=線段BE

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作者: 39475494 時間: 2019-11-11 13:19

先把八個邊抵消掉(4白4紅)
用10# 的圖的話就是BG割掉的那個小面積有八個
再來ABG 和 IBG 同高，底為兩倍(2r 和 r)
所以 IGB = 2 * ABG
所以 IBG + BG小面積 + 最上面那塊小面積 = 2 * (1/16)圓 = (1/8)圓

另一個 EFCD 是等腰梯形
面積 = EFC + EFD (等腰梯形對角線連起來切四塊，左右兩塊一樣大)
畫兩條輔助線，EF中點P連到圓心，這是一條垂直於EF 的線
另外一條CD中點Q連到圓心，一樣
這有個關鍵，這兩條輔助線是互相垂直的
然後，EF 為底，EFC 的高 + EFD 的高 = 2*PA
所以 EFC + EFD = 2 * EFA (同底)
所以梯形 = 2 * EFA
然後把割掉的小面積補兩塊回去，可以得到中間白色那塊面積 = 2塊扇形面積 = (1/8)圓

作者: 44133122 時間: 2019-11-12 20:47

分享一下網路超神解法不用計算速解

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作者: 39475494 時間: 2019-11-13 10:58

差不多
這種題目不會用計算的
就是看底和高的比例而已
你的方法是同底，等高去變形，拼出半圓
讓人理解的效果還不錯
但解法寫起來費事，你要畫一堆圖，然後加以描述，考試的話很花時間

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