[【學科】] 【數學】對數函數微分

本帖最後由 22169751 於 2018-7-23 03:43 編輯

$f(x)=\ln { x }$

f'(x)= $\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f(x+h)-f(x) }{ h } } =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { 1 }{ h } (\ln { (x+h)-\ln { x } } ) }$
$=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { 1 }{ h } \ln { (\frac { x+h }{ x } )=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { 1 }{ h } \ln { (1+\frac { h }{ x } ) } } } }$

$=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \ln { { (1+\frac { h }{ x } ) }^{ \frac { 1 }{ h }  } }  } =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \ln { { ({ (1+\frac { h }{ x } ) }^{ \frac { x }{ h }  }) }^{ \frac { 1 }{ x }  } }  }$
$=\ln { { e }^{ \frac { 1 }{ x }  } }$ =1/x
問:從 $\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \ln { { ({ (1+\frac { h }{ x } ) }^{ \frac { x }{ h }  }) }^{ \frac { 1 }{ x }  } }  }$ 怎麼轉成 $\ln { { e }^{ \frac { 1 }{ x }  } }$ 的
是直接把 $\lim _{ h\rightarrow 0 }$ 和   ${ (1+\frac { h }{ x } ) }^{ \frac { x }{ h }  }$ 合成e嗎?
可是中間卡了一個對數函數可以這樣嗎?

求解說感恩

星之城
EE

淘米Lv2會員

Rank: 6 Rank: 6

2^#

22169751發表於 2018-7-24 00:28 | 顯示全部帖子

本帖最後由 22169751 於 2018-7-24 00:37 編輯

所以一個函數先平方或開根號或取對數...再取極限都會等於先取極限再平方或開根號或取對數...嗎?

星之城
EE

TOP

淘米Lv2會員

Rank: 6 Rank: 6

3^#

22169751發表於 2018-7-24 00:54 | 顯示全部帖子

回復 4# 39475494
e^0=0?

星之城
EE

TOP

淘米Lv2會員

Rank: 6 Rank: 6

4^#

22169751發表於 2018-7-24 14:14 | 顯示全部帖子

本帖最後由 22169751 於 2018-7-24 14:50 編輯

取極限不是某瞬間的行為，而是持續的行為。

不懂

lim(t->無限) (1+x/t)^(t)微分=lim(t->無限) (1+x/t)^(t-1)

關於這行
$\lim _{ t\rightarrow \infty  }{ { (1+\frac { x }{ t } ) }^{ t } }$ 微分= $(\lim _{ t\rightarrow \infty  }{ { (1+\frac { x }{ t } ) }^{ t } } )'$
$(\lim _{ t\rightarrow \infty  }{ { (1+\frac { x }{ t } ) })^{ t } }$ 的微分才會是
$\lim _{ t\rightarrow \infty  }{ { (1+\frac { x }{ t } ) }^{ t-1 } }$ 吧
實際上好像也不是這樣
按照   ${ f(x) }^{ n }$ 微分= $n{ f(x) }^{ n-1 }*f'(x)$ 來看的話
應該是 ${ t(\lim _{ t\rightarrow \infty  }{ (1+\frac { x }{ t } ) }  })^{ t-1 }*(\lim _{ t\rightarrow \infty  }{ (1+\frac { x }{ t } ) } )'$

還是這2個其實是同樣的意思這樣的話又回到我3#的問題了
ps.這2個指的是(1+(x/t))先t次方再極限or先極限再t次方

抱歉問了一堆鳥問題

星之城
EE

TOP