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你計算短軸頂點
為什麼不代回 M ，而去代入二次的 P 自找麻煩呢 ?
x=(√3)/3 代入 M: y = -x = -√3/3

這題要旋轉
兩個方式，但不管哪個方式都要算相對關係

一個是直接 x = ax' + by'，y = cx' + dy' 去換原方程式的x , y。
另一個則是x' = ex + fy，y' = gx + hy 去計算兩焦點移到哪了。
然後再用點到兩焦點的距離和 = 2a 去列出橢圓方程式。
不管哪個，都要處理旋轉這件事。

旋轉前，要先確定兩個點，一個是橢圓的中心點，一個是長軸旋轉時的中心點
y=x 和 y=2x，交點在原點，所以這個旋轉動作是繞著原點轉的
(-x)²+(-y)²=(-x)(-y)+1 → x²+y²=xy+1，圖形對稱於原點，原點是橢圓的中心點
然後，就用那兩個方式擇一解吧

對了，有答案嗎 ?

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y = x 轉成 y = 2x
(a, a) 變成 (a, 2a) 然後長度拉回和 (a, a) 一樣
長度縮了 √2/√5，變成 (√2a/√5, 2√2a/√5)
所以
原本的焦點為  (±2/√6, ±2/√6)
後來的焦點為 (±2/√15, ±4/√15)
你沒算錯

然後 √[(x - 2/√15)² + (y - 4/√15)²] + √[(x + 2/√15)² + (y + 4/√15)²] = 2√2
是不太好處理，那還是用第一個方法好了。

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y=x → y/x = 1
y=2x → y/x = 2
tanθ = tan(β-α) = (tanβ-tanα)/(1+tanβtanα) = (2-1)/(1+2*1) = 1/3
sinθ = 1/√10 , cosθ = 3/√10
x' = cosθ x - sinθ y
y' = sinθ x + cosθ y
x = cosθ x' + sinθ y' = (3x'+y')/√10
y = -sinθ x' + cosθ y' = (-x'+3y')/√10
x²+y²=xy+1
(3x'+y')²/10 +  (-x'+3y')²/10 = (3x'+y')(-x'+3y')/10 + 1
(3x'+y')² +  (-x'+3y')² =  (3x'+y')(-x'+3y') + 10
這樣應該比較好解了

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x' 不是 對 x 微分
不然我就直接寫 x' = 1 了
x', y' 是另一組座標值。

假設 (x, y) 旋轉 θ 後，變成 (x', y')
假設 (x, y) 和 x 軸的夾角是 α，即 x = rcosα，y = rsinα
假設 (x', y') 和 x 軸的夾角是 β，即 x' = rcosβ，y' = rsinβ
θ = β - α
x' = rcosβ = rcos(θ+α) = cosθrcosα - sinθrsinα
=cosθ x - sinθ y
其他自己推吧

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是的
這個影片和我用的代號還蠻像的