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這次在 A，下一次在 A 的機率就是 0
這次不在 A，下一次在 A 的機率就是 1/3
a(n+1) = an * 0 + (1 - an) *1/3 = 1/3 - an/3
a0 = 1
a1 = 1/3 - 1/3 = 0
a2 = 1/3 - 0/3 = 1/3
a3 = 1/3 - 1/3/3 = 2/9
a4 = 1/3 - 2/9/3 = 7/27
a5 = 1/3 - 7/27/3 = 20/81
an = 1/3 - a(n-1)/3
= 1/3 - [1/3 - a(n-2)/3]/3
= 1/3 - 1/(3^2) + a(n-2)/3^2
= 1/3 - 1/(3^2) + [1/3 - a(n-3)/3]/3^2
= 1/3 - 1/(3^2) + 1/(3^3) - a(n-3)/(3^3)
= ... = 1/3 - 1/(3^2) + 1/(3^3) - 1/(3^4) + ... + (-1)^(n-2) * 1/[3^(n-1)] + (-1)^(n-1) * 1/(3^n) + (-1)^n * a0/(3^n)
PS : a0=1 代入，最後兩項消掉，其實從 a1 = 0 也可以先猜到最後兩項會消
       因為 a1 = 等比和 + (-1)^n * a0/(3^n)，而此時等比數列只有一項
= 1/3 - 1/(3^2) + 1/(3^3) - 1/(3^4) + ... +(-1)^(n-2) * 1/[3^(n-1)]
= 等比級數和 ，其中 首項=1/3，公比=-1/3，項數=n-1
= (1/3)[(-1/3)^(n-1) - 1]/(-1/3 - 1)
= (1/3)[(-1/3)^(n-1) - 1]/(-4/3)
= (-1/4)[(-1/3)^(n-1) - 1]
= 1/4 + (3/4)(-1/3)^n

這題是選擇，請代數字來判斷就行了。
n=0 代入，a0 = 1，對。
n=1 代入，a1 = 0，對。
n=2 代入，a2 = 1/3，對。
n=3 代入，a3 = 2/9，對。
n=4 代入，a4 = 7/27，對。
像這樣就行了。