39475494

cos(pi/7)，令 θ = pi/7
想法：你要列出一個 θ 的等式出來
cos3θ + cos4θ = 0
大概評估一下，這個等式會到 cosθ 的四次
所以到時候，等式還要想辦法消掉一次

cos3θ + cos4θ = 0
4cos³θ - 3cosθ + 2(cos2θ)² - 1 = 0
4cos³θ - 3cosθ + 2(2cos²θ-1)² - 1 = 0
令 x = cosθ = cos(pi/7)
4x³ - 3x + 2(2x²-1)² - 1 = 0
4x³ - 3x + 8x^4-8x²+2 - 1 = 0
8x^4 + 4x³ - 8x² - 3x + 1 = 0
(觀察一下，x = -1 代入左式，左式 =8-4-8+3+1 = 0)
(x+1)(8x³-4x²-4x+1) = 0
因為 x+1 = cos(pi/7) + 1 ≠ 0
所以 8x³ - 4x² - 4x + 1 = 0

39475494

4#
角度和 = 180 (互補)，cos 相加就 = 0
cos20 + cos160 = 0
cos44 + cos136 = 0
cos(3pi/7) + cos(4pi/7) = 0
或者也可以說 cosA = - cos(180-A)
3#
嗯，一來是最近忙，二來也是想看看有沒有人會來解
對了，有想過 8x³ - 4x² - 4x + 1 = 0 的根嗎 ?
除了 cos(pi/7) 以外，還有誰 ?
---
原本是從 cos3θ + cos4θ = 0 導來的
這式要符合，3θ + 4θ 要等於 pi, 3pi, 5pi, 7pi …
所以 θ = (pi/7), (3pi/7), (5pi/7), (7pi/7)
再下去cos(9pi/7) = cos (5pi/7) 一樣了
所以 根是 cos(pi/7), cos(3pi/7), cos(5pi/7)
而 cos(7pi/7) = -1 ，這個是降次的那個 (x+1)