39475494

證明
|z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|
其中z1, z2 皆為複數
請問我應該怎麼下手
以下開放討論
46733194 發表於 2014-10-15 03:14

在複數平面上畫出圖來
這只是三角形兩邊長之和大於等於第三邊而已

39475494

首先畫圖不代表證明
就實數而言是這樣沒錯
但是應該怎麼去討論

我一剛開始的想法是兩邊同時平方
但是做到一半就卡住了!!
46733194 發表於 2014-10-15 11:12

畫圖為什麼不能代表証明呢 ?
這不是實數而已唷，這畫的是複數平面呀

不然這樣証好了
令 z1 = a+bi , z2 = c+di
|z1|² = a²+b² , |z2|² = c²+d²
|z1+z2|² = (a+c)²+(b+d)² = a²+2ac+c² + b²+2bd+d²
= |z1|² + |z2|²+ 2(ac+bd)
<= |z1|² + |z2|²+ 2(√(a²+b²)√(c²+d²))  (柯西不等式)
= |z1|² + |z2|²+ 2(|z1||z2|)
= (|z1| + |z2|)²
所以 |z1+z2|<=|z1|+|z2|

其實柯西不等式就是二邊和大於等於第三邊的延伸公式
柯西不等式 (a1b1+a2b2+...)² <= (a1²+a2²+...)(b1²+b2²+...)
兩邊開根號，因為右式恆大於等於0，所以 (a1b1+a2b2+...) <= √(a1²+a2²+...) * √(b1²+b2²+...)
這是什麼，這是有兩個點，一個是 A(a1, a2, ...)，一個是B(b1 ,b2, ...) (多維空間)
AB的內積 <= A邊長 * B邊長
兩邊 *2，再同時加上|A|²+|B|²
就變成 |A+B|² <= |A| + |B|

不喜歡用柯西証明的原因，因為我覺得這是本末倒置
兩邊和大於等於第三邊，用柯西或是用三角函數去証明，不是在繞遠路嗎 ?

39475494

這樣說好了
你會用畢式定理，去証明直角三角形中斜邊最長嗎 ?
↑ 如果考出來，我會想問出題老師，你的眼睛還好吧 @_@
你在看到「直角三角形中斜邊最長」的時候，會去想畢式定理嗎 ?
更誇張的話，你會用sin² + cos² 去証明畢式定理嗎 ?

39475494

可以用科西不等式證明
我查了柯西不等式的定義域
是定義在複數之下的

這時又產生了一個問題
必須先證明過柯西不等式
才能拿進來用

我還是得強調一點
畫圖不代表證明
圖可以輔助思考邏輯
但是不能只畫圖就能證明了 ...
46733194 發表於 2014-10-17 11:02

畫圓當然還要加上說明呀
你的1#，是問「請問我應該怎麼下手」
所以我才說了畫圖 ...
我並非指純畫圖，我是指畫圖加上說明

所有的條件和x,y圖上的三角不等式一致時，為什麼不能利用三角不等式來證明 ?
複數是一個假想的域
所有的東西存在一個和直實域相符的情境
就像他定義了|z1| 這個東西，這是複數平面的長度，|z1|² = (a+bi)(a-bi)，為什麼 ?
因為要符合基本的規則，你懂我的意思嗎 ? 是算式要符合圖形，圖形是根本
你現在是學生，我瞭解，你們所謂的証明，就是寫一堆列式，去推出你要的東西，盡管他們並不直覺或是繞了一圈

39475494

已下附上跟同學討論出的結論
其中 bar(a+bi)=a-bi  ,   Re(a+bi)=a
|z1+z2|^2=(z1+z2)(bar(z1+z2))=(z1+z2)(bar(z1)+bar(z2))
=z1*bar(z1)+z2*bar(z2)+z1*bar(z2)+z2*bar(z1)
=|z1|^2+|z2|^2+2Re(z1*bar(z2))

then
2Re(z1*bar(z2))≦2|z1*bar(z2)|≦2|z1|*|bar(z2)|
...
46733194 發表於 2014-10-17 11:15

剛親戚來，寫到一半就陪他們去逛了 ...
你看一下這個(你寫的過程)
2Re(z1*bar(z2))≦2|z1*bar(z2)|≦2|z1|*|bar(z2)|
把2 消掉後，Re(z1*bar(z2))≦|z1|*|bar(z2)|
令 z1 = a+bi, z2 = c+di
Re((a+bi)(c-di))≦|a+bi|*|c-di|
(ac+bd) ≦ (√(a²+b²)√(c²+d²))
這就是科西不等式，一樣的東西 .....
我拿我寫的東西給你看 ....
|z1|² + |z2|²+ 2(ac+bd)
<= |z1|² + |z2|²+ 2(√(a²+b²)√(c²+d²)) (柯西不等式)

39475494

我之前舉了一個例
直角三角形斜邊最長這件事
我把這個列子再拉遠一點
直線L:y=ax+b，線外一點P，做垂直於L的線段PQ，交L線於Q點，試証PQ為P點到L之最短距離
我問一下，你覺得証明可以這樣証嗎 ?
設 M 點為L線上異於Q點之任意一點
連接PM，此時△PQM為直角三角形，PM為斜邊
因為直角三角形斜邊 >= 另外兩邊，所以 PM >= PQ
又M為L上非Q之任意一點，所以PQ為P到L上最短的距離
還是你認為斜邊最長這點不能拿來用
解答一定要用畢式定理，然後PM²= QM²+PQ²
∵QM² >= 0∴PM² >= PQ²，又PM>=0, PQ>=0
∴PM>=PQ ← 這樣去得到斜邊最長這件事
又M為L上非Q之任意一點，所以PQ為P到L上最短的距離

沒關係，你想一想，我不知道你們的想法和得到的結論

39475494

話說今天段考老師上面提是寫：「運用三角不等式」

BUT...三角不等式到底是.....?
25629116 發表於 2014-10-17 14:21

任意兩邊長之和>=第三邊
任意兩邊長之差<=第三邊

39475494

對了 ，有一個小地方，想一想還是說一下
2|z1*bar(z2)|≦2|z1|*|bar(z2)|
其實是2|z1*bar(z2)|=2|z1|*|bar(z2)| 比較好
|z1*z2| = |z1|*|z2|
因為z1 = |z1|(cosΘ1 + isinΘ1), z2 = |z2|(cosΘ2 + isinΘ2)
z1*z2 = |z1||z2|(cosΘ1 + isinΘ1)(cosΘ2 + isinΘ2)
=  |z1||z2| [cos(Θ1+Θ2) + isin(Θ1+Θ2)]
|z1*z2| = |z1|*|z2|

39475494

最後這個部分
是為了想跟同學不太相同
所以改的

基本上是可以接受的吧!
46733194 發表於 2014-10-20 09:03

理論上 a <= b = c，是可以寫 a <= b <= c
可是，我是老師的話，我會認為你對這裡是模糊的，會扣分
但你們能用這樣的列式証明，已經很不錯了