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如題，想問疑謝以下這些數字的倍數判別法的原因。
25235412 發表於 2014-10-29 12:58

首先，有個道理你要先知道
判斷 a 是否為 b 的倍數 <-等同-> 判斷 a±bm 是否為 b 之倍數 (反之亦然)
舉例來說
你想判斷 7760 是不是 7 的倍數 ? 但你知道 7700 是 7 的倍數
所以你只要判斷 60 是不是 7 的倍數就行了
60 不是 7 的倍數，所以 7760 不是 7 的倍數
下面全部都是利用這樣的關係在操作

如題，想問疑謝以下這些數字的倍數判別法的原因。
2:判斷末一位是否為2的倍數，若是則為2的倍數。
因為 10 是 2 的倍數，所以十位數以上的部分不用考慮
例 452 ，450 是 2 的倍數，所以等同判斷個位數2就行了

4:判斷末二位是否為4的倍數，若是則為4的倍數。
因為 100 是 4 的倍數，就不舉例了

8:判斷末三位是否為8的倍數，若是則為8的倍數。
因為 1000 是 8 的倍數，就不舉例了

3:判斷所有數字和是否為3的倍數，若是則為3的倍數。
因為 9 = 10 - 1，而9又是3的倍數
所以千位數移到百位數，百位數移到十位數，十位數移到個位數
都是在做 -900a, -90b, -9c 的運算
-900a = -1000a + 100a ，這就像是把a從千位數移到百位數一樣
例，判斷345
345 -3*90 = 75， 75 - 7*9 = 12
這如同345中，把3移到十位數和4相加=7
然後 7移到個位數和5再相加=12，最後12是3的倍數，所以345也會是3的倍數
那一次全做，就如同所有數字和了

9:判斷所有數字和是否為9的倍數，若是則為9的倍數。
因為 9 = 10 - 1，就不舉例了

5:判斷末一位是否為5的倍數，若是則為5的倍數。
因為 10 是 5 的倍數，就不舉例了

25:判斷末二位是否為25的倍數，若是則為25的倍數。
因為 100 是 25 的倍數，就不舉例了

7:由右至左三個數字為一節，判斷奇位數節與偶位數節和的差是否為7的倍數，若是則為7的倍數。
因為 1001 = 1000 + 1 是 7 的倍數
所以千位數可以和個位數相消，萬位數可以和十位數相消，....  (每三位位數差的數字可以消)
比方34573 - 30030 = 4543，可以想成 3 和 7 消了，3 沒了，7 剩 4，其實也可以想成 4573-30 = 4543 的變化
然後4543 - 4004 = 539 ，可以想成 543 - 4 = 539 ，是 7 的倍數，所以 34573 也會是 7 的倍數
上面步驟如果一次性做完，就是由右至左三個數字為一節去減了

13:由右至左三個數字為一節，判斷奇位數節與偶位數節和的差是否為13的倍數，若是則為13的倍數。
因為 1001 = 1000 + 1 是 13 的倍數，就不舉例了

11:判斷奇數位數字和與偶數位數字和的差是否為11的倍數，若是則為11的倍數。
因為11 = 10+1，就不舉例了

其實就是在看10，100，1000，10±1，100±1，1000±1
10 → 2, 5
100 → 4, 25 (其實像20, 50 也行的)
1000 → 8, 125 (其實像40, 200, 250, 500 也行的)
9 → 3, 9
11 → 11
99 .... 被9 和 11 取代，沒有其他質因數了，99自己也行
101 → 質數，頂多就101自己吧
999 → 9*111，但 9 直接用 9，111是質數，頂多就111和999自己
1001 → 7, 13，11用11自己就好了 ....
講白了就這樣
上面提到幾個，像99, 101 and 111 ，因為數字太大，不會考
但其實也是可以用到這種技巧唷
比方111 可以用999 = 1000 - 1 (看到1000就知道三位數字一節，看到-1就知道是算所有節的總和)
所以，111:由右至左三個數字為一節，判斷所有節的總和是否為111的倍數，若是則為111的倍數。
例1123653
1+123+653=777，是 111的倍數，1123653就是111的倍數
101的話 利用100+1 (看到100就知道二位數字一節，看到+1就知道是算奇數節和偶數節相抵消)
所以，101:由右至左二個數字為一節，判斷奇位數節與偶位數節和的差是否為101的倍數，若是則為101的倍數。
例就不舉了

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那請問一下19的倍數判別法是?
25235412 發表於 2014-10-30 06:10

直接除如何 ?
不然 19=20-1
就前一位數以上除以2後加到下一位數 ?
比方 436544 -> 4/2+3=5 -> 56544 -> 5/2+6=8 ... 1 -> 18544 -> 18/2+5=14 -> 1444 -> 14/2+4=11 -> 114 -> 11/2+4=9 .. 1->19
所以 436544是19的倍數
但不好用，對吧

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看了第一題，我大概知道你們老師教你們的快速解法是什麼了
比方 7 or 13 ，不是樓主寫的那些
反而有點像我寫的 19 ，不過我寫的19是我自己編的
用一樣的道理可以從個位數往高位數做過去
21 = 20+1  是 7 的倍數
比方34573
個位數(尾數)是 3 這時，把尾數刪掉，前面的數字減掉3的兩倍
就變成3451 (這樣等於減了3*21)，而21又是7的倍數，所以仍符合一開始說的道理
判斷 a 是否為 b 的倍數 <-等同-> 判斷 a±bm 是否為 b 之倍數 (反之亦然)
3451 → 345-2=343 → 34-6=28 是 7 的倍數

19的話，一樣改成從尾數做，乘以2畢竟比除以2好算
比方436544 → 43654+8=43662 → 4366+4=4370 → 437 → 43+14=57 是19的倍數

其實用這個方式，也比直接除快不到哪去
其實並不太實用

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漏了13的
一樣，道理是
判斷 a 是否為 b 的倍數 <-等同-> 判斷 a±bm 是否為 b 之倍數 (反之亦然)
所以 a 是否為 13 的倍數 <-等同-> 判斷 a+13m 是否為 13 之倍數 (反之亦然)
m是(尾數*3)
所以再改成
判斷 a 是否為 13 的倍數 <-等同-> 判斷 a+39*尾數 是否為 13 之倍數 (反之亦然)
39 = 40-1 是13的倍數
+(40-1)*尾數就相當於 +40*尾數，再將尾數刪成0，然後就可以刪掉0
刪掉0(=除以10)，並不影響判斷(除以與13互質的數是不影響的)，還可以降位數
解法和19幾乎一樣，只是*2變成*4

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我比較感冒的是他一樓寫的東西
和他老師教的是不一樣的
老師上課有專心聽嗎 ?

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關於最後寫的乘以2那個
可以麻煩告訴我詳細原因？

上課當然是專心聽~
數學算是我最有興趣的一科!
25235412 發表於 2014-10-31 13:26

因為老師不可能沒教就要你們想那四題
但老師教的話
7:由右至左三個數字為一節，判斷奇位數節與偶位數節和的差是否為7的倍數，若是則為7的倍數。
13:由右至左三個數字為一節，判斷奇位數節與偶位數節和的差是否為13的倍數，若是則為13的倍數。
他不是教這樣的呀 ...
好吧，我相信你有認真聽，但沒做筆記
但後來沒找到老師教的方式，畢竟這方式不算好用，有點冷門
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你要從「判斷 a 是否為 b 的倍數 <- 等同 -> 判斷 a±bm 是否為 b 之倍數 (反之亦然)」開始想
講白了 ... 依7的倍數來解的話
判斷 a 是否為 7 的倍數 <- 等同 -> 判斷 (a-21*尾數) 是否為 7 之倍數
只要(a-21*尾數) 為 7 之倍數 -> a 亦為 7 的倍數
只要(a-21*尾數) 不是 7 之倍數 -> a 亦不是 7 的倍數

再者
-21*尾數 = -20*尾數 - 尾數 = (十位數以上的部分 - 2*個位數，後面再補0)
3451 為例 .... 3451 - 21*1(尾數) = 3430 (345-2*1=343，後面補0)

第三點，「判斷 a 是否為 b 的倍數 <- 等同 -> 判斷 a/c 是否為 b 之倍數 (反之亦然)，其中 c 須與 b 互質」
講白了 ... 依7的倍數來解的話，10 = 2*5，與 7 互質
只要 a/10 為 7 之倍數 -> a 亦為 7 的倍數
只要 a/10 不是 7 之倍數 -> a 亦不是 7 的倍數
以 3430 為例，3430/10 = 343，所以若 343 為 7 的倍數，則 3430 亦為 7 的倍數
最後，就用這三步驟一直把 3451 降位數，降到你判斷的出來為止
3451 → 345-2=343 → 34-6=28 是 7 的倍數
28是7的倍數，所以 280也是7的倍數，所以 343也是7的倍數，所以3430也是7的倍數，所以3451也是7的倍數
最後就得到 ... 3451是 7 的倍數

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20# 謝啦
這些想法用嘴講很簡單，用文字很難描述(會一長串)
可是這些想法在因數倍數這幾章是非常重要的
像我甚至會希望學這幾章的同學，去研究"輾轉相除法"
但用文字不舉例，連懂的人都可能看不下去
(所以上課麻煩要專心聽老師講的，自己回家再讀 ? 靠文字來學，吸收力很弱呀)
這些很有趣，而且用到的觀念很重要

21#
這方式只是在"降位數"，並不能保証解到 17 之類的結果 ...
所以最後可能還是要靠除法
不過，之後像17 本身也可以先用 51 or 102 來降，但也有其極限，最後不一定在17 or 0

比方 62407 我用 51 =50+1來降
6240-35 = 6205
620-25=595
59-25=34 是 17的倍數

或是比方用 102 =100+2來降，從左往右，第三高位的值 - 最高位的值 *2
24 - 6*2=12，補07 = 1207
20 - 1*2=18，補7 = 187
87 - 1*2 = 85 .... 85 判斷吧....是17的倍數

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問一下輾轉相除法原理是什麼?
25235412 發表於 2014-11-7 14:17

和這些判斷法其實是同一個原理
差別在判斷法是固定的倍數在刪，而輾轉相除法是不固定的倍數在刪
你用情境想好了
式子真的會讓你看不下去 .....

假設這裡有一堆十元硬幣(超過五百個)，你想知道這堆硬幣的數量是不是 6 的倍數，你怎麼做 ?
一個一個數 ? 太慢 .....
是我的話，先疊一個 12 枚十元的一疊，然後把其他錢疊成跟那疊差不多高度的
全疊完後，把所有的錢弄成和 12 枚十元那疊一樣高，完成後頂多剩一疊高度不足
那疊就是 a / 12 = ? ..... 的餘數
題目是問是不是 6 的倍數，但不用緊張，因為 12 是 6 的倍數，所以關鍵就在高度不足的那疊
如果"剩餘"那疊數量是 0 或 6 (的倍數)，那這整堆硬幣數量就是 6 的倍數 ....   (0表示剛好疊完)
結果，剩餘的9枚，那不是 6 的倍數
這時，題目又突然改問了 (這出題目的很奸詐)
那這整堆硬幣，是不是3的倍數呢 ?
聽完，真該笑了，6 是 3 的倍數，被疊好 12 枚的那堆錢一樣不用管他
"剩餘"那疊數量，再看是不是 3 的倍數就行了，9 是 3 的倍數，那是了

這裡有兩個重點 .....

1. 排好的不用管，因為那些都會是 ok 的
2. 餘數可以繼續往下追 .....

輾轉相除法也是一樣

a > b ，m = a , b 的最大公因數，求 m = ?

第一步 a = bc + d
d = 0 ，結束 b 是最大公因數
d ≠ 0 ， bc 不用管了，因為 b 是 m 的倍數，bc 不會影響結果。 d 可以繼續往下追 ....
從代數來看， a , b 都是 m 的倍數， d = a - bc = m(① - ②c) 也一樣會是 m 的倍數
所以 m = a, b 的最大公因數 = b, d 的最大公因數，而且  b > d

第二步 ... 一樣的再玩一次
b = de + f
f = 0 ，結束 d 是最大公因數
f ≠ 0 ， de 不用管了，因為 d 是 m 的倍數，de 不會影響結果。 f 可以繼續往下追 ....
所以 m = a, b 的最大公因數 = b, d 的最大公因數 = d, f 的最大公因數，而且  d > f

..... 重複可以愈找愈小，最後可以找到有 = 的時候，然後最大公因數就找到了 ....