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3.一隻螞蟻從一個正八面體上方的頂點出發，沿著正八面體的稜邊爬行。在每個頂點她會從四條稜邊中隨機選擇一條向另一個頂點前進，直到抵達下方的頂點為止。
(1)螞蟻只爬行兩條稜邊就抵達下方的頂點的機率為？
(2)螞蟻爬行三條稜邊到達下方頂點的機率為？
(3)螞蟻自上方頂點到達下方頂點的經過稜邊數的期望值為何？

(1) 只爬兩條，那就是第一條隨便，第二條要選對 ....  1/4

(2) 爬三條呀，那就是第一條隨便，第二條要選左或右，第三條要選下 ... (2/4)(1/4) = 1/8

(3) 這個才是問題吧 ....
上 ←→ 中 ←→ 下
上 → 中　機率 = 1
中 → 上　機率 = 1/4
中 → 中　機率 = 1/2
中 → 下　機率 = 1/4

令 中→下 的期望值 = a
因為上走一步，必然到中
所以 上→下 的期望值 = 上→中 + 中→下 的期望值 = a+1(這之前有手誤，已修正)

中可能到上中下，中走了一步以後
中到上，機率1/4，期望值變成 a+1
中到中，機率1/2，期望值變成 a
中至下，機率1/4，期望值變成 0 (不用走了)
a = (1/4)(a+1) + (1/2)a + 0 + 1
a = a/4 + 1/4 + a/2 + 1
a/4 = 5/4
a = 5
中 → 下的期望值是 5
上 → 下的期望值是 5+1 = 6
PS : 紅色的 +1 是因為要走那紅色的一步

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中間那四個點，完全對稱(結果完全一樣)，所以不用去分類
上到中有四條路沒錯，但結果都是到中
所以機率 = 1 呀

中→下，是指中經過 n 步後到下，n 的期望值是 a
中到上中下，是指走一步後
目標是走到下 (有點像是，運氣正常時，走到下要幾步的意思)
那既然都走到下方了，步數的期望值就變 0 了呀

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所以上變成a+1(多了一條上->中)
中還是a
下就不用動了
45959595 發表於 2015-9-29 21:47

對的

期望值有點像是運氣正常的情況下，會多少(條)的意思
所以你可以列式，走之前的期望值 = 走一步後各種情況(機率)的期望值和 + 1
因為你討論到所有情況(並乘以機率的加權)，所以一樣是運氣正常下的變化
期望值仍然會符合

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想問第一題有看出什麼端倪嗎？
45959595 發表於 2015-9-29 21:51

x	x+1	2x^2+3x+3
x-1	3x	2x^2+7x
2x^2	5x-2	12x^2+10x-12

x	x+1	2x^2+3x+3
-1	2x-1	4x-3
2x^2	5x-2	12x^2+10x-12

x	1	2x²+3x+3
-1	2x	4x-3
2x²	-2x²+5x-2	12x²+10x-12

x	1	2x²+3x+1
-1	2x	-3
2x²	-2x²+5x-2	16x²-8

x	1	2x²+1
-1	2x	0
2x²	-2x²+5x-2	10x²-8

應該沒太特別的可以消吧
就這樣計算好了 ...
(x)(2x)(10x²-8)+(2x²+1)(2x²-5x+2) - (2x²+1)(2x)(2x²) + (10x²-8)
= (10x²-8)(2x²+1)+(2x²+1)(2x²-5x+2) - (2x²+1)(4x³)
= (2x²+1)(10x²-8 + 2x²-5x+2-4x³)
= (2x²+1)(-4x³+12x²-5x-6)    又 x = 2 代入 .... = 0
= (2x²+1)(x-2)(-4x²+4x+3)    2(-2) ╳  1 3
= (2x²+1)(x-2)(2x+1)(-2x+3)

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還是可以化

x	1	2x²+1
-1	2x	0
2x²	-2x²+5x-2	10x²-8

x	2x²+1	2x²+1
-1	0	0
2x²	4x³-2x²+5x-2	10x²-8

(2x²+1)*

1	1
4x³-2x²+5x-2	10x²-8

= (2x²+1)(-4x³+12x²-5x-6)    又 x = 2 代入 .... = 0
= (2x²+1)(x-2)(-4x²+4x+3)    2(-2) ╳  1 3
= (2x²+1)(x-2)(2x+1)(-2x+3)

其實也不會快多少

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2. x^2+y^2+z^2-2ax-10y-18z-a^2-16a+65=0是空間中一個半徑為9的球面，a為正實數
(1)求a
(2)球此球面與平面x+4y+8z-13=0的交點座標

x^2+y^2+z^2-2ax-10y-18z-a^2-16a+65=0
x²-2ax+a² + y²-10y+25 + z²-18z+81 -a²-16a+65 -a²-25-81 = 0
(x-a)² + (y-5)² + (z-9)² = 2a²+16a+41
半徑9，所以 2a²+16a+41 = 81
2a²+16a-40 = 0
a²+8a-20 = 0
a = 2 or -10 (a 為正實數，負不合)
a = 2

(x-2)² + (y-5)² + (z-9)² = 81 和 x+4y+8z-13=0 的交點
空間中的圓方程式，要列出來應該是不太可能的
所以很有可能交一點
(2, 5, 9) 到 x+4y+8z-13=0 的距離
等同於 x+4y+8z-13=2+20+72-13=81 到 x+4y+8z-13=0 的距離
81 / √(1+16+64) = 9 距離 9 ，所以是相切沒錯 ...
切點的話 ...
設切點 (2+t , 5+4t , 9+8t)
1(2+t) + 4(5+4t) + 8(9+8t) - 13 = 0
t = -1
交點是 (1, 1, 1)